2.2 立方根 《知识解读·题型专练》 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“立方根”核心知识点，系统阐述立方根的定义（若x³=a则x是a的立方根）及特征（正数、负数、0的立方根符号规律），搭建从概念理解到求立方根、已知立方根求原数等题型的学习支架，衔接平方根知识形成实数认知脉络。 资料以“题型归纳+典例变式”为特色，涵盖规律探索（如被开方数与立方根的倍数关系）和实际应用（如正方体体积与棱长计算），培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后随堂检测助力学生巩固知识，查漏补缺。

2.2 立方根（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1·求一个数的立方根】 1 【题型2·已知一个数的立方根，求这个数】 2 【题型3·与立方根有关的规律探索】 4 【题型 4·立方根的实际应用】 5 【题型5·算术平方根和立方根的综合应用】 7 【随堂检测】 9 知识点1 立方根 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型 1·求一个数的立方根】 【典例1】64的平方根的立方根（     ） A．2 B． C． D．都不对 【变式1-1】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】若，则__________． 【题型2·已知一个数的立方根，求这个数】 【典例2】若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【变式2-1】若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式2-2】若，，则的值是（    ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或 【变式2-3】若是实数M的立方根，则实数M是（   ） A．9 B．27 C． D． 题型3·与立方根有关的规律探索 【典例3】若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【变式3-1】若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【变式3-2】小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【变式3-3】如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【题型 4·立方根的实际应用】 【典例4】若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 【变式4-1】已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【变式4-2】将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【变式4-3】升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【题型5·算术平方根和立方根的综合应用】 【典例5】已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 【变式5-1】已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【变式5-2】已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【变式5-3】已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 随堂检测 【随堂检测】 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．若，则的值（    ） A．3 B．9 C．27 D． 6．已知球的体积公式为（为球的半径），若某小球的体积为，则该小球的半径为（   ） A． B． C． D． 7．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 8．若的立方根是，则的算术平方根是_________． 9．若，则__________． 10．已知正数的两个不同平方根分别是和，且的立方根为2． (1)求和正数及的值： (2)求的平方根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 立方根（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1·求一个数的立方根】 1 【题型2·已知一个数的立方根，求这个数】 2 【题型3·与立方根有关的规律探索】 4 【题型 4·立方根的实际应用】 5 【题型5·算术平方根和立方根的综合应用】 7 【随堂检测】 9 知识点1 立方根 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型 1·求一个数的立方根】 【典例1】64的平方根的立方根（     ） A．2 B． C． D．都不对 【答案】C 【详解】解：∵， ∴64的平方根为， ∵，， ∴的立方根为． 【变式1-1】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 【变式1-2】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义找到立方等于的数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义可得，的立方根是． 【变式1-3】若，则__________． 【答案】2 【详解】解：， ． ． 【题型2·已知一个数的立方根，求这个数】 【典例2】若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】利用立方根的性质，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：根据立方根的性质可得：， 又∵， ∴． 【变式2-1】若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和立方根的计算，能够通过立方根求出原数是解题关键． 先通过立方根求出原数为，再求平方根即可． 【详解】解：∵这个数的立方根是 ∴这个数为 ∴的平方根为 故选：D． 【变式2-2】若，，则的值是（    ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握平方根、立方根的定义．根据平方根和立方根先求出，即可求解． 【详解】由题意得：， ∴或 故选：D． 【变式2-3】若是实数M的立方根，则实数M是（   ） A．9 B．27 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一个数的立方根求这个数，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：∵是实数M的立方根， ∴实数M是， 故选：C． 题型3·与立方根有关的规律探索 【典例3】若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 【变式3-1】若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 【变式3-2】小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 【变式3-3】如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【题型 4·立方根的实际应用】 【典例4】若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 【答案】A 【分析】根据正方体体积等于棱长的立方，结合体积的变化即可求出棱长的变化倍数． 【详解】解：设原正方体的棱长为，则原正方体体积为， 设棱长变为原来的倍，则现棱长为，现体积为， 由题意得，即， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即棱长变为原来的倍． 【变式4-1】已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 【变式4-2】将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【变式4-3】升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【答案】 【详解】解：设这个升降阻车桩的底面半径是，则高为， 由题意可得：． 解得． 答：这个升降阻车桩的底面半径是． 【题型5·算术平方根和立方根的综合应用】 【典例5】已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】（1）根据平方根的性质得，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）先根据算术平方根、立方根的定义求出b、c的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 则， 所以； （2）解：由（1）知，， 所以，， 因为16的算术平方根是4，27的立方根是3，b为的算术平方根，c为的立方根， 所以，， 所以， 因为1的立方根是1， 所以的立方根为1． 【变式5-1】已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于、的方程，联立求解得到、的值； （2）将与的值代入计算，最后根据平方根的定义得到结果． 【详解】（1）解：∵是27的立方根，且的立方根是， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， 整理得， 联立得方程组， 解得； （2）解：把，代入得， ∴的平方根为． 【变式5-2】已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根定义列方程求解即可； （2）将a、b代入中求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， 解得， 的立方根是2， ，即， 解得； （2）解：由（1）知，， ， 的平方根是． 【变式5-3】已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 随堂检测 【随堂检测】 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义找到立方等于64的数，即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴ 64的立方根是4. 2．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：表示9的算术平方根，结果为非负数，，故A错误； 选项B：，计算结果正确，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D错误． 3．若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解： ． 4．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【详解】解：∵溢出的水体积为 ∴该正方体铁块的体积为 ∴该正方体铁块的棱长为 ∵ ∴ ∴ ∴估计该正方体铁块的棱长的大致范围在3和4之间． 5．若，则的值（    ） A．3 B．9 C．27 D． 【答案】A 【分析】利用算术平方根和绝对值的非负性先求出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，且 ∴， 解得， ∴ 6．已知球的体积公式为（为球的半径），若某小球的体积为，则该小球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知体积代入球的体积公式，解关于的方程即可得到结果． 【详解】解：∵小球体积 ，代入公式， ∴， 两边约去，整理得 ， ∴． 7．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 【答案】 【分析】依据锻造前后铁块体积不变，先计算原长方体的体积，再根据立方体体积公式结合立方根的概念即可求出棱长． 【详解】解：由题意得，锻造前后铁块的体积不变，原长方体铁块的体积为， 设立方体铁块的棱长为， 根据立方体体积公式得， 因此即锻造成的立方体铁块的棱长为． 8．若的立方根是，则的算术平方根是_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义求出的值，代入得到的值后，再计算其算术平方根即可． 【详解】解： 的立方根是， ， 解得， 将代入，得， 的算术平方根是， 的算术平方根是． 9．若，则__________． 【答案】5 【详解】解： 解得． 10．已知正数的两个不同平方根分别是和，且的立方根为2． (1)求和正数及的值： (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由题意得，和互为相反数，列出方程解出的值，得出和的值，得出正数的值，再利用立方根的定义求出的值即可； （2）由（1）得，，计算出的值，再利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：正数的两个不同平方根分别是和， 和互为相反数， ， 解得：， ，， 正数的两个不同平方根分别是和5， ， 的立方根为2， ， 解得：； （2）解：由（1）得，，， ， 的平方根为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $