2.2 立方根（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学“立方根”新授课同步练，以“知识梳理+分层检测”为特色，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三阶设计，实现从概念理解到实际应用的知识深化，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|立方根定义、性质、开立方运算|直接对应知识点，如选择2（8的立方根）、填空6（已知立方根求原数），强化概念理解与基本运算| |综合应用|平方根与立方根综合、几何体积应用|跨知识点整合，如选择3（平方根与立方根代数式求值）、解答13（正数平方根关系求x），培养运算能力与空间观念| |拓展提升|规律探究、实际问题解决|结合生活情境与数学史，如填空9（规律推测）、解答16（华罗庚立方根计算方法），发展推理意识与创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.2 立方根（知识梳理+达标检测） 知识点一立方根 1、立方根。 一般地，如果x3=a,那么x叫作a的立方根，也称为三次方根。 2、性质：①正数的立方根是正数；②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 3、平方根与立方根的区别。 知识点二开立方 1、求一个数的立方根的运算叫作开立方，这个数叫作被开方数。 一、选择题 1．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 2．8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 3．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 4．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 5．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 二、填空题 6．已知实数的立方根是，则实数的立方根是_______． 7．一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫作a的n次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则S的三次方根是；④当时，整数a的二次方根有个．其中正确的是___________ （填序号）． 8．已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是______ 9．观察．推测：若，则_____． 10．魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为______． 三、解答题 11．求x的值 （1） （2） 12．已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． 13．一个正数a的两个平方根分别是和，且，则x的值与的值分别为多少． 14．在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． （1）铁块的棱长为多少厘米？ （2）杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 15．观察规律并回答下列问题：，，，…． （1）______，______； （2）若，，则______；（用含的代数式表示） （3）当时，根据上述规律比较与的大小关系． 16．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，，你能确定是几位数吗？ （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ （3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ （4）已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.2 立方根（知识梳理+达标检测） 知识点一立方根 1、立方根。 一般地，如果x3=a,那么x叫作a的立方根，也称为三次方根。 2、性质：①正数的立方根是正数；②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 3、平方根与立方根的区别。 知识点二开立方 1、求一个数的立方根的运算叫作开立方，这个数叫作被开方数。 一、选择题 1．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【解答】解：， 又， ． 2．8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】若一个数的立方等于，即，则是的立方根，据此计算即可得到结果． 【解答】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义，的立方根是． 3．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 4．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【解答】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 5．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【解答】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 二、填空题 6．已知实数的立方根是，则实数的立方根是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握求一个数的立方根． 根据立方根的定义，先求出实数的值，再计算的值，最后求其立方根． 【解答】解：由题意得，实数的立方根是，即， 故， ∴， ∴， 故答案为：． 7．一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫作a的n次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则S的三次方根是；④当时，整数a的二次方根有个．其中正确的是___________ （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了对a的n次方根的定义的阅读理解能力，绝对值，平方差公式，掌握相关知识点是解题的关键． 根据n次方根的定义和性质，结合平方差公式和绝对值，判断各结论的正确性，即可求解． 【解答】解：， 是的四次方根，故结论①正确； 任何实数都有唯一的奇次方根，结论②正确； ， ， 的三次方根是，故结论③正确； ， ， 解得或， 无实数平方根，有两个平方根， 的二次方根有两个，故结论④错误； 综上所述，正确的结论为①②③． 故答案为：①②③． 8．已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是______ 【答案】3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【解答】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 9．观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【解答】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 10．魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【解答】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． 三、解答题 11．求x的值 （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解答】（1）解：移项得：， ， ． （2）解：方程两边同时除以得： ， ， 当时，， 当时，， 或． 12．已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义求解出，再计算的值，最后计算平方根即可；注意一个正数的平方根有两个，一正一负且互为相反数． 【解答】解：∵3是的一个平方根， ∴， 解得，   是的立方根， ，   ∴， ∴的平方根为． 13．一个正数a的两个平方根分别是和，且，则x的值与的值分别为多少． 【答案】的值为2，的值为3 【分析】本题考查的是算术平方根，平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根的意义求出，的值，再利用立方根的性质求出的值，再计算． 【解答】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得：， ，， ； ， ， 解得：， ． 14．在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． （1）铁块的棱长为多少厘米？ （2）杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【解答】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 15．观察规律并回答下列问题：，，，…． （1）______，______； （2）若，，则______；（用含的代数式表示） （3）当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】（1）， （2） （3）当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【解答】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）（3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 16．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，，你能确定是几位数吗？ （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ （3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ （4）已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【答案】（1）两位数 （2）9 （3）3 （4）26；47 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键． （1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）根据（1）（2）（3）即可得到答案． 【解答】（1）解：因为， 所以，所以是两位数； （2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9； （3）解：因为，所以，即， 所以的十位上的数是3． （4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47． 学科网（北京）股份有限公司 $