2.3实数（基础篇）讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2.3实数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 实数定义与分类 1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。   理解：常见类型有三类   （1)开方开不尽的数：如等。   (2)有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等。   (3)有特定结构的数：如0.1010010001……等；(注意省略号)。 2、实数：   有理数和无理数统称为实数。 3、实数的分类： （1）按定义来分 （2）按符号性质来分 实数比较大小法理解 1、正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 2、数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大。 3、绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。 4、平方法：a、b是两负实数，若a2＞b2，则a＜b。 实数的运算 1、六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方。 2、实数的运算顺序： 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 3、实数的运算律： 加法交换律、加法结合律 、乘法交换律、乘法结合律 、乘法对加法的分配律。 型 习 练 题 无理数 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：A、是有理数，不是无理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有理数，不是无理数，不符合题意； D、是有理数，不是无理数，不符合题意； 故选：B． 2．在实数 ，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别，注意常见无理数如π、开方开不尽的数及有规律但不循环的小数．根据无理数的定义（无限不循环小数），判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； （相邻两个6之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数。 ∴ 无理数有、、，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的识别，注意常见无理数如π、开方开不尽的数及有规律但不循环的小数． 3．在实数，0，，中，属于无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了无理数的定义，立方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 【详解】∵是无限不循环小数，不能表示为分数， ∴是无理数； ∵ 0是整数， ∴ 0是有理数； ∵，是整数， ∴是有理数； ∵是分数， ∴是有理数． 综上，属于无理数的是． 故选：A． 4．下列实数中，属于无理数的是（    ）． A． B．2025 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定答案. 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、2025是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 5．在实数：，0，，，，，（相邻两个4之间3的个数逐次增加1个）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数的定义逐项进行判断即可，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：根据无理数的定义得， 是无理数的有：，，（相邻两个4之间3的个数逐次增加1个） 共3个， 故选：C． 无理数的大小估算 6．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先根据，整理得，即，结合，所以，进行作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：B 7．如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，估算出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵，即：； ∴表示的点可能是点D； 故选D． 8．估计的值介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过比较平方数的大小关系，确定的整数范围． 【详解】解∵， 即， ∴． 故选：A． 9．如图，在数轴上，被墨迹覆盖的实数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系．关键是明确数轴上的点表示的数的大小，估计无理数的取值范围． 根据题意得出被墨迹覆盖的实数在到之间，再根据每个选项中的范围进行判断． 【详解】解： 被墨迹覆盖的实数在到之间， ∴在到之间，选项A不符合题意； ∵， ∴被墨迹覆盖的实数不可能是，故B符合题意； ∵， ∴C、D选项不符合题意； 故选：B． 10．估计的值（   ） A．在和之间 B．在和0之间 C．在0和1之间 D．在1和2之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，通过比较与相邻的完全平方数，确定其范围，然后计算 的范围． 【详解】解：∵，，且 ， ∴， ∴， 即在0和1之间． 故选：C． 无理数整数部分的有关计算 11．已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（  ） A．−3 B．​ C．3 D．​ 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的估算，通过估算的值，确定的整数部分a 和小数部分b，然后代入表达式计算即可． 【详解】解：∵ ，即 ， ∴ ， ∴整数部分，小数部分 ， ∴ ． 故选：C． 12．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小．先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，m，n是连续的两个整数， ∴， ∴． 故选：B． 13．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算及其整数部分，根据无理数的估算得出，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 14．实数的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估计．根据可得，即可求得的整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3． 故选：B． 15．若，其中a为整数，则的值为（   ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，准确的计算是解决本题的关键． 先估算无理数的整数部分可得a的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴a为3， ∴ ， 故选B． 实数的分类 16．下列各数中，有理数为（    ） A． B． C． D．（每两个之间逐次增加一个0） 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 根据有理数包括有限小数或无限循环小数，无理数包括三类数：①开方开不尽的根式，②含的，③有规律但无限不循环的小数．选项A是分数，属于有理数；选项B含开方开不尽的根式、C含、D为无限不循环小数，均是无理数． 【详解】解： A．是分数，分数是有理数，故本选项符合题意； B．为无理数，故也是无理数，故本选项不符合题意； C．为无理数，故本选项不符合题意； D．（每两个之间逐次增加一个0）是无限不循环小数，是无理数，故本选项不符合题意； 故选：A． 17．下列说法中，正确的是（   ） A．不带根号的数一定是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．无限小数都是无理数 D．算术平方根等于它本身的数是0和 【答案】B 【分析】本题考查有理数．无理数、实数与数轴的关系以及算术平方根的概念，解题的关键是准确理解这些数学概念的定义． 对每个选项分别根据相关概念进行分析判断． 【详解】解：A、不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但它是无理数，该选项错误； B、根据实数与数轴的关系，实数和数轴上的点是一一对应的，该选项正确； C、无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，该选项错误； D、算术平方根等于它本身的数是0和，负数没有算术平方根，该选项错误． 故选：B． 18．下列四个数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根、实数的分类及算术平方根，熟练掌握立方根、实数的分类及算术平方根是解题的关键；因此此题可根据立方根、实数的分类及算术平方根进行排除选项即可． 【详解】解：由、、可知，这几个数都是无理数；所以有理数是； 故选A． 19．下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根和平方根，实数与数轴的关系，根据可判断①；根据0是有理数可判断②；根据0是实数可判断③；根据绝对值的非负性可判断④；根据平方根的定义可判断⑤；根据实数与数轴上的点一一对应可判断⑥． 【详解】解：①是有理数，原说法错误； ②无理数包括正无理数、负无理数，不包括零，原说法错误； ③实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误； ④绝对值最小的实数是0，原说法正确； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0，原说法错误； ⑥实数与数轴上的点一一对应，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选：A． 20．在实数、0.101001001、、0、、、、3.14、中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数，判断每个数是否为无理数（无限不循环小数），仅需识别无限不循环小数或不能表示为分数的数． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数， ∴ 是分数，是有理数； 是有限小数，有理数； 是无理数； 是整数，是有理数； 是无理数； ，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； ∴ 无理数有和，共2个． 故选：B． 实数与数轴 21．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，求一个数的算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选B． 22．已知圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，涉及圆的周长、数轴上点表示数等知识，先由圆的直径计算圆的周长，再由题意即可得到答案． 【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度， ∴圆的周长为π， ∴该圆上的点 A与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴正方向滚动1周，点 A到达点 B的位置，点B表示的数为π；将该圆沿数轴负方向滚动1周，点 A到达点 B的位置，点B表示的数为， 综上，点B表示的数为π或， 故选：C． 23．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算及实数与数轴，熟练掌握无理数的估算及实数与数轴是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：因为，所以， 所以根据数轴可知只有B选项符合题意； 故选B． 24．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴与绝对值．根据实数a，b在数轴上的对应点的位置结合加减运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴得， ∴，，，， ∴选项C符合题意； 故选：C． 25．如图，在数轴上对应的点可能是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，数轴上实数的特点．先估算得到，再根据数轴的特点判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上对应的点可能点Q， 故选：D． 程序设计与实数运算 26．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键． 根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答． 【详解】解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 27．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意，结合算术平方根和平方根按照程序计算即可． 【详解】解：取算术平方根为， 不是无理数， 取的平方根为，是有理数， ，故无平方根，舍去， 再取的算术平方根，而的算术平方根为是无理数， 输出值． 故选：A． 28．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键． 根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，3的平方根是，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：B． 29．一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根和立方根的概念和性质；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【详解】解：∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求立方根， ∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求算术平方根， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 30．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为81时，输出的数为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，求算术平方根，依据程序进行计算是解题的关键．根据算术平方根的求解，判断有理数以及无理数即可得出结果． 【详解】解：当输入的数为81时，取算术平方根，则， 9不是无理数，取算术平方根，则， 3不是无理数，取算术平方根，则，是无理数， 则输出的数为， 故选：D． 实数的大小比较 31．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算． 比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 32．比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】此题考查了实数大小比较，熟练掌握实数大小的比较方法是解本题的关键． 估算的大小，与比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 33．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题关键是将两个数的绝对值转化为小数形式，通过比较绝对值大小，再根据负数比较大小的规则（绝对值大的反而小）来判断． 【详解】，， ， ． 故答案为． 34．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先分别估算和的大小，再比较分子大小，进而得出两个分数的大小关系． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 35．比较大小： ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，关键是熟练应用实数比较大小的方法； ①先计算的值，再与比较； ②先比较与7的大小，再根据负数比较法则得出结论. 【详解】解：对于①： ∵ ， ， ∴ ； 对于②： ∵， ∴ ， 即： ， 故答案为：，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3实数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 实数定义与分类 1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。   理解：常见类型有三类   （1)开方开不尽的数：如等。   (2)有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等。   (3)有特定结构的数：如0.1010010001……等；(注意省略号)。 2、实数：   有理数和无理数统称为实数。 3、实数的分类： （1）按定义来分 （2）按符号性质来分 实数比较大小法理解 1、正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 2、数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大。 3、绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。 4、平方法：a、b是两负实数，若a2＞b2，则a＜b。 实数的运算 1、六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方。 2、实数的运算顺序： 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 3、实数的运算律： 加法交换律、加法结合律 、乘法交换律、乘法结合律 、乘法对加法的分配律。 型 习 练 题 无理数 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2．在实数 ，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．在实数，0，，中，属于无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 4．下列实数中，属于无理数的是（    ）． A． B．2025 C． D． 5．在实数：，0，，，，，（相邻两个4之间3的个数逐次增加1个）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 无理数的大小估算 6．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．估计的值介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 9．如图，在数轴上，被墨迹覆盖的实数不可能是（    ） A． B． C． D． 10．估计的值（   ） A．在和之间 B．在和0之间 C．在0和1之间 D．在1和2之间 无理数整数部分的有关计算 11．已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（  ） A．−3 B．​ C．3 D．​ 12．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 13．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 14．实数的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．若，其中a为整数，则的值为（   ） A．3 B．7 C．8 D．9 实数的分类 16．下列各数中，有理数为（    ） A． B． C． D．（每两个之间逐次增加一个0） 17．下列说法中，正确的是（   ） A．不带根号的数一定是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．无限小数都是无理数 D．算术平方根等于它本身的数是0和 18．下列四个数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 19．下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．在实数、0.101001001、、0、、、、3.14、中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 实数与数轴 21．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 22．已知圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．0 23．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 24．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 25．如图，在数轴上对应的点可能是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 程序设计与实数运算 26．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 27．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 28．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 29．一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 30．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为81时，输出的数为（　　） A．1 B． C． D． 实数的大小比较 31．比较大小： （填“”“”或“”）． 32．比较大小： （填“”或“”）． 33．比较大小： （填“”、“”或“”）． 34．比较大小： ． 35．比较大小： ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $