2.1 平方根《知识解读·题型专练》2026-2027学年八年级数学上册苏科版

本讲义聚焦初中数学“平方根”核心知识点，系统梳理算术平方根与平方根的定义、区别联系、性质及小数点移动规律，构建从概念理解到运算应用的学习支架，为后续实数学习奠定基础。 资料以8类分层题型设计为亮点，从基础计算到规律探索、实际应用，如拼长方形得正方形问题培养抽象能力与模型意识，典例与变式结合助力推理思维形成，课中辅助教学高效，课后随堂检测可精准查漏补缺。

2.1 平方根（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1·求一个数的算术平方根】 2 【题型 2··利用算术平方根的非负性解题】 3 【题型 3··估计算术平方根的取值范围】 5 【题型 4·与算术平方根有关的规律探索题】 6 【题型 5·算术平方根的实际应用】 7 【题型 6··求一个数的平方根】 10 【题型 7·已知一个数的平方根求这个数】 11 【题型 8··利用平方根解方程】 13 【随堂检测】 14 知识点1 平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3 平方根的性质 知识点4 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者左移动一位.例如：，，，. 【题型 1·求一个数的算术平方根】 【典例1】4的算术平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】明确算术平方根是非负数，只需根据定义计算即可得到结果． 【详解】解： 若一个非负数 的平方等于 ，即 ，则 叫做 的算术平方根，算术平方根一定为非负数， 又 ， 的算术平方根是 ． 【变式1-1】9的算术平方根是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的定义，算术平方根结果为非负，只需找到平方等于9的正数即可得到答案． 【详解】，且算术平方根为非负数， 的算术平方根是． 【变式1-2】下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式正确，符合题意． 【变式1-3】的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需先计算出的结果，再根据算术平方根的定义求解，要注意区分算术平方根和平方根，算术平方根为非负数． 【详解】解：，根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是它的正平方根， 的算术平方根是，即的算术平方根是． 题型 2··利用算术平方根的非负性解题】 【典例2】已知，则的值是（     ） A． B． C．9 D． 【答案】C 【详解】∵ 任意数的平方是非负数，算术平方根也是非负数，且 ∴ ，， ∴ ， 解得 ， 则． 【变式2-1】若，则的算术平方根是（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题利用非负数的性质求解，算术平方根与绝对值都是非负数，若几个非负数的和为，则每个非负数都为，先求出，的值，再计算，最后求出其算术平方根即可； 【详解】解：∵，，且， ∴ 解得，， 故， ∴的算术平方根是； 【变式2-2】若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，则， 代入，得， ． 【变式2-3】若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 【答案】D 【分析】几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵算术平方根和平方数都是非负数，且， ∴， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得． 题型 3··估计算术平方根的取值范围】 【典例3】估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】使用夹逼法，找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， 因此的值在和之间． 【变式3-1】估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴． 【变式3-2】已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 【变式3-3】已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出与8相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 题型 4·与算术平方根有关的规律探索题】 【典例4】利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格归纳算术平方根的变化规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位，再利用规律计算所求值． 【详解】解：由表格得到规律：被开方数小数点向左（右）移动两位，算术平方根的小数点同步向左（右）移动一位， 是将的小数点向左移动两位得到的，且已知， 根据规律，将的小数点向左移动一位，得． 【变式4-1】若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 【变式4-2】先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 【答案】B 【分析】先观察已知算式，总结被开方数与对应算术平方根的变化规律，再利用规律求解，也可利用积的算术平方根性质直接计算． 【详解】解：观察已知式子可得规律：被开方数中后每增加个，结果中后就增加个． 所求中，被开方数后共有个， 结果中后应有个，即． 【变式4-3】利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【答案】A 【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果. 【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位， ∵的小数点向右移动2位得到，且， ∴的结果是将的小数点向右移动1位，即. 【题型 5·算术平方根的实际应用】 【典例5】如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 【详解】（1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去）， 【变式5-1】解答下列问题： (1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； (2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长； (3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由． 【答案】(1)大正方形的边长为 (2)小正方形的边长为 (3)见解析 【分析】（1）首先得到大正方形的面积为2，然后求出边长即可； （2）首先得到中间正方形的面积为5，然后求出边长即可； （3）仿（2）的构造方法得到正方形的面积为10，进而得到边长，，，的长为． 【详解】（1）解：∵用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形 ∴大正方形的面积两个边长为1的小正方形的面积和 ∴大正方形的边长为； （2）解：根据题意得，中间正方形的面积为， ∴中间小正方形的边长为； （3）解：如图，，，，的长为； 仿（2）的构造方法，原网格图形面积为16个平方单位， ∴正方形的面积 ∴正方形的边长为， ∴，，，的长为． 【变式5-2】如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【变式5-3】如图，将长方形分成四个区域，其中、两正方形区域的面积分别是 3 和 9． (1)、 两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)，3 (2) 【分析】（1）利用正方形的面积公式求解即可； （2）利用以长为3，宽为的长方形面积减去A正方形的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：由于正方形区域的面积是3， 则正方形的边长是； 由于正方形区域的面积是9， 则正方形的边长为； （2）解：， 答：阴影部分的面积是． 【题型 6··求一个数的平方根】 【典例6】16的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴16的平方根为． 【变式6-1】4的平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：4的平方根是． 【变式6-2】若x的平方等于5，则x等于（     ） A．25 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 【变式6-3】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴的平方根是． 【题型 7·已知一个数的平方根求这个数】 【典例7】若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 【答案】 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0，求出m值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得            这个正数的其中一个平方根为，   这个正数为． 【变式7-1】若一个正数的平方根是与，求的值和这个正数的值． 【答案】 ， 【分析】根据平方根的概念列出方程，然后解方程求出的值，然后把的值代入即可求解． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴. 【变式7-2】已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可； （2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴19的平方根为． 【变式7-3】已知某正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求；再根据算术平方根的定义求； （）代入的值计算代数式，再根据平方根的定义求结果的平方根． 【详解】（1）解：根据正数的两个平方根互为相反数，可得：， 化简得：， 解得：， 又因为的算术平方根是， 根据算术平方根的定义：若的算术平方根为，则， ∴； （2）解：将代入得：， 的平方根为，即的平方根是． 题型 8··利用平方根解方程】 【典例8】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：，． 【变式8-1】求下式中的的值：． 【答案】或 【分析】利用平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴或. 【变式8-2】解方程： 【答案】或 【详解】解： 或 ∴或． 【变式8-3】求该式子中x的值． 【答案】或 【分析】根据平方根的定义，得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； 【详解】解：， ， 或， ∴或． 随堂检测 【随堂检测】 1．的算术平方根为（     ） A． B．8 C． D．4 【答案】D 【分析】若正数满足，则为的算术平方根． 【详解】解：且， 的算术平方根为． 2．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴是 的平方根 ∵， ∴． 3．已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方根的基本性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，先根据该性质列方程求出的值，再计算得到原数即可. 【详解】解：∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 将代入其中一个平方根，得 ， ∴ 这个数为 . 4．下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据算术平方根的估算方法求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个整数中，与最接近的是4． 5．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 【答案】B 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：的平方根是，A错误； 选项B：是的算术平方根，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：负数没有平方根，D错误． 6．已知一个正数的平方根是和，则的值是（     ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】D 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据该性质列方程即可求解的值． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数 去括号得 合并同类项得 移项得 解得． 7．一个正数的平方根是与，则的值为（   ） A．24 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】正数的两个平方根互为相反数，根据这一性质列一元一次方程求解即可； 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴根据题意可得：， 整理得：， 解得：． 8．的算术平方根是_________． 【答案】 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是． 9．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 10．图1用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．则大正方形的边长为； 如图2，若把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分小正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设小正方形的边长的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：设小正方形的边长的长度为m， 裁剪得到的直角三角形直角边长为2和1，拼成的大正方形面积为， ，即, 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小正方形的边长的长度为． 11．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，则正方形的边长是________；若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为   ____________ ．    【答案】 / 【分析】利用正方形面积公式求出边长，再根据数轴的特点（右侧的数比左侧的数大）即可求出点所表示的数． 【详解】解：设正方形的边长为，则根据题意可得：； 解得：； ∵，点在数轴上表示的数为1，且点在点的右侧， ∴ 则点所表示的数为． 12．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a和正数m的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ； （2）解：当时，， ， ， ∴或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 平方根（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1·求一个数的算术平方根】 2 【题型 2··利用算术平方根的非负性解题】 2 【题型 3··估计算术平方根的取值范围】 3 【题型 4·与算术平方根有关的规律探索题】 3 【题型 5·算术平方根的实际应用】 4 【题型 6··求一个数的平方根】 5 【题型 7·已知一个数的平方根求这个数】 6 【题型 8··利用平方根解方程】 6 【随堂检测】 7 知识点1 平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3 平方根的性质 知识点4 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者左移动一位.例如：，，，. 【题型 1·求一个数的算术平方根】 【典例1】4的算术平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【变式1-1】9的算术平方根是（     ） A．3 B． C． D． 【变式1-2】下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 题型 2··利用算术平方根的非负性解题】 【典例2】已知，则的值是（     ） A． B． C．9 D． 【变式2-1】若，则的算术平方根是（     ） A． B．3 C． D．9 【变式2-2】若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 题型 3··估计算术平方根的取值范围】 【典例3】估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式3-1】估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【变式3-2】已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【变式3-3】已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 题型 4·与算术平方根有关的规律探索题】 【典例4】利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 【变式4-3】利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【题型 5·算术平方根的实际应用】 【典例5】如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【变式5-1】解答下列问题： (1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； (2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长； (3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由． 【变式5-2】如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【变式5-3】如图，将长方形分成四个区域，其中、两正方形区域的面积分别是 3 和 9． (1)、 两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留根号）． 【题型 6··求一个数的平方根】 【典例6】16的平方根为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】4的平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【变式6-2】若x的平方等于5，则x等于（     ） A．25 B． C． D． 【变式6-3】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【题型 7·已知一个数的平方根求这个数】 【典例7】若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 【变式7-1】若一个正数的平方根是与，求的值和这个正数的值． 【变式7-2】已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【变式7-3】已知某正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 题型 8··利用平方根解方程】 【典例8】解方程： (1)； (2)． 【变式8-1】求下式中的的值：． 【变式8-2】解方程： 【变式8-3】求该式子中x的值． 随堂检测 【随堂检测】 1．的算术平方根为（     ） A． B．8 C． D．4 2．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 4．下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 6．已知一个正数的平方根是和，则的值是（     ） A．3 B．0 C．2 D．1 7．一个正数的平方根是与，则的值为（   ） A．24 B． C．2 D． 8．的算术平方根是_________． 9．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 10．图1用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．则大正方形的边长为； 如图2，若把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分小正方形的边长为________． 11．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，则正方形的边长是________；若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为   ____________ ．    12．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a和正数m的值； (2)求关于x的方程的解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $