26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时 y=ax²+k的图象和性质）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过复习y=ax²的开口、对称轴等性质，追问y=2x²+1等变形函数的图象变化，搭建从基础函数到平移函数的知识桥梁，形成学习支架。 此资料以数形结合为主线，通过描点画图对比y=x²与y=x²±2的图象，从特殊函数归纳平移规律和性质，培养几何直观与推理意识，结合中考真题练习提升应用能力，助力学生掌握探究方法，教师教学更高效。

26.2.1二次函数y=a（x-h)²+k的图象和性质 (第一课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质) （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》，26.2二次函数图像与性质，26.2.2二次函数 y=a（x-h)²+k的图象与性质,第一课时二次函数y=ax²+k的图象和性质.主要教学内容：学习二次函数y=ax²+k的图象画法、图象特征、函数性质，探究该函数与基础二次函数y=ax²的图象平移关系，并运用性质解决简单的求值、比较函数值大小问题. 2. 内容解析 本节课是二次函数图象与性质探究的第二进阶课时，承接学生已掌握的最简二次函数y=ax²的图象和性质，是从基础二次函数向顶点式y=a(x-h)²+k过渡的关键内容.本节课以数形结合为核心主线，通过描点画图、对比观察、归纳总结，让学生发现常数k对二次函数图象的影响，掌握上下平移的规律.本节课的平移思想、图象性质探究方法，不仅完善了二次函数图象体系，也为后续学习y=a(x-h)²、一般式二次函数的图象平移、配方变形奠定核心方法基础，在整章知识体系中起到承上启下的关键作用.同时本节课的探究模式，能有效培养学生几何直观、逻辑推理、数学抽象的核心素养. 基于以上分析，本节课的教学重点为:二次函数y=ax²+k的图象特征和核心性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；y=ax²+k与y=ax²的图象平移规律. 教学目标 (1)掌握用描点法绘制y=ax²+k的图象；熟练说出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值；掌握y=ax²+k与y=ax²的图象平移规律，能运用性质解决基础题型. (2)经历“列表—描点—画图—对比—归纳”的完整探究过程，体会数形结合、类比迁移、从特殊到一般的数学思想，提升图象观察、规律总结和知识迁移能力. (3)在自主探究和小组合作中感受二次函数图象的对称美、变化规律美，培养严谨的数学思维和主动探究的学习习惯，增强学习二次函数的信心. 2.目标解析 目标1依托学生已有的y=ax²知识储备，通过对比画图，精准突破k值对图象的影响，让学生从“会画基础抛物线”升级为“会画平移后的抛物线”，系统掌握顶点式基础模型的性质，构建二次函数图象知识框架. 目标2通过自主探究、例题实操、规律归纳，训练学生数形转化能力，让学生掌握二次函数通用的探究方法，为后续复杂二次函数探究提供固定思维模型，提升数学探究核心能力. 目标3借助图象平移的动态变化，培养学生几何直观素养；通过特殊函数实例归纳一般规律，培养数学抽象与归纳推理素养；通过性质的实际应用，提升数学运算和模型应用素养. 本节课授课对象为九年级学生，学生已具备扎实的前置知识：熟练掌握正比例函数、一次函数的图象平移规律，完全掌握二次函数y=ax²的图象画法、开口、对称轴、顶点及增减性，具备基本的描点作图、图象观察、归纳总结的数学能力.从思维特点来看，九年级学生具象思维占主导，抽象思维正在发展，直观的图象变化容易理解，但抽象的平移规律、k的几何意义容易混淆，容易出现“记混平移方向、忽略a对开口的影响”等问题。同时学生具备一定的小组合作探究能力，适合通过动手画图、对比分析的方式突破重难点. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：精准理解常数k的几何意义，区分k>0和<0)时图象的平移方向；结合图象灵活运用函数性质解决比较函数值、求最值的问题. 创设情景，引入新课 复习回顾：二次函数y=2x²的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取何值时，函数有最值？增减性如何？ 学生集体回顾作答，教师板书核心性质. 追问：如果在y=2x²的基础上变形为y=2x²+1、y=2x²-2，函数图象会发生什么变化？引出本节课课题. (设计意图：复习旧知，唤醒学生对y=ax²性质的记忆，搭建新旧知识桥梁；通过设问制造认知冲突，激发学生探究欲望，自然导入新课.) 探究点1 将y=ax²+bx+c转化为类似y=ax²+k的简单形式. 追问1.上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ 通过配方，可以将“ax²+bx十c”转化为“a(x-h)²+k”的形式，即将二次函数y=ax²+bx+c转化 为y=a(x-h)²+k的形式.当分别讨论h，k的取值时，就可以建立起y=ax²+br+c与y=ax²的联系了. 追问2.用a.b,c表示，这里的h和k分别是什么? （设计意图：如何将一般形式的二次函数转化为特殊的二次函数，过渡到先来讨论当h=0，k≠0时，二次函数y=ax²+k的图象和性质.） 探究点2 画具体函数y=ax²+k图象，对比找规律 活动1.用描点法在同一坐标系中画出y=x²、y=x²+2、y=x²-2的图象. 步骤指导： 列表：选取对称自变量x=-2、-1、0、1、2，分别计算三个函数对应的y值； 描点：根据坐标精准描点； 连线：用平滑曲线连接各点，得到三条抛物线. 小组讨论问题： （1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？ （2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？ （3）y=x²+2、y=x²-2的图象可由y=x²的图象如何平移得到？ 活动2.画函数图象观察图象性质 （1）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2） 抛物线与抛物线有什么关系? 列表： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 … … 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 … 描点画图，就得到的图象. 观察图象：可以看出，抛物线的开口向上，对称轴是у轴，顶点是(0，2)；抛 物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，-2). 可以发现，把抛物线（图中的虚线图形）向上平移2个单位长度，就得到抛物线；把抛物线向下平移2个单位长度，就得到抛物线. 探究点3 画函数y=ax²+k图象归纳总结性质 活动3.利用信息技术工具画函数y=ax²+k的图象(不妨令a分别为和，改变k的值，可以发现，随着k的变化，二次函数y=ax²+k的图象. 在向上或向下平移，即把抛物线y=ax²向上(k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=ax²+k(如图). 师生归纳总结 1. 图象共性：y=ax²+k与y=ax²图象形状、开口大小、开口方向、对称轴完全相同，对称轴均为y轴（直线x=0）. 2. 图象差异：顶点坐标不同，y=ax²顶点为(0,0)，y=ax²+k顶点为(0,k). 3. 平移规律：上加下减，当k>0时，y=ax²+k的图象由y=ax²图象向上平移k个单位； 当k<0时，y=ax²+k的图象由y=ax²图象向下平移|k|个单位. 函数y=ax²+k性质系统归纳： 开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下； 对称轴：直线x=0（y轴）； 顶点坐标：(0,k)； 最值：a>0时，x=0，；a<0时，x=0，； 增减性：a>0，x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大；a<0反之. （设计意图：通过学生动手作图、自主对比、合作探究，让学生亲身经历规律生成过程，避免被动记忆；落实数形结合思想，突破本节课核心重难点，培养学生动手能力和归纳推理能力.） 典型例题 例1.已知二次函数y=-3x²+4 （1）说出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值； （2）说明该函数图象与y=-3x²的图象的平移关系； （3）当时，比较的大小. 【分析】：本题紧扣本节课核心知识点，综合考查y=ax²+k的图象性质、平移规律和增减性应用。解题关键是先根据a的正负判断开口与增减性，根据k确定顶点与平移方式，再结合增减性比较函数值大小. 【详解】解：（1）∵a<0，k=4，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=0（y轴），顶点坐标为(0,4)；当x=0时，函数有最大值，最大值，无最小值. （2）根据“上加下减”平移规律：函数y=-3x²+4的图象可由抛物线y=-3x²向上平移4个单位得到. （3）a<0，抛物线开口向下，对称轴为y轴 ∴当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大. 关于y轴的对称点为x=1， ∵0<2，根据增减性，x=1时的函数值大于x=2时的函数值. ∴. （设计意图：通过综合性例题，整合本节课所有核心知识点，帮助学生巩固性质和平移规律；规范解题步骤，培养学生严谨的答题习惯，同时让学生掌握利用对称性、增减性比较函数值的解题技巧，实现知识的学以致用.) 课本课堂练习（P38）. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得：， ∴这个函数的表达式为：； （2）∵， ∴其对称轴为：， ∵， ∴图象开口向上，则当时，随的增大而减小， ∴的取值范围为． 1．（2026.盐城市期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，函数的最大值是 B．开口向下，函数的最大值是 C．开口向上，函数的最小值是 D．开口向下，函数的最小值是 【详解】解：二次函数， 由可得抛物线开口向下；函数的最小值是， 故选：D． 2．（2026.四平校考）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的最大值为 【详解】解：∵，且， ∴函数图象开口向上，顶点坐标为，故A、B选项错误，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而减小，故C选项正确，符合题意； ∴函数的最小值为，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 3．（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　 ． 【解答】解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位， ∴y＝3x2﹣2， 故答案为：y＝3x2﹣2． 4．（2026.汕尾陆丰校考）已知二次函数．    (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：轴，； （2）当时，； 当时，； 故答案为：，； 利用描点法作出的函数图象如下所示：    （3）∵， ∴抛物线开口向下，在轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能:（1）二次函数y=ax²+k的图象是抛物线，对称轴为y轴，顶点坐标(0,k)；（2）a决定开口方向和开口大小，k决定抛物线的上下平移位置和函数最值；（3）平移规律：上加下减（k>0上移，k<0下移）；（4）掌握函数的增减性、最值的判断方法，能比较函数值大小. 思想方法:（1）数形结合思想：通过图象直观分析函数性质，以形助数、以数释形；（2）类比迁移思想：类比y=ax²的探究方法，推导y=ax²+k的性质；（3）从特殊到一般思想：通过具体函数图象归纳通用规律. 易错提醒:（1）混淆平移方向：牢记“上加下减”，k为负数是向下平移，不要记反；（2）忽略a的作用：判断增减性、开口方向必须先看a的正负；（3）顶点坐标书写错误：y=ax²+k顶点是(0,k)，不是(0,0)；（4）比较函数值时，忘记利用对称轴转化对称点，直接盲目判断,与a的正负无关. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题26.2第2题(1). 探究性作业：如图，一工厂大门为抛物线形，现量得地面的宽度米，大门顶端距离地面4米．为了迎接国庆节，需在大门C，D两点处拉一条彩色丝带作装饰，若彩色丝带的宽度忽略不计，且丝带所在的直线与地面平行，当丝带到大门顶端的距离为米时，求此彩色丝带所需要的长度． 【详解】解：以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 大门顶端距离地面4米． 抛物线顶点坐标为， 米， 点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 丝带到大门顶端的距离为米， 点，的纵坐标为， 当时，， 解得， （米）， 答：此彩色丝带所需要的长度为米． （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 26.2.2二次函数y=ax²+k的图象和性质(第1课时) 一、平移规律（上加下减） 二、函数性质 1. 对称轴： 2. 顶点坐标： 3. 开口： 4. 最值： 5. 增减性： 三、易错点 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $