解三角形大题狂练（二）专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形高频大题，通过分层题型训练强化数学思维的推理能力与运算能力，构建“定理应用-边角转化-综合建模”的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8题|已知两边一角/两角一边求第三边|正弦定理与余弦定理的选择应用，边角关系的直接转化| |综合拔高|6题|面积公式与周长、角度范围综合|定理逆用及不等式性质结合，从定量计算到定性分析的逻辑递进|

解三角形大题狂练（二） 1.(2026重庆江津三模) 记AABC的内角A,B.C的对边分别海，b,c已知cinB=bsin(C+ (I)求C: (2)若D在AB边上，且AD=2DB,CD=2,求△ABC面积的最大值 解析()已知csin B=bsin(C+石)，由正弦定理可得sinCsin B=sin Bsin(C+交 3 因为Be(0,z）,所以sinB≠0，所以sinC=sin(C+). 3 所以snC=号inC+9coxC,整理得片nC- 2cosC,即tanC=5, 因为C∈(0，)，所以C=气/ (2)因为AD=2DB,所以AD=2DB,即CD-CA=2(CB-CD),移项可得 3CD=CA+2CB,两边同时平方可得9CD=CA+4CB+4C4CB. 已知cD=2则×2=b+4a+4 BabeosC,.又因为C=胥cosC=2所以 36=b2+4a2+2ab≥2Vb2.4a2+2ab=6ab,即ab≤6，当且仅当b=2a时取等 根据三角形面积公式k=ahsinC= absin交= ab,因为ab≤6， 2 34 所以S= 6-5A18C面积大 4 4 2 2.(2026江西模拟预测) 在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为，b,c,tan( n()+tan()=23. 241 4 (I)求角B: (2)当b=2√3时，AABC的面积S,周长为丸，求S的取值范围 B 、 B π B tan--tan tan-+tan- 解析：①根据题意可知tan( Bπ 乃)+tan(5+)=一 2 4 2 4 24 B π Bπ 1+tan-tan 1-tan- tan- 4 B B B B tan- -1 tan +1 4tan 4 tan 2 十 B B 且m+n+=2所以 B 24 B 1+tan 1-tan 1-tan' -tan B 23.整理得23am4a523=0即23tan号2》tam+30 2 nB-5或amB-V5.因为8e0),所以9e(0,孕，所以amg 所以tan二= 23 2 2 2 4 23 所以B=交 3 (2)S=号acsin B=5a -ac,l=a+b+c=a+c+2v3, 2 由余弦定理可得2=a2+c2-2 accos B,即2=a+c2-ac,∴.12=(a+c)2-3ac 即(a+c+2W3)(a+c-2W3)=3ac, ac V3a+c-2 3ac-= (a+c-2V3), .4a+c+2V343ac 12 由正弦定理可得，a+c=4sinA+4sinC=4[sinA+sin( 2r-4】=4V5sin(4+2, 3 6 1五RA5a+cE643-1 :0<A<,0<<四 2 22…6 22 3.(2026广东汕头三模 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为，b,c,S为△ABC的面积，且sin2A=sin2B, V3(a2+b2-c2)=4S. (I)判断△ABC的形状： (2)设点D为△ABC所在平面内一动点，C,D分别位于直线AB的两侧，设∠ADB=0(0<0<π)， 若AD=1,BD=2,求四边形ADBC面积的取值范围 解析：(1由余弦定理知，a2+b2-c2=2 abcos C,因为√3(a2+b-c2)=4S, 所以W5x2 abeosC=4×2 absinC,所以W5cosC=simG即tanC=V5, 又C∈(0，）)，所以C=元因为sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=元， 3 B或A+B=舍)，所以A=B所以△4BC是等边自 2 (2)在△ABD中，由余弦定理得，AB=AD+BD-2AD·BDcos∠ADB=1P+2-2×1×2× os0=三4cosQ起四形D8G的面惑测S=S地+8，x2xsin0士尘BxS -AB =sin0+v3 AB=sin+3s (5-4c0s0)=simo-cos0+53=2sin(053 4 4 3 4 因为0<0<元，所以0.石∈(.交，2π)，所以sin0-马e(. 3 3’31 2l,所以s'=2sin(0-+5V5 2 (V3 。,53 ,2+ 即四边形4D8C的面积的取值范围是5,2+5Y5 4.(2026河南三模) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinC+二sinB=cos Bsin A. (①)求4 (2)若a=√13，求△ABC的周长的取值范围 解析：)在△ABC中，A+B+C=元，则C=元-(A+B),所以sinC=sin(A+B), 因为sinC+sinB=cos Bsin A,所以sin(A+B)+二sinB=cos Bsin A, 2 21 则Isin Acos B+cos Asin B+sinB=cosBsin4,,所以cos Asin B+sinB=0,又因为Be(0,) sin&≠Q因此c0sA士0即cosA因为As0）,所 3 2由0知4-号a=而 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becos A,即13=b2+c2+bc=(b+c)2-bC, 由基本不等es9y当且仅当勤=时取等)则6c:(2生 所32b+e-(by=6+o.即6+o≤号，所0<b+es2 3 3 又因为在三角形中，b+c>a=丽，所以V3<b+c≤239 3 因此周长=a+b+ce(3,2V39 5.(2026山东聊城模拟预测) 在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知csin B+V3 bcosC=√3a. (I①)求B; (2)若a=√3，求c的取值范围 解析：)由csin B+√3 bcosC=√3a.结合正弦定理得sin Csin B+√3 sin BcosC=√3sinA, sin Csin B+√3 sin BcosC=√3sinA=W3sin(B+C)=√3 sin BcosC+3 sin Ccos B,化简得 sinCsin B=√3 cos Bsin C,因为Ce(0,π)，所以sinC≠0，可得sinB=√3cosB,即tanB=√3. 因为B∈(0，π)，所以B= 3 整理得 0架阳 <c<2√5，即c的取值范围是3,25. 2 3 6.(2026河北保定三模) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=2C (①)若b=2c,求A: (2)若△ABC为锐角三角形，且a=1,求△ABC周长的取值范围 解析：).A=2C∴sinA=sin2C,sinA=2 sin CcosC, 由正弦定理和余弦定啊得a=2ca+6-C,即a6=c(a+b-c 2ab 28Q=3cb=4c=0+bB=4+ 2 又A=2C,C=2,A= 6 31 (2).A=2C,所以B=π-3C, 由正弦定理得，1=b、c 1 b+c sin2C sin3C sinC'sin 2C sin3C+sin C ∴b+c= sin3C+sinC_sin C(cos2C+2csC+D)=2csC. sin2C 2sin CcosC 0<C<π 2 △ABC为锐角三角形，. 02C<2Ce(,元)y 641 0<π-3C< 2 ∴.b+c=2cosC∈(W2W3),.a+b+ce(W2+1√3+1)， ∴.△4BC凋长的取值范围为(W2+1,√3+1). 7.(2026河北沧州二模) 在A4BC中，内角4，B,C的对边分别为知，h,C,满足=cos4 b cosB (①)判断AABC的形状； (2)若D为边AB上一点，为AD与CD的夹角证明：ccos0=acos(A-0)+bcos(B+0). 4 解析：①)由正弦定理知g-cosA-sinA,整理得sin Acos B-cos Asin B=0, b cosB sin B 因此si(A-B)=O,因为A,B∈(O,π)，因此A=B,因此△ABC是等腰三角形； (2)证明：在A4CD中，由正弦定理得。AD=CD=AC 因为A=B, sin∠4CD sin∠Asin0 AC=b,BC=a,因此a=b,在△ABC中，AB=c,将代证式右边展开： acos(A-0)+bcos(B+0)=a (cos Acos0+sin Asin0)+b(cos Bcos0-sin Bsine), 由A=B得a=b,cosA=cosB,sinA=sinB,化简得2 acos Acos0, 由等腰三角形性质cosA=2=C,因此c=2 a cos A,.因此右边=ccos0.得证 b 2a 8.(2026湖北黄冈二模) 己知锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足b(2cos2C-1)=2 ccos Bcos C. ()求证：B=2C; (2)求1。+的取值范围 cosC b 证明：①).'b(2cos2C-1)=2 ccos B cosC,∴.bcos2C=2 ccos B cosC, 由正弦定理得sin Bcos2C=2 sin Ccos BcosC,∴.sin Bcos2c=sin2 Ccos B, F△MBC是锐角三角形0<B<号0<C<amB=am2C,B=2C, (2).△ABC是锐角三角形，故 0<C< 2 0<B=2C<牙，解得g<C<交，所以osC的取值范围是5,5) 2 6 2’2 π 0<A=π-3C< 1 a 1 sinA 1 sin(B+C)1 sin B cosC+sin Ccos B cosC b cosC sin B cosC sin B cosC sin B 1 sin2CcosC+sin C cos2C 1 2sin Ccos2C+sin C cos2C cosC sin 2C cosC 2sin CcosC 1 cos'C-1=2cosC+ cos C _+cosC+- 1 cosC 2cosC 令t=2 cosCe(W2,W3)，记0=t+,因为函数0在（√2，V③）上为增函数， 50e(2,5),故cC号的取台范阳是 3W245 2’3 2 3 5 9.(2026山西运城模拟预测) 已知锐角AABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c,且满足btan BcosC+csin B=2 a tan Bcos A. (①)求角A: (2)若c=1,求△ABC面积的取值范围 解析：①)根据勖tan BcosC+csinB=2 a tan B cos A,,'B为锐角，∴.tanB>0, bcosC+c sinB=2ac,cosC+ccos B=2acosA, tan B 由正弦定理得sin BcosC+sin Ccos B=2 sin Acos A,化简得：sin(B+C)=2 sin Acos A, $inA2 sin c0s44为院角，smA≠0，敌cos1)-d仁9 3 (2)根据c=l,可得S=号besinA=bx1xsin产=5b, 2 2 34 0<B< 2 2π 解得<B< 0<C= -B< 6 3 2 由正弦定理得=csinB。1×sinB sin B 2 sin C V3 V3 +1 tan B 6 3.03 由π<B<2，得anBW tan B <3,可得b= 2 3 (I 2, 助B*1 限据be分，可得-5be(55 4 82 ，即A4BC的面积的取值范围是5,5 10.(2026安徽合肥模拟预测 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为，b,c,其内切圆与外接圆半径分别为r,R. 已知c=2且a=2cosB,求： (I)求∠C的值； (2)求的最大值 R 解析：①)根据正弦定理，a=2cosB=ccos B,可得sinA=sin Ccos B, sin A=sin(B+C)=sin BcosC+sin Ccos B,sin BcosC+sin Ccos B=sin Ccos B, 化简得sin BcosC=0,因为Be(0,π)，所以sinB≠0，所以cosC=0, 又因为C∈(0，π)，所以C=T 2 C,可得△4BC是以4B为斜边得直角三角形，所以2R=c=2,解 a=2Rsin A=2sin A,b=2Rsin B=2sin B=2cos A, 6 内切圆半径=a+有-c=sinA+simB-1=sinA+cosA-1=V2sim(4+孕-1≤V2-l 2 当A=严时，等号成立，结郃=1，可得A=严时，二取得最大值√2-1 4 11.(2026浙江模拟预测) 在△ABC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB2=2sinA·sinC. (I)求∠B的取值范围； 2)若B=?,求cosA+cosC的值 解析：因为sinB2=2 sin A.sin C,根据正弦定理，可得=2ac, cosB=atci-b-ato-2ac)-1e10). 2ac 2ac 2c a 又B∈(0，π)，所以B∈(0，二] 2 2因为B,所以csB由余弦定理得C之-即u+c-b 2ac 又b2=2ac,则a2+c2=3ac cosA+cosC= b'+c'-aa'+bi-cI3c-a+3a-c)-a+c 2bc 2ab 2 b+b 因为(a+c)2=a2+c2+2ac=5ac,所以a+c=√5ac,又b=√2ac, 故cosA+cosC= 5ac 10 √2ac 2 12.(2026山东枣庄三模) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为h,b,c,且(a-b+c)(sinA+sinB+sinC)= (2+√3)asin C. (I)求B: (2)若b=2,记4C边上的高为h,求h,的最大值 解析：)由题意在△ABC中，(a-b+c)(sinA+sinB+sinC)=(2+√3)asin C 由正弦定理可得a-b+c)(a+b+c)=(2+√3)ac,整理可得a+c2-b2=√3ac, 由余弦定理得osB=a+c-b-V5ac-V ,因为B∈(0，)，所以B= 2ac 2ac 6 1 (2)由S=二bh=三acsin B,得h.= 2 又 b =4, sin A sin B sinC 所Bh=4sms如C=4sn4s4+2=4sin食9m4,3os动 6 =2V5sin2A+2 sin Acos 4=√31-cos2A0+sin2A=2sin(2A-)=√5， 在18C冲8=名故1e0),24:分即4=设1=2+6 6 6 13.(2026山东泰安模拟预测) 己知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B=(W2c-b)cosA. (①)求A (2)若a=√2，符合条件的△4BC有两个，求b得取值范围 解析：)因为acos B=(W2c-b)cosA,所以由正弦定理可得 sin AcosB=√2 sin CcosA-sin Bcos A,化简得sinC=√2 sin Ccos A,因为C∈(0，π) nC≠0.所以cosA正，因为4e(0.0，所以4 4 (②)法一：因为a，=b。=2,所以sinB=有两解， sin A sin B 2 又因为1=子所以Be0经，所以<台L所以5<b<2 4 2<2 所以B的取值范围是(W2,2), 法二：因为丛MBC有两解，所必sinA<a<h,即Y5b<V2<6,所以V2<b<2, 所以b的取值范围是W2,2) 14.(2026江西阶段检测) 在△ABC中，内角A,B,C所对得边分别五，b,C,∠BAC=120°，AD为∠BAC的角平分线， 且AD=4. (I)若sinB=2sinC,求a的大小： (2)设M为BC中点，连接AM,△ABC面积取得最小值时，线段AM的长度 解析：I)sinB=2sinC,由正弦定理可得，b=2c,因为∠BAC=120,AD 为∠BAC的角平分线，所以BAD=∠CAD=60. 因为Sc=So+So,即)besin120°=)c-AD-sin60+】h-AD-sin60, 化简得bc=4(b+c).将b=2c代入上式2c2=4(3c),解得c=6,则B=12. 由余弦定理：a2=b+c2-2bcc0sA=12+62-2×12×6×c0s120°=252 故a=6W7. 8 (2)由bc=4(b+c),根据基本不等式b+c≥2Wbc,得bc≥8Vbc, 设√bc=(t>0),则t2-8t≥0，解得t≥8，即bc≥64，当且仅当b=c=8时， bc取得最小值64，△4BC面积最小此时b=c=8,∠BAC=120, 因为M为BC中点，所以MM=AB+AC. 则1=4+ad+2店40.得1f=8+8+2X-32)=16 故AM=4 15.(2026海南海口模拟预测) 己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B=V3(acos B-c). (I)求A: (2)若△4BC外接圆半径2√3，当bc取得最大值时，求私ABC的周长 解析：I)由asin B=√3(acos B-c), 结合正弦定理得sin Asin B=V3(sin Acos B-sinC),因为C=π-(A+B), 所以sinC=sin(A+B)=sin AcosB+sin B cos A, 所以sin Asin B=-√3 cos Asin B,而0<B<π，sinB≠0， 所以anA=-V5,因为0<A<石故4=2π 31 (2)由题意得，△ABC外接圆半径R=2√3， 由a=2R,得a=2 Rsin A=6. sin A 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A,则36=b2+c2-bc≥2bc+bc=3bc, 即bc≤12，当且仅当b=c=2√3时等号成立，此时ABC的周长为6+43. 16.(2026浙江绍兴模拟预测) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为，b,C,三角形面积为S,已知2S-V3AB·AC=0. (I)求A; (2)若a=√3，求b+2c的最大值 解析：①)由三角形面积S=二besin A,因为2S-√3AB.AC=0, 2×二bcsin A-V3 bccosA=0,因为bc≠0，所以sinA-V3cosA=0, 2 即tanA=V3,又0<A<元，所以M= 3 (2) 因为=5.4-骨由正弦定理 =2, sinA sin B sinC 即b=2sinB.c=2sinC,因为A+B+C=元，所以C=2π-B, 则b+2c=2sinB+4sinC=2sinB+4sin2 -B) =2sinB+4V5。 cossin B)=4sin B+23 cosB27sin() 其中sinp= 万，cosp= 2π 万因为0<B< 3, 所以当B+o=T时，sin(B+p)取得最大值，所以b+2c的最大值2√万. 2 10解三角形大题狂练（二） 1.(2026重庆江津三模) 记△ABC的内角A,BC的对边分别为，bc,已esin=bsin(C+孕 (①)求C: (2)若D在AB边上，且AD=2DB,CD=2,求△ABC面积的最大值 2.(2026江西模拟预测) 在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别，b,ctan B_元)+tan2 4 +)=23. (①)求角B: (2)当b=23时，△ABC的面积S,周长为丸，求S的取值范围 3.(2026广东汕头三模 己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为，b,c,S为△ABC的面积，且sin2A=sin2B, V3(a2+b2-c2)=4S (I)判断△ABC的形状； (2)设点D为△ABC所在平面内一动点，C,D分别位于直线AB的两侧，设∠ADB=0(0<B<π)， 若AD=1,BD=2,求四边形ADBC面积的取值范围 4.(2026河南三模) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinC+二sinB=cos Bsin A. 2 (I)求A; (2)若a=V13,求△ABC的周长的取值范围 5.(2026山东聊城模拟预测) 在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知csin B+√3 bcosC=V3a, (①)求B; (2)若a=√3，求c的取值范围 2 6.(2026河北保定三模) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，b,c,A=2C (I)若b=2c,求A; (2)若△ABC为锐角三角形，且a=1,求△ABC周长的取值范围 7.(2026河北沧州二模) 在△1BC中，内角4，B,C的对边分别为，b,c,满足=cosA b cosB )判断△ABC的形状： (2)若D为边AB上一点，为AD与CD的夹角证明：ccos0=acos(A-0)+bcos(B+0). 8.(2026湖北黄冈二模) 已知锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为，b,C,且满足b(2cos2C-1)=2 ccos BcosC. (I)求证：B=2C; (2)求1。+的取值范围 cosC b 9.(2026山西运城模拟预测) 已知锐角△ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c,且满足btan BcosC+csin B=2 a tan B cos A. (I)求角A: (2)若c=1,求△ABC面积的取值范围 10.(2026安微合肥模拟预测 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其内切圆与外接圆半轻分别为r,R. 已知c=2且a=2cosB,求： (I)求∠C的值： (2)求二的最大值 R 4 11.(2026浙江模拟预测) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知sinB2=2sinA·sinC. (I)求∠B的取值范围： (2)若B=T,求coSA+cosC的值 3 12.(2026山东枣庄三模) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为z,b,c,且(a-b+c)(sinA+sinB+sinC)= (2+√3)asin C. (I)求B: (2)若b=2,记AC边上的高为h,求h,的最大值 13.(2026山东泰安模拟预测) 己知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为，b,c,且acos B=(W2c-b)cosA. (①求A; (2)若a=V2,符合条件的△ABC有两个，求得取值范围 5 14.(2026江西阶段检测) 在△ABC中，内角A,B,C所对得边分别为，b,C,∠BAC=120,AD为∠BAC的角平分线， 且AD=4. (I)若sinB=2sinC,求a的大小： (2)设M为BC中点，连接AM,△ABC面积取得最小值时，线段AM的长度 15.(2026海南海口模拟预测) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B=V3(acos B-c). (I)求A; (2)若△ABC外接圆半径2V3,当bC取得最大值时，求赵ABC的周长 6 16.(2026浙江绍兴模拟预测) 记△4BC的内角4，B,C的对边分别为，b,C,三角形面积为S,已知2S-V3AB·AC=0. (I)求A; (2)若a=√3，求b+2c的最大值 >