解三角形大题狂练（一）-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 一轮复习解三角形专项训练，聚焦基础题型与知识应用，通过典型大题强化数学思维中的推理能力和数学语言中的模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形综合|10道大题|结合边角关系、面积计算的综合题|从正弦定理、余弦定理的推导到实际问题中的边角互化，构建“已知条件→定理选择→方程求解”的逻辑链条|

解三角形大题狂练（一） 1.(2026广东阳江5月适应考) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acos C+V3 asin C-b-c=0. (I)求角A; (2)若△ABC为锐角三角形，a=√3，求边BC上的中线AD的取值范围 2.(2026贵阳适应考) 在△ABC中，W3 asin B=b(1+cosA). (I)求∠A: ②者c=6AMsC的面积为'5，点D在边BC上且BD=2DC,求线段D的长 3.(2026聊城3月调研) 记BC的内角4B,C的对边分别为，e,已=6.A1BC的面积为，asinC-=5ceos ①)求A; (2)求△ABC的周长 4.(2026湖北武汉) 在△ABC中，AB=2,D为AB的中点，CD=√3. )若BC=V6,求AC的长： (2)若∠BAC=2∠BCD,求AC的长 5.(2026衡阳三模) 在A4BC中，角4，B,C的对边分别为知，bc,且满足cosC cosB =2a-C. (①)求角B: (2)若AB=3,BC=9,点D为AC边上靠近点A的三等分点，求BD的长. 6.(2026泸州考前模拟) 设△4BC中的内角4，B,C的对边分别为，b,c,且2asin(C+乃)=b+c, 6 (I)求A: (2)若a=2V6,△ABC的周长为6+2V6,求△ABC的面积 23 7.(2026长沙稻田中学适应考) 已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 ccosA=acos B+bcosA. (I)求角A: (2)若a=V3,求△ABC的周长的最大值，并求出此时角B,角C的大小 8.(2026西安铁一中考前模拟) 在△4BC中，角4，B,C的对边分别为知，b,c,且2cosC·sin(B+)+cosA=0. 6 ()求角C的大小： (2)若∠ACB的平分线交AB于点D,且CD=2,BD=2AD,求△ABC的面积 9.(2026西安铁一中二模) 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+√3 ccos B=√3a (I)求∠C; 2若AB=22,且.sin Asin B=】,求AB边上中线CT的长 P 10.(2026长沙附中三模) 在△ABC中，D为BC边上一点，BD=AD=2CD (I)若BD=2,AB=1,求AC的长： (2)求an∠B4C的值 tan∠ABC 11.(2026河南高三适应考) 在A1BC中，设边a,bc所对的角分别为4，B,C5cosA+sinA=VBc b (①)若a=4,b+c=6,求△ABC的面积； (2)求a+C的取值范围 4 12.(2026湖南外国语全真模拟) 在△4BC中，4，B,C的对边分别为，b,c已知向量m=(cosB,2cosC-),n=(c,b-2a,且mn=0. 2 (①)求∠C的大小； (2)若点D为边AB上一点，且满足AD=DB,CD=√7，c=2V3,求△ABC的面积 5解三角形大题狂练（一） 1.(2026广东阳江5月适应考) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acosC+√3 asinC-b-c=0. ()求角A: (2)若△ABC为锐角三角形，a=√3，求边BC上的中线AD的取值范围 答案：04=号Q0e( 22 解析：①)根据题意可知，acosC+√3 asin C-b-c=0,由正弦定理得： sin AcosC+v3sin Asin C-sin B-sin C=0,sin AcosC+3 sin Asin C-sin(+C)-sin C=0. 整理得√3 sin AsinC=cos AsinC+sinC.又0<C<π，则sinC>0,故√3sinA=cosA+l.整理 得sm4-名号又0<4<x所以-名<A-君<g即4名名故1-号 6 66 66 3,4三根据余弦定理得cos46+CQ-b+C3即6+c 2bc2bc +3,因为BC上的中线AD,又因为2AD=AB+AC,两边同时平方AAD=AB+AC+ 2AB.AC=c2+b2+bc=2bc+3,根据正弦定理可知 b c av3=2 sin B sinC sinA√3 2 故c=2sinC,b=2sinB, 所以2bc+3=8 sin Bsin C+3=8 sin Bsin( -+3=4sim2B-爱+5 又由于△ABC是锐角三角形，因此可得 0<B< 2 π 2π 0<C=3 π解得天<B< -B< 6 2 2 因此2B.∈（亚，5江），所以sin2B-e(Gl,即4sin(2B.石）+5∈(7,9外 6 66 6 6 所以4AD ∈(7,9，则4De(7,3 22 2.(2026贵阳适应考) 在△ABC中W3 asin B=b(I+cosA) (I)求∠A; ②若c=6AMBC的面积为5，点D在边BC上且BD=2DC,求线段/D的长 1 答案：①A=(2)AD=2√5 3 解析D因为5 asin B=b1+cosA,由正弦定理a=b=C=2R,(R为△4BC外 sin A sin B sin C 接圆半径)，可得=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 R sin C.则V3 sin Asin B=sin B(1+cosA), 化商得V3sin4+c0s42sn4分sm(4名=)因为0<A<石所以解辐 6 ②Sc4=x69-5解b=3根据余弦定=6+e-2 2 =3+6-2x3×6×c0sF=27,所以a=3V5因为BD=2DC,且BC=a=3V3,所以BD= 3 2=25,DC=25.在A4BC中，AB=c=6,BD=25.cosB=a+c-b=27+36-9 2ac 2×3W3×6 根据余弦定理：4D=AB+BD-21B-BDcosB=6+2V-2x6×25x5 2 =12,所以AD=2V3. 3.(2026聊城3月调研) MBC的内角4，B,C的对边分别为和，bc,已奥a=V6,A4BC的面积为，asinC=V3@ (①)求A: (2)求△ABC的周长 答案01=26+25 解析：I)asin C=√3 ccos A,由正弦定理知sin Asin C=√3 sin CcosA,可得sinA=V3cosA 即tanA=V3,又因为0<A<π，所以4=元 物由题可得besin4由①知1所cE2除理知，Q=b士C 2 bccos A,所以6=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-6,所以(b+c)2=12,所以b+C =2W3,所以△4BC的周长为W6+2√3 4.(2026湖北武汉) 在△ABC中，AB=2,D为AB的中点，CD=√3. (I)若BC=V6,求AC的长： (2)若∠BAC=2∠BCD,求AC的长 答案：①)AC=V2:(2)AC=2 解析：I)由题意可得CD=√3，BC=√6，BD=1,所以由余弦定理可得cos∠DBC= 6D+BC-D29又在Ba中c0s /ABC-餐8C6,4B=2m以cos/AB0 2·BD·BC 4g+BC-AC=6所以MCE2 2·ABBC (2)如图，延长BA,使AE=AC,则△AEC为等腰三角形，∠AEC=∠ACE,∠BAC=∠AEC+∠ACE =2∠AEC 又∠BAC=2∠BCD,可得∠BCD=∠AEC,可得∠BDC=∠BCE,可得ABDC~△BCE, 可得BBC CB BD' 可得B+AE CB D整理可得BC=2+AC,又4C=D+DC BC=BD+DC,两边平方，可得AC=AD+DC=AD+DC+2 AD DC cos∠BDC, Bd=BD+Dd=BD+Dd+2 BDDCcos∠ADC,可得Ad+BC=2AD+Dd =21+V3]=8,整理可得AC+AC-6=0,解得AC=2或AC=-3(舍) 5.(2026衡阳三模) 在A4BC中，角4，B,C的对边分别，b.G,且满足bcosC=2a-C cosB )求角B: (2)若AB=3,BC=9,点D为AC边上靠近点A的三等分点，求BD的长 答案0B=7:(2)√9 3 解析：0)根据正弦定理可得sin BeosC=2sinA-sinC,整理可得sin BcosC= cosB 2sin Acos B-sin Ccos B,sin BcosC+sin C cos B=2sin Acos B,sin(B+C)=2sin Acos B. sin4=2 sin AcosB,得1=2cosB,B∈(0，)，则B=花 (2)由题意知BD=BA+AD=BA+}AC=BA+(BC-B列=BA+BC BD=(2BA+BC)=4BA+BC+4BA.BC=4c+a+accosB- 1 4 9 9 9 4 4 ×9+x81+×9×3×cos =19.所以BD的长为W19 9 9 3 6.(2026泸州考前模拟) 设△4BC中的内角4，B,C的对边分别为知，b,c,且2asin(C+)=b+c 6 (I)求A; (2)若a=2√6，△ABC的周长为6+2√6，求△4BC的面积 答案①A=元(23 解析：①油正弦定理知sin Asin(C+乃)=sinB+sinC,2sin4((sin Ccos元+cosCsin)= 6 6 6 sin(A+C)+sinC,整理得W3 sin AsinC=cos AsinC+sinC,因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以 5snA=cos4+12sin(4-爱=l4e0a解得4=胥 6 《2由①知A=了因为A1Bc的周长5+26且a=26,所以b+c=6 由余弦定理=b+c2-2 becos得(2V6=b+c-2 bccos, 3 24=(h+c)°-3bc,得bc=4,所以必=，besin A=号x4xsin=V5, 1 2 2 3 7.(2026长沙稻田中学适应考) 已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 ccosA=acosB+bcos A. (I)求角A; (2)若a=√3，求△ABC的周长的最大值，并出此时角B,角C的大小 答案：（①A=元(235，∠C=元 3 解析：(I)油正弦定理Lsin Ccos A=sin AcosB+sin BcosA=sin(A+B)=sinC, 又Ce0a所以sinC学0，得2cos4=L因为4e(0,所以4=子 (2)因为a=√5,4=元，由余弦定理知a'=b+c'-2 bccosA=(b+c)-3bc 上6+o-3生y,所以b+c≤20=25，当且仅当勤=c时取等，△18G的周长 的最大值为3+2√3=33，此时B=C= 3 8.(2026西安铁一中考前模拟) 在△4BC中，角4，B,C的对边分别为，b,c,且2cosC-sin(B++cosA=0. 6 ()求角C的大小： (2)若∠ACB的平分线交AB于点D,且CD=2,BD=2AD,求△ABC的面积 解析：cosC.sin(B+乃)+cosA=0,2cosC(sin Bcos+cosBsin)+cos(B+C)=0, 6 6 整理得：sinB(V3cosC+sinC)=0,因为Be(0,π)，所以sinB≠0，所以W3cosC+sinC=0, 即anC=-√5，因为Ce(0,分)，所以C= 2π (2)油题意得，4C-40=,即2=，所以a=2h, BC BD 2'a 2 因为Sm+Sn=Se,所以g×2 bsin+}x2asin=bsin 2π 2 32 32 3 所以b+a=5ab,因为a=2b,所以b=3,a=6,所以Sc=5 absin 2π9W3 29 32 9.(2026西安铁一中二模) 设△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+√3 c cos B=√3a. (I)求∠C: (2)若AB=2W2,且sin Asin B= 3,求AB边上中线CT的长 答案： ①C=7(2)2 3 解析：①bsinC+√3 ccos B=√3a,有正弦定理知sin BsinC+√3 sinCcosB=√3sinA, sin Bsin C+√3 sin Ccos B=√3sin(B+C),整理得：sin Bsin C=√3 cos Bsin B,又因为 BE0,刀snB0.所以anC=V3,因为Ce02可得C 2》因为1B=25.C=了由正弦定理知：0-力。 c 2v2 46 sin A sin B sinC 3 sin 3 则sinA= sin B因为smA5inB=84N6'石-3 a ,可得ab=4, 4W6 4W6 3 3 33 由余弦定理可得=a+6-2abc0sC,即8=d+6-2x4×),可得a+b三卫 因为CT为中线，所2C7=CA+CB,可得4C7=CA+CB+2CA.CB=b2+a 5 +2 abcosC=12+2x4×=16,所以C7=2.即CT的长度2， 10.(2026长沙附中三模) 在△ABC中，D为BC边上一点，BD=AD=2CD. (I)若BD=2,AB=1,求AC的长； (2)求an∠BAC的值 tan∠ABC 答案： ω3每 (2)3 解析： ①由题意得，AD=2,BC=3.根据余弦定理cOS∠ABC=BD+AB-AD 2x BDx AB -4C-AB+BC-24B-BC-cOs/48C-34 2 (2)因为BD=AD,所以∠ABC=∠BAD,'∠ADC=∠ABC+∠BAD=2∠ABC,设BD=AD=X, 3 则CD=),BC=3x,在AMBC中，由正弦定理，BC 3 AC x 即 2 AC 2 sin∠BAC sin∠ABC' 'sin∠BAC sin∠ABC 在A4CD中，由正弦定理得。CD AC ,即 2 AC sin∠DAC sin∠DC'sin(∠BAC-∠ABC)sin2∠ABC 3 sin∠ABCS2sin∠4BCcos∠ABC 所以4C=2 2 -,化简得sin∠BAC.cos∠ABC=3cos∠BAC. in∠BAC sin(∠BAC-∠ABC) sin∠ABC,所以sin∠BA =3sin∠4BC,即tan∠BAC=3tan∠ABC,可得an∠BAC=3. COS∠BAC cos∠ABC tan∠ABC 11.(2026河南高三适应考) 在A1BC中，设边血，b,c所对的角分别为1，B,C,5cosA+sinA=V5c (I)若a=4,b+c=6,求△ABC的面积； (2)求a+C的取值范围 答案： ω53 (2)1,2] 解析： ①因为N5cosA+sinA=5c,所以56cos4+bsin=V5,由正弦定理知， V3 sin BcosA+sin Bsin A=√3sinC,√3 sin BcosA+sin Bsin A=√3sin(A+B), V3 sin BcosA+sin Bsin A=√3 sinAcosB+√3 sin BcosA,所以sin Bsin A=V3 sinAcosB 6 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以sinB=√3cosB,即tanB=√3，因为B∈(0，x),所以 B= ②由0得8=子所以+C=2, 2-A, 由正弦定理得a+C_sinA+-sinc sin 4+sin( 3 一=√3sinA+cosA b sin B V3 2 =2sin(4+.因为Ae0,2亚)，A+2e(匹，5死)， 666 所以sm4+?e兮2sn+爱e2即专e21 6 6 12.(2026湖南外国语全真模拟) 在△4BC中，4B,C的对边分别知，hc,已知向量m=(cosB,2cosS-),n=(c,b-2a,且mn=0. (①)求∠C的大小： (2)若点D为边AB上一点，且满足AD=DB,CD=√7，c=2W3,求△ABC的面积 答案： ①C=元(22√5 3 解析： ①因为m=(cosB,2cosC-）,n=(c,b-2a,且mn=0, 所以c·cosB+(b-2a)cosC=0,由正弦定理可得sin Ccos B+(SinB-2sin)cosC=0, 整理得：sinA-2 sin AcosC=0,因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以1-2cosC=0, eoc=因为ce0》,所c=骨 (2)AD=DB,CD=V7,c=2W3,所以CD-CA=CB-CD,所以2CD=CA+CB, 两边同时平方得4CD=b2+a2+2 accosC=b2+a2+ac=28① 又因为c2=b2+a2-2 accosC=b2+a2-ac=12② 由O②可得ab=8,所以S=号absinC=2V5. 2 1