3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 这份同步练习围绕双曲线标准方程及性质应用，通过基础概念辨析、中档性质应用到拔高综合探究的三层设计，实现知识从单一到综合的巩固路径，培养数学推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|双曲线基本概念（充要条件、中点坐标、标准方程）|以选择、填空为主，如判断直线与双曲线位置关系条件，直接应用定义与公式| |中档|性质综合应用（焦点三角形、离心率、轨迹方程、新定义）|结合生活情境（如“单曲型直线”），通过多选和中档解答题提升知识迁移能力| |拔高|复杂综合问题（弦长计算、参数范围、轨迹综合）|通过含参数讨论（如直线斜率分类）和图形分析题，发展逻辑推理与创新意识|

第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用 1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2024·周口月考）直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是（　　） A.（1，2） B.（－2，－1） C.（－1，－2） D.（2，1） 3. (2025秋·上高县校级期末) 设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（　　） A.  B.  C.  D.  4.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则该双曲线的方程为（　　） A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9 C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25 5.（多选）双曲线的标准方程为x2－＝1，则下列说法正确的是（　　） A.该曲线两顶点的距离为2 B.该曲线与双曲线y2－＝1有相同的渐近线 C.该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1 D.该曲线与直线l：y＝（x－2）有且仅有一个公共点 6.（多选）（2024·湖州月考）已知平面上两点M（－5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使｜PM｜－｜PN｜＝6，则称该直线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有（　　） A.3y＝x＋1 B.y＝2 C.y＝x D.y＝2x＋1 7.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是　　　　. 8. (2025高二上·贵阳月考) 已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为(2, 0)，则双曲线的标准方程为　　　　 . 9.设动点M到定点F（3，0）的距离与它到直线l：x＝的距离之比为，则点M的轨迹方程为　　　　. 10. (2025秋·陕西月考) 已知双曲线：（，）的焦距为，其渐近线方程为。 (1) 求双曲线的方程； (2) 若过点的直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程。. 11. (2026春·河南月考) 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  12.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l，交双曲线于A，B两点，若｜AB｜＝4，则这样的直线l有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 13.过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为　　　　. 14.  (2024高二上·江门月考) 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线. (1) 求曲线的方程; (2) 若直线与曲线有且只有一个公共点，求的值. 第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用 1.B　直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切（直线与双曲线的渐近线平行时）；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一公共点. 2.C　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为（－1，－2）. 3.D　因为，所以，所以是直角三角形，所以． 4.B　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝x联立，得x2－a2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1·x2＝－，∴｜AB｜＝×a＝2，∴a＝3，故选B. 5.CD　由已知双曲线中a＝1，b＝，则c＝2，顶点为（1，0）和（－1，0），距离为2，A错误；该双曲线的渐近线方程是y＝±x，而双曲线y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，不相同，B错误；该双曲线上的点到右焦点的距离的最小值为c－a＝1，C正确；直线l与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且仅有一个公共点，D正确.故选C、D. 6.AB　因为｜PM｜－｜PN｜＝6＜｜MN｜＝10，所以点P在以M，N为焦点的双曲线的右支上，即点P的轨迹方程为－＝1（x≥3）.根据题意得“单曲型直线”与双曲线的右支存在交点，下面依次联立方程，消去y，判断所得方程有无正根即可.对于A，联立得消y得15x2－2x－145＝0，因为Δ＝（－2）2－4×15×（－145）＞0，且x1x2＜0，所以3y＝x＋1是“单曲型直线”.对于B，联立得消y得x2＝，所以y＝2是“单曲型直线”.对于C，联立得整理得0＝1，显然不成立，所以y＝x不是“单曲型直线”.对于D，联立得消y得20x2＋36x＋153＝0，因为Δ＝362－4×20×153＜0，所以y＝2x＋1不是“单曲型直线”.综上，是“单曲型直线”的有A、B. 7.（1，]　解析：由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e＞1，所以离心率e的取值范围是（1，]. 8. 　解析：，，代入.由右焦点得，，代入，故，. 故双曲线的标准方程为. 9.－＝1　解析：设点M的坐标为（x，y），点M到直线l的距离为d，由已知得＝，即｜MF｜＝d，∵点F（3，0），直线l的方程为x＝，∴｜MF｜＝＝，d＝｜x－｜，∴＝｜x－｜，整理得－＝1，∴点M的轨迹方程是－＝1. 10.解：（1）(1) 已知双曲线：（，）的焦距为，其渐近线方程为， 则，解得，，，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点，则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为（），则直线方程为， 设，，因为点为线段的中点， 所以，， 因为，在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即。 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 11. B　曲线，即（），表示双曲线的右支，其渐近线方程为，直线过定点，直线与曲线，如图所示： 观察图形得，当且仅当时，直线与双曲线的右支只有一个公共点，所以的取值范围为. 12.C　设A（x1，y1），B（x2，y2）.当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由得y＝±2，∴｜AB｜＝｜y1－y2｜＝4，满足题意.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k（x－），由消去y，得（2－k2）x2＋2k2x－3k2－2＝0.当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，则｜AB｜＝＝＝·＝＝4，解得k＝±；当2－k2＝0时，直线l分别与双曲线的一条渐近线平行，最多有一个交点，不满足题意，故这样的直线l有3条. 13.2＋　解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F（c，0），则直线l的方程为y＝（x－c）.因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b（点P在x轴下方，故舍去），故点P的坐标为（2a，－b），代入直线方程得－b＝（2a－c），化简可得离心率e＝＝2＋. 14.解：（1）设动点， 由题意有 即 同时平方，有 整理得： 所以曲线的方程为 （2）联立方程 消去得（） ①当即时，方程（）有个根，符合题意. ②当即时， 因为直线与曲线有个公共点 故 解得： 综上所述，当时，直线与曲线有且只有一个公共点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $