山西大学附中2026年高二数学暑假作业七-立体几何(1)

**基本信息** 聚焦立体几何核心素养，以题构建"概念辨析-空间计算-综合应用"逻辑链，强化空间观念与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-2题|线面关系命题判断、直观图还原|从空间基本关系到平面直观图转化，构建空间观念| |空间量计算|3-8、12-14题|最短路径、体积表面积、异面直线成角|多面体与旋转体性质应用，培养几何直观与运算能力| |综合应用|9-11、15题|动态几何、外接球、二面角计算|结合空间向量与几何推理，提升逻辑推理与问题解决能力|

高二数学暑假作业七 立体几何 1．已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对于A：若，，则或或，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则，故C正确； 对于D：若，，则或与异面或与相交，故D错误.故选：C. 2．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一、设矩形与相交于点，则原图形如下， ，则，所以. 方法二、由，所以.故选：C. 3．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】 将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度，而，由勾股定理得， 所以虫子爬行的最短距离.故选：D 4．如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接ON，因为，所以()， 因为，所以，所以.故选：C. 5．已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，体积为，则该圆台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】设圆台的高为，则，解得， 设圆台外接球半径为，则，球心到圆台上下底面圆距离分别为， 因此，，解得， 所以该圆台外接球的表面积为.故选：D 6．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为底面，底面为正方形，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以, 则， 设异面直线与所成角为，则.故选:A. 7．如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分别为棱的中点，则， ，，而正三棱锥中，对棱互相垂直，即， 又，平面平面， ，过的三条侧棱两两互相垂直， 因此可将正三棱锥补成正方体，正三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 由，正三棱锥的外接球，故选：C. 8．在三棱锥中，，，，，为的中点，三棱锥的外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设球心为的外接圆圆心为，连接， 因为为的中点，，所以为的外心， 由为的外心，得三点共线，且． 由题意得平面平面，则， 故直线与平面所成角为的余角， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 设三棱锥的外接球的半径为R，则，解得R=3，即，因为，所以， 因为，所以由正弦定理可得，解得， 所以，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故选：B 9．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．当M，P分别为线段，中点时，， B．取得最小值 C．当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D．对任意点M，平面平面 【答案】BCD 【详解】对于A.如图，，， ，所以当点是的中点时，与不垂直，故A错误； 对于B.如图，等腰直角三角形和直角三角形展成一个平面，当三点共线时，此时最小，为， ，， ，故B正确； 对于C.四面体的外接球和四棱锥是同一个外接球， 可以将四棱锥补成如图的长方体， 所以外接球的直径，即， 所以外接球的体积，故C正确； 对于D.如图，平面，平面，所以， 且，且，且平面，所以平面， 平面，所以， 同理， 且，且平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 10．（多选）如图，在四棱锥中，面，，，，，，点E满足，则下列结论正确的是（    ）． A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．点Q为底面内一动点，若与底面所成的角为，则点Q的轨迹长度为 【答案】BC 【详解】A：若平面，平面，则，又，故， 而面，面，则， 由于直线外一点与直线垂直的直线有且仅有一条，故有矛盾，错； B：过作，，则， 又，则，且，所以， 故为平行四边形，则，平面，平面， 所以平面，对； C：过作，则异面直线与所成角，即为与所成角， 面，面，则， 由题设为平行四边形，则，故，， 由，， 而，，故， 所以， 所以，则，对； D：若与底面所成的角为，面，，则的轨迹是平面内，以为圆心，为半径的圆弧上， 由上分析易知，，且到的距离， 故的轨迹与的交点为，则，所以， 所以，故，则轨迹长度在之间，显然不在该范围内，错. 故选：BC 11．（多选）若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（   ） A．球面上任意一点到P距离的最大值为3 B．过P做球O的截面，则截面面积的最小值是 C．若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D．若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 【答案】ACD 【详解】对于A，如图所示球的半径，为直径，中点为P，则有.根据球的性质可知，球面上一点到球内一点的最大距离为球的半径 加上该点到球心的距离，即，故A正确； 对于B，过P做球O的截面，当垂直于截面时，截面圆的半径最小， 由勾股定理可知， 所以截面面积的最小值为，故B错误； 对于C，如图所示：若正方体的外接球是球O，设正方体的棱长为， 则有，由可知. 已知球心到正方体各面的距离为，又因为， 所以点P到该正方体各面距离的最大值是， 故C正确； 对于D，如图所示 若正四面体的外接球是球O，取的中点为，连接， 设在底面的射影为，则在上，且， 设正四面体的棱长为， 则正四面体的高,又因为外接球半径， 由可知，，. 所以点与正四面体的每个面的交线是一个圆，截面圆的半径，周长为，所以点P在该正四面体上的轨迹长度是，故D正确. 故选：ACD 12．已知圆柱上、下底面的圆周都在一个表面积为169π的球面上，圆柱底面的直径为5，则该圆柱的体积为 ． 【答案】 【详解】设球的半径为，所以，解得， 设圆柱的母线长为，圆柱底面的半径为，所以，即，解得，所以该圆柱的体积．故答案为： 13．已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，，所以， 由得，又，所以，解得.故答案为： 14．我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为 ． 【答案】 【详解】因为半球台下底面半径，上底面半径，所以半球台高度. 由祖暅原理得，半球台的体积等于底面半径为、高为的圆柱的体积减去底面半径为、高为的圆锥的体积， 所以半球台的体积. 故答案为：. 15．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．   (1)求证：；(2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离． 【详解】（1）证明：由题知，平面ABC， 所以、、两两垂直故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系  因为，，，则 ，，，，，， 所以， 故 所以 （2）由（1）分析知，，， 又，即 所以， 设平面的法向量为则，即 令，则由题知，是平面的一个法向量 设二面角的平面角为，则 所以二面角的余弦值为. （3）由（2）知，，且 在上的投影向量的模长. 计算.根据点到直线距离公式， 即点到直线的距离为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高二数学暑假作业 编号七 立体几何 1．已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 4．如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（    ） A． B． C． D． 5．已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，体积为，则该圆台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，，，为的中点，三棱锥的外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 9．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．当M，P分别为线段，中点时，， B．取得最小值 C．当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D．对任意点M，平面平面 10．（多选）如图，在四棱锥中，面，，，，，，点E满足，则下列结论正确的是（    ）． A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．点Q为底面内一动点，若与底面所成的角为，则点Q的轨迹长度为 11．（多选）若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（   ） A．球面上任意一点到P距离的最大值为3 B．过P做球O的截面，则截面面积的最小值是 C．若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D．若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 12．已知圆柱上、下底面的圆周都在一个表面积为169π的球面上，圆柱底面的直径为5，则该圆柱的体积为 ． 13．已知，，，若，则的值为 . 14．我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为 ． 15．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $