山西大学附中2026年高二数学暑假作业专题九-直线圆圆锥曲线

**基本信息** 聚焦解析几何核心模块，通过16道题构建从基础概念到综合应用的递进训练体系，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与方程|5题|方向向量求倾斜角、平行条件判断、距离最值|从斜率概念到直线位置关系，构建代数表达与几何意义的转化逻辑| |圆与方程|2题|圆与圆位置关系、面积计算、标准方程求解|围绕圆心与半径，形成方程构建与几何性质应用的思维链| |圆锥曲线|7题|离心率计算、定义应用、焦点三角形、综合证明|遵循"定义-方程-性质-应用"认知路径，强化数形结合思想| |综合应用|2题|轨迹方程、定值问题、面积最值|整合直线与曲线位置关系，培养复杂问题的分解与转化能力|

山西大学附中高二数学暑假作业 编号九 直线 圆 圆锥曲线 1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 2．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 3．已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（    ）． A．d的最大值为 B．d的最大值为 C．d的最小值为 D．d的最小值为 4．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 7．已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 8．已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.（多选题）．下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 10.（多选题）．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（   ） A．曲线与直线有个公共点 B．曲线上任意两点距离最大值为 C．的最大值为 D．曲线所围成图形面积为 11.（多选题）．设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C． D． 12．在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 13．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 14．已知F1、F2是椭圆5x2+9y2＝45的左右焦点，点P是此椭圆上的一个动点，A（1，1）为一个定点，则|PA|+|PF1|的最大值为 ，的最小值为 . 15．已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 16．抛物线，点为焦点，点、是抛物线上任意不重合的两点.当直线过点且垂直轴时，. (1)求抛物线及其准线的方程； (2)若以线段为直径的圆过点，求面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学暑假作业九 直线 圆 圆锥曲线 一、单选题 1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为，结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为．故选：C． 2．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即，当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件，故选：A. 3．已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（    ）． A．d的最大值为B．d的最大值为C．d的最小值为 D．d的最小值为 【答案】D 【分析】首先判断直线、的位置关系，再对函数求导，根据题意知与直线平行且与相切的直线，其对应切点到直线的距离，即为的最小值，即可求. 【解】由直线l的方程，得． 令，，则． 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的最大值为， 所以恒成立，所以曲线与直线l无交点，且曲线在直线l的下方． 由题设且，设直线与直线平行且与相切， 则直线与的切点到直线的距离，为的最小值，且无最大值，又， 因为，，求导，得．解，得， 因为，所以． 此时，点P到直线l的距离为，所以d的最小值为．故选：D． 4．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍），由图可知，实数的取值范围是，故选：C. 5．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【解】，，，由，解得，或， 则，因为，所以四边形的面积为.故选：A. 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，，进而求离心率. 【解】由椭圆的定义及题意，得，所以．因为，所以，所以，所以离心率．故选：B． 7．已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线中的关系式，结合，即可求解. 【解】由题意得：，，，联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 8．已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可． 【解】由题意抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得：， 则，当且仅当、、三点共线时取等号．即的最小值是3．故选：C. 二、多选题 9．下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 【答案】AC 【分析】根据特殊值法判断A，C，应用一般式求斜率判断B，结合直线的两点式判断D. 【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误； B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确. C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错. D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.故选：AC 10．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（   ） A．曲线与直线有个公共点 B．曲线上任意两点距离最大值为 C．的最大值为 D．曲线所围成图形面积为 【答案】BCD 【分析】联立曲线与直线的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线与轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项. 【详解】曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 在曲线上任取一点，则该点关于轴的对称点为， 因为，即点也在曲线上， 所以，曲线关于轴对称，同理可知，曲线关于轴、原点对称，作出曲线的图形如下图所示： 对于A选项，由，得， 所以，即，可得或（舍去）， 故，所以曲线与直线只有个公共点，A错； 对于B选项，在曲线的方程中，令，可得，解得或， 所以，曲线交轴于点、、， 结合图形可知，曲线上任意两点距离最大值为，B对； 对于C选项，当取最大值，则必有，，此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上， 设，，其中，由可得，所以， 所以， 因为，则，故， 故，即的最大值为，C对； 对于D选项，设圆的圆心为，该圆的半径为， 因为，故是边长为的等边三角形， 所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为， 所以曲线所围成图形面积为，D对.故选：BCD. 11．设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又，所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，，联立，得， 易知，则，又，， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即，同理， 又 ，， 所以， 则，故D正确.故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又，所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得，易知，则， 所以， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即，同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ，所以， 则；综上，，故D正确.故选：ACD. 12．在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【答案】 【解】设的坐标为，则的中点坐标为，则，解得，则点的坐标为.故答案为： 13．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】设圆的标准方程为，根据点在圆上、圆心在直线上列方程求解即可. 【解】设圆的标准方程为，则，解得， 所以圆的标准方程为.故答案为： 14．已知F1、F2是椭圆5x2+9y2＝45的左右焦点，点P是此椭圆上的一个动点，A（1，1）为一个定点，则|PA|+|PF1|的最大值为 ，的最小值为 . 【答案】 / /3.5 【分析】将椭圆化为标准方程，根据椭圆的定义转化求解，结合图象即可解答；作图，根据椭圆的第二定义，将转化为到右准线的距离，根据图象，垂直最小. 【解】将椭圆化为标准方程的， 根据椭圆的第一定义：|PA|+|PF1|＝|PA|+2a﹣|PF2| ∴|PA|+|PF1|取得最大值时，即|PA|﹣|PF2|最大， 如图所示： ， 当P，A，F2共线时取得最大值.∴|PA|+|PF1|的最大值为： ∵∴即为： ∴根据椭圆的第二定义：过A作右准线的垂线，交于B点，如图 则的最小值为|AB| ∵     ∴的最小值为：故答案为：； 15．已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 【答案】(1)(2) 【解】（1）双曲线的焦点为，，对椭圆：有， 又椭圆的离心率为，则由，得，又有，椭圆的标准方程为； （2）设，，设直线方程为，由，整理得：， 由，，， ，， ，要使为定值，则， 即，即，解得：或舍，故． 16．抛物线，点为焦点，点、是抛物线上任意不重合的两点.当直线过点且垂直轴时，. (1)求抛物线及其准线的方程；(2)若以线段为直径的圆过点，求面积的最小值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据直线过点且垂直轴求出的纵坐标，再结合即可求出的值，进而得解； （2）联立直线与抛物线的方程，利用弦长公式及点到直线的距离表示出的底和高，再结合韦达定理对三角形的面积进行化简，利用二次函数求最值即可. 【解】（1）设，因为抛物线，所以， 当直线过点且垂直轴时，直线的方程为， 令可得，（或）， ， ，所以抛物线，准线方程为； （2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线由可得，则，设，则， 因为以线段为直径的圆过点，所以，即， 即，， 将代入得 则有， 所以，且，解得或.设点到直线的距离为，所以， ，所以的面积， 而或， 所以当时，的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $