山西大学附中2026年高二数学暑假作业专题六-不等式

**基本信息** 聚焦不等式性质、解法及综合应用，通过选择、多选、解答等多元题型，培养数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适合高二暑假巩固提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5选择+2填空|考查不等式性质、解集判断、充要条件|从不等式基本性质到集合、函数定义域的应用，构建概念生成链条| |综合应用|3选择+3多选+2解答|结合随机变量、几何图形、恒成立问题|通过函数、概率、几何交叉情境，体现不等式与多领域知识的逻辑联系，发展推理与模型意识|

高二数学暑假作业专题六 不等式解析版 一、单选题 1．已知，则（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C. 2．已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】依题意，，，或， 由，得，解得，所以a的取值范围是.故选：B 3．已知随机变量，若，，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知，正态密度曲线关于对称，所以，且， 所以， 则， 当且仅当，，即时，即时等号成立， 所以的最小值是.故选：B 4．已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解】不等式，等价于，因为，所以，显然，得出；，得或，未必.故选：A. 5．下列不等式的解集为的是（ ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】由完全平方数判断A，举反例判断BCD即可. 【详解】对于A，因为恒成立，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当是，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误.故选：A. 6．已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知函数，所以为偶函数， 当时，，又与在上单调递减， 所以在也单调递减，，即， 所以解得或，所以的取值范围为.故选：D. 7．已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算可得，结合基本不等式可得最值. 【解】如图所示，设中点为， 由，则， 即， 又过点作直线分别与、交于点、，设， 则，所以，即，又，，则， 当且仅当，即时，等号成立，故选：C. 8．已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】不等式对于一切实数恒成立，且， ，.，使成立，，， ， 当且仅当，即时等号成立.故选：D. 二、多选题 9．已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【分析】利用基本不等式即可判断AB；C利用基本不等式判断，但取等条件不成立；D构造函数，通过求导研究其单调性. 【解】对于A，，则，等号成立时， 因，则，故A错误；对于B，， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B正确； 对于C， ， 当且仅当，即时，等号成立，这与已知不符合，故等号不成立，故C错误； 对于D，，设，求导得，则在上单调递减，则，即，所以，所以，故D正确．故选：BD． 10．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【解】对于A选项，若，，则，A错误； 对于B选项，若，，则，，B正确； 对于C选项，若且，则， 即，C正确；对于D选项，若，取，，， 则，，此时，D错误.故选：BC. 11．已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A．B．C． D． 【答案】AD 【分析】由题意结合函数单调性可得.对于A，由作差法可判断选项正误；对于B，由对数函数单调性可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由指数函数单调性可判断选项正误. 【详解】由题意可得，对于函数， 则在R上单调递增，结合，可得. 对于A，，故A正确； 对于B，由不能判断与1的大小，故B错误； 对于C，取，此时C不成立，故C错误； 对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确.故选：AD. 12．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，可得，故答案为： 13．已知正数，，满足，则，，的大小关系为 . 【答案】 【分析】将看成常数，然后根据题意表示出，再作差比较出大小即可 【详解】解：由，得，则，得，所以，所以， 令，则， 所以函数在上单调递增，所以，所以，即 所以，所以，综上，故答案为：. 14．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 【解】设，则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得故x的取值范围是． 故答案为： 15．（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即．因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，；当时，；当时，． 16．已知函数. (1)求证：；(2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析(2)或 【分析】（1）先化简函数，进而根据基本不等式求证即可； （2）先由解出的值，进而根据对数的运算性质求解即可. （1）证明：由，因为，则， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以. （2）由，得，解得，或， 则或，即或，解得或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高二数学暑假作业 编号六 不等式 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，若，，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列不等式的解集为的是（ ） A． B． C． D． 6．已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 8．已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 9．（多选题）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为3 D． 10．（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 11．（多选题）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 12．已知，则的取值范围是 . 13．已知正数，，满足，则，，的大小关系为 . 14．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 15．（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 16．已知函数. (1)求证：； (2)若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $