山西大学附中2026年高二数学暑假作业专题四-解三角形

**基本信息** 聚焦解三角形核心方法，通过基础计算、多解分析、最值探究及实际应用，系统训练正弦定理、余弦定理的灵活运用，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-4题|已知边角求边/角，直接应用正余弦定理|从基本定理到简单计算，构建定理应用的直接逻辑| |综合探究|5-8、12-14题|实际情境（圭表）、几何类比（赵爽弦图）、面积计算|结合生活与几何情境，体现数学眼光观察现实世界| |多解与最值|2、3、7、13题|三角形两解判断、面积最值，涉及不等式与函数思想|从定性分析到定量计算，发展数学思维的逻辑性| |综合应用|9-11、15-16题|多选综合判断、解答题分步论证，融合多知识点|通过复杂问题整合知识网络，提升数学语言表达能力|

山西大学附中高二数学暑假作业 编号四 解三角形 1．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．2 B． C． D． 2．已知 中，是的中点，且 ，则 面积的最大值（   ） A． B． C．1 D．2 3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若有两解，则c的取值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．在中，内角的对边分别为，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角的对边分别是，若，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 7．记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知 的内角的对边分别为，且， 下列结论正确的是（    ） A． B．若 ，则 有两解 C．当时， 为直角三角形 D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 10．（多选）如图，在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点且B、D在直线AC异侧，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积的最小值为 D．四边形ABCD面积的最大值为 11．（多选）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（    ） A． B．的最小值为3 C．若为锐角三角形，则 D．若，，则 12．在，已知，.则 . 13．已知的内角，，的对边分别为，，，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 14．设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 . 15．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)已知，求的最大值. 16．记的内角的对边分别为，已知. (1)若成等差数列，求的面积； (2)若，求. 试卷第24页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高二数学暑假作业 编号四 解三角形 1．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【解】因为，，所以，由正弦定理，可得.故选：B 2．已知 中，是的中点，且 ，则 面积的最大值（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用中线得到，结合不等式得出，进而得到面积的最大值. 【详解】因为所以， 因为是中线，所以，， 所以，当且仅当时，等号成立； 面积为. 故选：A 3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若有两解，则c的取值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意可得，计算即可得. 【详解】由题意可得，即. 故选：A. 4．在中，内角的对边分别为，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正弦定理化边为角，得出，再利用余弦定理求出角即可得解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以，又，则，由余弦定理得，又，所以，所以，所以.故选：C. 5．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求的值. 【详解】 如图，，，∴． 又，∴，根据勾股定理． 在中，根据正弦定理可知， 即，解得，故选：C． 6．在中，角的对边分别是，若，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】C 【解】由余弦定理可得，解得，故A错误； 由及正弦定理，可得, 化简可得.因为，所以，所以，即. 因为，所以，故B错误； 因为，所以且，代入， 可得，解得，. 因为，，，所以由正弦定理可得， 由，可得， 化简可得，解得或（舍），故C正确； ，故D错误.故选：C. 7．记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值． 【解】因为，可得，即， 整理可得，即， 在三角形中，，即，,可得； 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 而，所以，所以． 即该三角形的面积的最大值为．故选：A． 8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是等边三角形，设，利用正弦定理可求得，进而利用余弦定理可求得的值. 【详解】由知， 所以为正三角形， ∵，设，则 由正弦定理：，即，则 在中， 即，则，即．故选：A. 9．（多选）已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（    ） A． B．若 ，则 有两解 C．当时， 为直角三角形 D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 【答案】ACD 【解】对于A，因为，所以由及正弦定理得，，由诱导公式得，，因为，故，所以，化解得，即， 所以或，即（舍）或，故A正确； 对于B，由余弦定理得，即，得， 由，所以(负值舍)，即有一解，故B错误； 对于C，因为，两边平方得，由余弦定理得， 由两式消得，，解得或，由解得， 由解得;故为直角三角形，故C正确； 对于D，因为为锐角三角形，且，所以， 即， 所以，所以，故D正确.故选：ACD. 10．（多选）如图，在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点且B、D在直线AC异侧，，，则下列说法正确的是（    ）   A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积的最小值为 D．四边形ABCD面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由正弦定理的边角互化即可得到，从而判断A，由余弦定理即可得到，从而判断B，由三角形的面积公式代入计算，即可判断CD. 【解】， 根据正弦定理得，即， ，显然，则，根据题意，有， 又，可得，，为等边三角形，故A正确； ，，在中，， 当时，，，即，A，B，C，D共圆，B正确． 又，四边形ABCD面积， ，，，则， 所以四边形ABCD的面积没有最小值，C错误． 当，即时，四边形ABCD面积取最大值，故D正确．故选：ABD． 11．（多选）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（    ） A． B．的最小值为3 C．若为锐角三角形，则 D．若，，则 【答案】BCD 【解】由，得，由正弦定理得，由余弦定理得， 则，当时，，即， 当时，，又，所以， 所以，所以，所以，故选项A错误； 由，则，当且仅当时，故选项B正确； 在中，，由正弦定理，， 若为锐角三角形，又，则，故， 所以，所以，则，所以，故选项C正确； 在中，由正弦定理，又，，， 得，则由余弦定理，， 得，整理得，解得，或， 当时，有，又，所以，因为，则不成立，故选项D正确.故选：BCD. 12．在，已知，.则 . 【答案】 【解】设，，，由得，所以. 又，因此，.由，得； 于是，所以， ∴，即.∵，∴，∴， ∴或，∴或.又∵，∴，，，则.故答案为： 13．已知的内角，，的对边分别为，，，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 【详解】由正弦定理结合，可得， 因为，所以，即， 注意到，所以只能，解得， 若的面积等于，则，解得， 在三角形中，运用余弦定理有， 三角形的周长，等号成立当且仅当， 综上所述，当且仅当三角形是以顶角的等腰三角形时，的周长取到最小值，且最小值为.故答案为：. 14．设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案. 【详解】由余弦定理得，， 而由，得，因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以， 所以，解得或，当时，即，，由大边对大角得：最大角为C， ，故C为锐角，不符合题意； 当时，即，，由大边对大角得：最大角为B， ，故B是钝角，符合题意，故答案为： 15．在中，角的对边分别为，已知. (1)求；(2)已知，求的最大值. 【解】（1）∵，由正弦定理得， ，即， 所以，∵，∴，∴，∵，∴； （2）由正弦定理，得，∴ ， 又∵，为锐角，∴的最大值为，∴的最大值为. 16．记的内角的对边分别为，已知. (1)若成等差数列，求的面积；(2)若，求. 【解】（1）因为成等差数列，所以，又，所以①， 在中，由余弦定理可得：， 又，所以②，由①②得，所以的面积.（2）因为，所以， 又因为且，所以，所以， 所以，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以，所以. 试卷第24页，共24页 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $