山西大学附中2026年高二数学暑假作业-专题五数列

**基本信息** 聚焦数列核心概念与性质，通过基础运算、性质应用及实际情境题，系统覆盖等差等比、递推关系、前n项和等高频考点，注重推理能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与运算|1-4、12题|通项公式、前n项和计算|从数列定义到等差等比基本量运算，构建概念到运算的逻辑链| |性质应用与综合|7-11、13-14题|单调性分析、递推关系、综合判断|结合数列性质（如单调性）与数学思维（推理、运算），深化知识间内在联系| |实际情境与创新|6、15-16题|实际问题建模、等比证明|以黄鹤楼灯笼等情境为载体，体现模型意识，实现知识应用拓展|

专题五 数列 解析版 一、单选题 1．已知数列的通项公式，则数列的最大值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解】因为，其对应的函数为二次函数，开口向下，对称轴为，又，所以或2时，取得最大值，故数列的最大值是.故选：C. 2．在等差数列中，若，则其前20项和为（   ） A． B．20 C． D．10 【答案】A 【详解】,所以其前20项和.故选：A. 3．已知数列的首项，且满足，则（    ） A．63 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【解】由可得，且，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故，则.故选：C 4．已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】C 【解】根据题意，则，因为，又，，则的最大值为44.故选：C 5．数列中，，，则（    ） A．510 B．1024 C．2046 D．4094 【答案】C 【解】因为，，令，则，所以数列为等比数列，首项为2，公比为2.所以.故选：C. 6．2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层．为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（　　） A．12盏 B．24盏 C．36盏 D．48盏 【答案】B 【解】五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍， 由题意知，各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，记为数列，第5层楼所挂灯笼数为，公比．由，解得.则最中间一层的灯笼数为24．故选：B． 7．设等差数列的前项和分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】因为等差数列，的前n项和分别是，所以. 故选：A. 8．数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以，对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，显然当增大时，减小，此时增大， X 1 2 3 4 5 所以.故选：A. 二、多选题 9．已知随机变量X的分布列如下表： 其中成等比数列，则下列结论正确的是（    ） A．成等差数列B．C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由，得，则成等差数列，A正确； 对于B，由成等比数列，得，而，解得，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，D正确.故选：AD 10．已知数列的前项和为，下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若数列是等差数列且，，则当时，取得最大值 C．若且数列是等比数列，则 D．若数列是等差数列，则 【答案】ABD 【解】对于A中，由，当时，， 当时，由，可得， 相减可得，对成立，所以，所以A正确； 对于B中，因为，且，则公差， 由，得到，即，所以，， 故当时，取得最大值，所以B正确； 对于C中，若且数列是等比数列，则公比为2， 所以，则，，而不等于0，C错误； 对于D中，因为数列是等差数列，则，所以D正确故选：ABD 11．已知数列的前项和，则（    ） A． B． C．前项和为 D． 【答案】ACD 的通项公式，可判断B选项；利用分组求和法可判断C选项；利用裂项相消法可判断D选项. 【解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为数列的前项和， 所以当时，， 因为不满足，所以，B错； 对于C选项，前项和为，C对； 对于D选项，当时，， 所以 ，D对.故选：ACD. 12．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则 . 【答案】 【解】设等比数列首项为，当等比数列的公比时，有， 即，，所以，此时不符合题意，故， 当等比数列的公比时，有，，则， 解得.故答案为： 13．已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【解】由数列为严格增数列，得，， 因此，，而数列为严格减数列，所以，则， 所以实数的取值范围为.故答案为：. 14．已知数列满足，且，则数列的前项和 . 【答案】 【解】已知，则有： 将以上个式子相加可得： 根据等差数列求和公式，则 所以：因为，所以 数列的通项为，将代入，所求数列通项为.裂项后求和得：故答案为： 15．已知数列满足，，是数列的前项和，记． (1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)10170. 【解】（1）由，，得， 则，而，所以数列是等比数列. （2）由（1）得，，所以数列的通项公式. （3）由（2）得，， . 16．已知数列的前n项和为，且（）. (1)若为等比数列，求公比q的值；(2)若， （ⅰ）证明：数列为等比数列；（ⅱ）求数列的前n项和. 【解】（1）数列中，，由，得， 则，解得或，当时，，，， 而，显然不恒成立，因此， 当时，，，，符合题意，所以. （2）（ⅰ）由，得，两式相减得， 则，当时，， 而，，则，即，，所以数列为等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则， ，两式相减得， 当时，， 于是，，则； 当时，， 于是，，则， 因此，，， 则，， 两式相减得，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高二数学暑假作业 编号五 数列 1．已知数列的通项公式，则数列的最大值是（   ） A．3 B．2 C． D． 2．在等差数列中，若，则其前20项和为（   ） A． B．20 C． D．10 3．已知数列的首项，且满足，则（    ） A．63 B．128 C．255 D．256 4．已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 5． 数列中，，，则（    ） A．510 B．1024 C．2046 D．4094 6．2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层．为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（　　） A．12盏 B．24盏 C．36盏 D．48盏 7．设等差数列的前项和分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 8．数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 其中成等比数列，则下列结论正确的是（    ） A．成等差数列 B． C． D． 10．（多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若数列是等差数列且，，则当时，取得最大值 C．若且数列是等比数列，则 D．若数列是等差数列，则 11．（多选题）已知数列的前项和，则（    ） A． B． C．前项和为 D． 12．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则 . 13．已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 . 14．已知数列满足，且，则数列的前项和 . 15．已知数列满足，，是数列的前项和，记． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式；(3)求． 16．已知数列的前n项和为，且（）. (1)若为等比数列，求公比q的值； (2)若，（ⅰ）证明：数列为等比数列；（ⅱ）求数列的前n项和. 学科网（北京）股份有限公司 $