山西大学附中2026年高二数学暑假作业专题十-平面向量

**基本信息** 聚焦平面向量核心概念与几何应用，通过阶梯式题型覆盖从基础运算到综合问题，强化数学抽象与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1-2题|考查单位向量、共线向量等基础概念|从向量定义出发，构建概念认知框架| |坐标运算与数量积|3-7题|涉及坐标表示、投影向量、夹角计算|由代数运算过渡到几何意义，体现数形结合| |几何应用|8-14题|三角形重心、内心及动态最值问题|向量工具与三角形性质融合，强化应用意识| |综合拓展|15-16题|多知识点交汇的解答题|整合运算能力与推理能力，提升综合解题素养|

山西大学附中高二数学暑假作业 编号十 平面向量 1．以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.同 D．若，则不是共线向量 2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，且，为边的中点.若在边上运动（点可与重合） ， 则的最小值（    ） A． B． B． C． D． 5．在中，若，则是 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知平面向量，且，与的夹角为钝角，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，则在上投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知与为全等的正六边形，且，点为边IJ的中点，则的值为（   ）. A．30 B．32 C．35 D．36 9（多选题）．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（   ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形或钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，，则符合条件的有两个 10．下列说法中正确的是（    ） A．在中，“”是“”的既不充分也不必要条件 B．若是非零向量，则“”是“”的必要不充分条件 C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D．用一个平面去截正方体，在正方体表面形成的截面形状不可能是正五边形 11．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，且，则为直角三角形 D．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 12．已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ． 13．在中，I为的内心，若，则 . 14．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则实数k的值是 . 15．已知向量. (1)求的坐标；(2)求；(3)若，且，求实数的值. 16．已知向量，，其中，且. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学暑假作业 十 平面向量 一、单选题 1．以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.同 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标． 【详解】根据题意，向量，则， 所以与向量同向的单位向量为． 故选：B． 3．在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件确定点的位置然后利用向量的线性运算用表示即可. 【详解】因为，所以为线段的三等分点，如图所示， . 故选：A 4．在中，且，为边的中点.若在边上运动（点可与重合） ， 则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得三角形是等腰直角三角形，利用平面向量基本定理，将，用其他已知方向和模长的向量表示，计算数量积，求最小值. 【详解】由题，为等腰直角三角形，，，， 设，， 则，， 所以， 即，因为，所以当时，最小等于.故选：A. 5．在中，若，则是 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解】因为，所以，则， 故，，所以是直角三角形故选：A. 6．已知平面向量，且，与的夹角为钝角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，再根据和列出方程求解即可. 【详解】设，因为，所以，又， 解得或 因为与的夹角是钝角，所以. 故选：A. 7．已知向量，，则在上投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及投影向量的定义可求出在上投影向量的坐标. 【详解】因为向量，， 则在上投影向量为.故选：C. 8．如图，已知与为全等的正六边形，且，点为边IJ的中点，则的值为（   ）. A．30 B．32 C．35 D．36 【答案】C 【分析】根据已知图形特征建立直角坐标系求出坐标，再应用平面向量数量积坐标公式计算求解即可. 【详解】以分别为轴建立直角坐标系， 因为，且， 所以，所以， 所以， 所以，所以，故选：C. 二、多选题 9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（   ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形或钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，，则符合条件的有两个 【答案】BD 【详解】对于A：因为，与的夹角为B的补角，所以B为锐角，不能确定的形状，A错误；对于B：因为，，，， 所以或， 当时，，为等腰三角形， 当时，，，为钝角三角形， 所以为等腰三角形或钝角三角形，B正确； 对于C：因为，所以， 所以，故为锐角，但无法判断角A，B的范围，C错误； 对于D：因为， 所以，故符合条件的有两个，D正确.故选：BD. 10．下列说法中正确的是（    ） A．在中，“”是“”的既不充分也不必要条件 B．若是非零向量，则“”是“”的必要不充分条件 C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D．用一个平面去截正方体，在正方体表面形成的截面形状不可能是正五边形 【答案】BD 【解】对于A，由，得，由正弦定理得，且， 所以，充分性成立，故A不正确； 对于B，由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，正八面体的各面都是三角形，不是三棱锥，故C不正确； 对于D，假若用一个平面去截正方体，所得截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内， 由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理， 可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形．故D正确.故选：BD. 11．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，且，则为直角三角形 D．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 【答案】AD 【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得， 所以，因为，所以，则为钝角三角形，故A正确； 对于B，若，当，时，则，故B不正确； 对于C，因为，分别为单位向量，所以的角平分线与垂直，所以，． 又因为，即，因为，所以， 故，所以为等边三角形，故C错误； 对于D，因为，所以为的重心， 由知为的外心，故为等边三角形，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ． 【答案】3 【分析】连接AG并延长，交BC于F，结合已知有，再由三点共线即可得. 【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示， 由题意得，F为BC中点，所以，又G为重心，所以， 所以，即， 因为D、G、E三点共线，所以，即. 故答案为：3 13．在中，I为的内心，若，则 . 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 14．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则实数k的值是 . 【答案】 【分析】利用向量共线的充要条件建立方程组进行计算求解. 【详解】因为与是共线向量，所以存在实数，使得，所以，即，又因为是两个不共线的向量，所以， 解得故答案为：. 15．已知向量. (1)求的坐标；(2)求；(3)若，且，求实数的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）；（2）； （3）已知，因为， 即，所以. 16．已知向量，，其中，且. (1)求的值；(2)若，且，求的值. 【详解】（1），且， ，； （2）由及得； ， ，且， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $