课时作业42　平面向量的应用-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量应用，以实际背景与几何图形为载体，系统整合向量合成、数量积、共线定理等方法，构建“运算-几何-代数”三维解题逻辑，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量合成与分解|1题|向量加法平行四边形法则|从物理模型抽象向量运算，体现数学应用意识| |数量积运算|2题（2、6）|极化恒等式、坐标法|通过几何图形转化数量积，培养几何直观与推理能力| |共线定理应用|2题（3、5）|共线向量系数关系、基本不等式|结合三角形面积与三点共线，构建“向量表示-参数最值”逻辑链| |线性运算与几何位置|1题（4）|向量分解与几何意义|通过线性运算判断点的位置关系，发展空间观念|

课时作业(四十二)　平面向量的应用 一、单项选择题 1．(2025·怀化期末)河水的流速为2 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以8 m/s的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为(　　) A．8 m/s B．2 m/s C．2 m/s D．10 m/s 2．(2025·呼和浩特期末)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑，图1是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图2中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是(　　) A． B．2 C． D．3 3．(2025·盐城期末)如图，在△ABC中，∠BAC＝＝2，P为CD上一点，且满足＝m，若△ABC的面积为，则||的最小值为(　　) A． B． C．1 D． 二、多项选择题 4．设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　) A．若＝)，则点D是边BC的中点 B．若＝，则直线AD过△ABC的垂心 C．若＝2，则点D在边BC的延长线上 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD的面积是△ABC的面积的一半 三、填空题 5．(2025·济南月考)如图，在△ABC中，＝2＝m＝n，m＞0，n＞0，若D，E，F三点共线，则m＋n的最小值为 ________． 6．在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是________． 课时作业(四十二) 1．B　[设水流速度为v1，船在静水中的速度为v2，实际行驶速度v＝v1＋v2， 根据题意，可得|v1|＝2，|v|＝8，且v1⊥v， 所以|v2|＝＝2 m/s， 即小船实际航行的速度大小为2 m/s． 故选B．] 2．B　[连接AB，OM，如图， 则＝()·()＝()·()＝－1， 根据图形知，当点M位于正六边形各边的中点时，此时|MO|取得最小值为，||2－1取得最小值为2， 所以的最小值是2． 故选B．] 3．A　[∵△ABC的面积为， ∴||||sin∠BAC＝||||·sin||||＝， ∴||||＝4， ∴＝||||cos∠BAC＝4cos＝2， ∵＝2，∴， 由＝m＝m， ∵C，P，D三点共线，∴m＋＝1， 解得m＝． ∴||2＝≥2×||×||＋， 当且仅当||＝2||时取等号， ∴||min＝． 故选A．] 4．ABD　[对于A，∵)， 即， 即点D是边BC的中点，故A正确； 对于B，(－||＋||)＝0，即AD⊥BC， 故直线AD过△ABC的垂心，故B正确； 对于C，∵＝2， 即， 即， 即点D在边CB的延长线上，故C错误； 对于D，∵＝x＋y，且x＋y＝， 设＝2， 则＝2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1， 故M，B，C三点共线，且||＝2||， 即△BCD的面积是△ABC的面积的一半，故D正确．故选ABD．] 5．　[由＝2＝2()， 即， ∵D，E，F三点共线， ∴＝1， ∴m＋n＝(m＋n) ＝， 当且仅当m＝，n＝时取等号， 所以m＋n的最小值为．] 6．－　[法一(极化恒等式)：如图1，取OB的中点D，连接PD，则＝||2－||2＝||2－，即求PD的最小值． 由图可知，当PD⊥AB时，PDmin＝， 则的最小值是－． 法二(坐标法)：以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系， 则A， O，B，可得直线AB的方程为2x＋y＝1，设P， ， 所以＝4x2－3x＋ ＝4， 当x＝取得最小值－．] 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $