精品解析：2022年上海市松江区仓桥学校中考数学模拟试卷

2022年上海市松江区仓桥学校中考数学模拟试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式是分母含有未知数且分子、分母都是整式的式子逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式，不是分式，不符合题意； B、是分式，符合题意； C、的分子不是整式，故不是分式，不符合题意； D、的分母不是整式，故不是分式，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，理解分式的定义是解答的关键． 2. 下列方程中，有实数根的是（　　） A. B. C. x3+3＝0 D. x4+4＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数即可作出判断． 【详解】A．0，因而方程一定无解； B．x﹣1≥0，解得：x≥1，则﹣x＜0，故原式一定不成立，方程无解； C．x3+3=0，则x，故选项正确； D．x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程无解． 故选C． 【点睛】本题考查了任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数． 3. 函数常数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据的取值范围确定的符号，从而确定一次函数不经过的象限． 【详解】 ， 常数的图象经过一、三、四象限， 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记比例系数对函数图象的影响． 4. 某餐饮公司为一所学校提供午餐，有 元， 元， 元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格的盒饭数依次占 ，，．那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是（ ） A. 元， 元 B. 元， 元 C. 元， 元 D. 元， 元 【答案】D 【解析】 【分析】根据加权平均数定义，中位数的定义求解，根据占比，中位数为10，12的平均数． 【详解】解：平均数； 中位数； 故选：D． 【点睛】本题考查加权平均数定义，中位数；理解相关的定义是解题的关键． 5. 如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） ∴当时，四边形是菱形． 6. 如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点． 【详解】解：作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴ ∴ ∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 8. 方程的解是____________ 【答案】． 【解析】 【分析】首先把方程两边同时平方，然后解一元二次方程，最后要验根． 【详解】解： ， 则有且， 即：, ， ， ， (舍)， 是原方程的根， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理方程的解法，把方程两边同时平方是解题的关键，要注意解答后一定要检验． 9. 函数的定义域是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 10. 如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点A，B在第一象限，且， ∴． 11. 在一个袋子中装有除颜色外其它完全相同的个红球和个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，利用概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 一共有12种等可能的结果数，其中摸到的两个球颜色不同的有8种，则摸到的两个球颜色不同的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查用列表法或树状图法求随机事件的概率，正确画出树状图，熟记概率公式是解答的关键． 12. 某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给出的数据求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 13. 李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是_____________. 【答案】 【解析】 【详解】分析： 根据题意把李明步行和骑车各自所走路程表达出来，再结合步行和骑车所走总里程为2900米，列出方程即可. 详解： 设他推车步行的时间为x分钟，根据题意可得： 80x+250(15-x)=2900. 故答案为80x+250(15-x)=2900. 点睛：弄清本题中的等量关系：李明推车步行的路程+李明骑车行驶的路程=2900是解题的关键. 14. 如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，记，，那么＝__________________（用向量、表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形性质，得为等边三角形，根据平行线性质，得；结合向量性质，得，再根据向量性质计算，即可得到答案． 【详解】连接OE， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴， ∴ ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形、等边三角形、平行线、向量的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、向量的性质，从而完成求解． 15. 如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE//BC，BD=2AD，那么SΔDEB:SΔEBC==_____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要求SΔDEB:SΔEBC的值，根据两个三角形底边DE和BC上的高相等，则只需要知道DE：BC即可，再根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，得出DE：BC，便可求解. 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴, ∵BD=2AD，∴， ∴=, ∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h， ∴S△DBE：S△EBC===, 故答案为． 16. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据AB是⊙O的直径，OF⊥CD，和垂径定理可得CF＝DF，再根据30度角所对直角边等于斜边一半，和勾股定理即可求出EF的长，进而可得CD的长． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD， 根据垂径定理可知： CF＝DF， ∵∠CEA＝30°， ∴∠OEF＝30°， ∴OE＝2，EF＝， ∴DF＝DE﹣EF＝5﹣， ∴CD＝2DF＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】考查了垂径定理、勾股定理，解题关键是掌握并运用垂径定理． 17. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D在边BC上，且BD＝4，过点D的面积等分线交△ABC的边于点E，那么线段AE的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F，根据三角形的面积列出方程可得BC•AG＝2×DC•EF，就可以求出EF的值，证明△CEF∽△CAG，由相似三角形的性质得出，求出CE的值从而得出结论． 【详解】解：过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F， ∴∠AGB＝∠AGC＝∠EFC＝90°，BG＝CG＝BC＝6． ∴EFAG． ∵AB＝AC＝10， 在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG＝＝8． ∵DC＝BC﹣BD， ∴DC＝12﹣4＝8． ∵S△ABC＝2S△EDC， ∴BC•AG＝2×DC•EF， ∴×12×8＝2××8•EF， 即EF＝6． ∵EFAG， ∴△CEF∽△CAG， ∴， ∴， 即EC＝， ∴AE＝10﹣＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时正确作出辅助线是解答本题的关键，证明△CEF∽△CAG是解题的关键． 18. 如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴表示见解析，整数解为1、2、3 【解析】 【分析】分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后得出整数解即可． 【详解】解：， 移项合并得，， 系数化为1得，， ∴不等式的解集为， ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，， ∴不等式的解集为， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示解集如下： ， ∴整数解：1．2．3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等知识．解题的关键是掌握解不等式组的基本步骤． 21. 如图，已知反比例函数的图象经过、两点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，求点点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握待定系数法和相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）用待定系数法即可求得； （2）作轴，垂足为点，作，垂足为点，根据相似三角形的判定与性质得出点的坐标，进一步利用相似三角形的性质得出，即可确定点的坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ， ， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，作轴，垂足为点，作，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 将代入得：，即， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 22. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 【答案】（1）24米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算列式即可； （2）作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【小问1详解】 解： 斜坡的坡比为， ， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 则，， 答：改造前坡顶与地面的距离的长为24米； 【小问2详解】 解：作于， 则， ， ， 答：至少是8米． 23. 如图，在中，，点在上，以、为腰作等腰，且，连接，过作交延长线于，连接． （1）求证：； （2）如果，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）证明：， ， ， 同理， ， ， ， 又，， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， 即， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）先证四边形是平行四边形，再证，然后由矩形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，，抛物线经过A、B两点，顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，求四边形的面积； （3）将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）四边形的面积为7 （3）满足条件得P点坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据，求得点A的坐标，代入即可求得抛物线解析式； （2）由旋转可得出，再求出抛物线顶点，利用勾股定理及其逆定理可得，根据，即可求得答案； （3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为，分两种情况：①若点P在x轴上方时，②若点P在x轴下方时，分别求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入抛物线，得， 解得：，′ ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵将绕点A顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴ 即四边形的面积为7． 【小问3详解】 解：当时，， 可知抛物线经过点， ∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位过点， ∴平移后得抛物线解析式为：； ①若点P在x轴上方时，作轴，交抛物线于P点， ∴， ∴点P与点C关于抛物线的对称轴直线对称， ∴； ②若点P在x轴下方时，如图2，作的中垂线，与x轴交与E点，联结并延长，交抛物线于P点， 根据线段的垂直平分线的性质可得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 作轴，垂足为H，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：（舍去），， 当时， ∴P， 综上所述，满足条件得P点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移变换，旋转变换的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数等，第（3）小题分两种情况讨论是解题关键． 25. 如图1，点C是半圆上一点（不与A，B重合），交弧于点D，交弦于点E，连接交于点F． （1）如图1，如果，求的大小； （2）如图2，如果，求的正弦值； （3）连接，的直径为4，如果是等腰三角形，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）可利用同圆中等弦对等弧以及垂径定理判断的关系，再求弧所对的圆周角即可． （2）根据题目给的与的比值构造相似三角形，利用相似三角形的性质表示含的直角三角形的三条边，利用解直角三角形计算正弦值即可． （3）分类讨论，，排除不符合题意的情况，针对不同情况，结合等腰三角形“三线合一”的性质，圆的性质及勾股定理，相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解： 是半径， 【小问2详解】 解：连接， 是直径 设 【小问3详解】 解：当时， 连接， ∵半圆直径为4 ∵， 是等边三角形 ∵是直径， ∴ 当时， 连接，过点作，垂足为， 设 由（2）可知，， ∴ 解得： ∵点在圆内， ∴ ∴不存在 综上可知，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年上海市松江区仓桥学校中考数学模拟试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有实数根的是（　　） A. B. C. x3+3＝0 D. x4+4＝0 3. 函数常数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 某餐饮公司为一所学校提供午餐，有 元， 元， 元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格的盒饭数依次占 ，，．那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是（ ） A. 元， 元 B. 元， 元 C. 元， 元 D. 元， 元 5. 如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 分解因式：_____． 8. 方程的解是____________ 9. 函数的定义域是_____． 10. 如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 11. 在一个袋子中装有除颜色外其它完全相同的个红球和个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是______． 12. 某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 13. 李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是_____________. 14. 如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，记，，那么＝__________________（用向量、表示）． 15. 如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE//BC，BD=2AD，那么SΔDEB:SΔEBC==_____________. 16. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝______． 17. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D在边BC上，且BD＝4，过点D的面积等分线交△ABC的边于点E，那么线段AE的长等于________． 18. 如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 21. 如图，已知反比例函数的图象经过、两点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，求点点坐标． 22. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 23. 如图，在中，，点在上，以、为腰作等腰，且，连接，过作交延长线于，连接． （1）求证：； （2）如果，求证：四边形是矩形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，，抛物线经过A、B两点，顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，求四边形的面积； （3）将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足，求点P的坐标． 25. 如图1，点C是半圆上一点（不与A，B重合），交弧于点D，交弦于点E，连接交于点F． （1）如图1，如果，求的大小； （2）如图2，如果，求的正弦值； （3）连接，的直径为4，如果是等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $