精品解析：上海市奉贤中学附属初级中学2022--2023学年上学期九年级数学竞赛班选拔测试题

奉贤中学2025届数学竞赛班选拔测试 一、填空、选择题（1-10题每题5分，11-15题每题7分） 1. 设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（ ） A. 奇数 B. 偶数 C. 分数 D. 无理数 【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的判别式得到p和q的关系，结合p、q均为素数的性质，推导得到根的属性． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴，即， ， ∵均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数， 当均为奇素数时， 为奇数，且不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当，为奇素数时，即， ， 不存在这相的奇素数， 当，为奇素数时，即， ， 设（k为非负整数），即， 均为非负整数， 或， 解得或，均不符， 不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当且仅当时，， 综上所述，原方程的根一定是无理数． 2. 使得的值为整数的无理数的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】设分式的值为整数k，整理得到关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式确定k的所有可能整数值，再分别解方程，判断x是否为无理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵， ∴分母恒不为0， 设，其中k为整数， 整理得 ， 当时，得 ， 解得，是有理数，不符合要求； 当时，方程为一元二次方程，若方程有实根，则判别式：， 即， 解得， ∵k为整数，且， ∴k的可取值为1，2，3， 当时，方程为， 解得，都是无理数，符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 综上，符合条件的无理数共有2个． 3. 已知实数满足，则的值为________________； 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，再化简绝对值，然后两边平方可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， . 4. 已知周长为24，是的中点，，则_______； 【答案】 【解析】 【分析】由M为中点，结合已知条件可得，根据等边对等角和三角形内角和可得为直角三角形，为斜边，再结合周长和勾股定理计算两直角边的乘积，进而求出三角形面积． 【详解】解：如图， 是的中点，， ，， 又， ， ∴，． ∵， ∴， ∴， 设，， 的周长为， ，即， 由勾股定理得， ∵， ∴ 解得， ． 5. 方程的解是_______. 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程变形为：， 整理得， ， ， ， ，  ， ，  ， ， 解得：； 检验：当时，原方程所有分母都不为0， 故是原方程的解. 6. 若不等式的解集是，则实数的取值范围是_______； 【答案】 【解析】 【分析】先判断分子恒为正，因此原不等式解集为等价于分母对任意恒成立，分和两种情况讨论，结合二次函数的图象性质求解的范围． 【详解】首先分析分子，对，其判别式，又二次项系数为，因此对任意，恒成立． 因此的解集为，等价于对任意恒成立． （1）当时，不等式化为，恒成立，符合题意． （2）当时，要使对任意恒成立， 需满足， 其中 令，即，整理得，即， 解得或． 结合，得符合题意，不符合，舍去． 综上，实数的取值范围是． 7. 已知能被整除，则的值为_______； 【答案】 【解析】 【分析】多项式能被整除，先将因式分解为，可得和都是多项式的根，代入多项式得到关于的二元一次方程组，解方程组得到的值，即可求出． 【详解】解：由题意得，多项式能被整除， ， 当时，，整理得：， 当时，，整理得：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ． 8. 已知为正整数，且和均是完全平方数，则所有这样的的和为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】设，其中都是整数，整理化简可得，再根据得出所有可能的值，解方程求出的值，进而可得的值，然后求和即可． 【详解】解：由题意，设，其中都是整数， ∴，即， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴，都是整数， 又∵，且，，，， ∴①当，即时， 则， 解得，是正整数，符合题意； ②当，即时， 则， 解得，是正整数，符合题意； ③当，即时， 则， 解得，是正整数，符合题意； ④当，即时， 则， 解得，是正整数，符合题意； 综上，或， ∴所有这样的的和为． 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 【答案】 【解析】 【分析】设方程的两个根，利用根与系数的关系将转化为关于两根的代数式，再根据两根的取值范围计算的取值范围即可． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，满足， ， ， ， ， ， ， ，即的取值范围是． 10. 已知，，则的最小值为_______； 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式对分子拆分变形，再化简得到最小值，验证等号成立条件即可． 【详解】将分子拆分变形，可得： 根据基本不等式，可得： ，当且仅当即（）时等号成立， ，当且仅当即（）时等号成立， 因此， 因为，所以，不等式两边同时除以，得： 当且仅当，时等号成立，最小值为． 11. 已知，，为正数，且，则的值为_______； 【答案】 【解析】 【分析】先对原方程组每个方程左边因式分解变形，得到乘积形式的等式，据此求出，，的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ∵， ， 同理可得：，， ，，为正数， ，，均为正数， 将三个等式左右分别相乘，得， 开平方得， 用该式分别除以上述三个乘积式，得，，， 即，，， 将代入，得． 12. 已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法将原方程转化为整式方程，整理后换元求解，结合的范围舍去增根，检验后得到原方程的解集． 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 13. 已知，，且满足，则代数式的最小值_______； 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件对所求代数式进行恒等变形，设，对配方可得，求出最小值，即可解答． 【详解】由题意得 ，，， ∴ ， 设， ∴， ∴， 对配方可得， ∴的最小值为：； ∴代数式的最小值为． 14. 已知，则的最小值是_______； 【答案】 【解析】 【分析】根据x的取值分五个区间讨论：时，时，时，时，时，根据绝对值的性质去掉绝对值符号得到一次函数，根据一次函数的增减性判断每个区间的最小值，比较所有区间的最小值即可得到最终结果． 【详解】解：根据x的取值分五个区间讨论： 当时，， ∵随增大而减小， ∴当时，y有最小值，为． 当时， ∵随增大而减小， ∴当时，y有最小值，为． 当时， ∵随增大而减小， ∴当时，y有最小值，为． 当时， ∵随增大而增大，又当时，， ∴； 当时， ， ∵随增大而增大，且当时，， ∴． 综上，的最小值是8． 15. 如图，四边形是直角梯形，且，，，，则的值为_______； 【答案】 【解析】 【分析】可以作辅助线于，于，设，，，根据勾股定理可得到关于未知数的三个方程，求方程的解可得、、的长，再根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】如图，作于，于， 设，，，据勾股定理得： 由（2）、（3）分别得，（4），（5）， 将（1）代入（4）得； 将（1）代入（5）得； 把，的表达式分别代入（1）得， 因为，，所以， 所以， 所以． 二、简答题 16. 在一个走廊上依次排列着编号为1，2，3，…，2021，2022的灯共有2022盏，最初每盏灯的状态都是关着的，一个好动的学生做了下面的2022次操作：对，该学生第次操作时，将所有编号是的倍数的灯的开关都拉了一下，问：最后有多少盏灯是开着的？ 【答案】最后有44盏灯是开着的 【解析】 【分析】最初所有灯为关闭状态，只有拉动奇数次开关的灯最终为开的状态，编号为的灯被拉动的次数等于的正因数的个数，只有完全平方数的正因数个数为奇数，即可求解． 【详解】解：∵最初每盏灯都是关闭的，灯最后开着当且仅当开关被拉动奇数次，且对任意编号为的灯，只有当是的因数时，第次操作会拉动该灯， ∴该灯被拉动的次数等于的正因数的个数，非完全平方数的正因数成对出现，正因数个数为偶数，完全平方数的正因数个数为奇数， ∴只有编号为完全平方数的灯最后开着． ∵，， ∴到2022中，完全平方数共有44个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奉贤中学2025届数学竞赛班选拔测试 一、填空、选择题（1-10题每题5分，11-15题每题7分） 1. 设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（ ） A. 奇数 B. 偶数 C. 分数 D. 无理数 2. 使得的值为整数的无理数的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 3. 已知实数满足，则的值为________________； 4. 已知周长为24，是的中点，，则_______； 5. 方程的解是_______. 6. 若不等式的解集是，则实数的取值范围是_______； 7. 已知能被整除，则的值为_______； 8. 已知为正整数，且和均是完全平方数，则所有这样的的和为_______． 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 10. 已知，，则的最小值为_______； 11. 已知，，为正数，且，则的值为_______； 12. 已知，则方程的解集是_______； 13. 已知，，且满足，则代数式的最小值_______； 14. 已知，则的最小值是_______； 15. 如图，四边形是直角梯形，且，，，，则的值为_______； 二、简答题 16. 在一个走廊上依次排列着编号为1，2，3，…，2021，2022的灯共有2022盏，最初每盏灯的状态都是关着的，一个好动的学生做了下面的2022次操作：对，该学生第次操作时，将所有编号是的倍数的灯的开关都拉了一下，问：最后有多少盏灯是开着的？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $