第22讲 圆周角（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

第22讲 圆周角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆周角的概念 题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半 题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型4 直径所对的圆周角是直角 题型5 90°的圆周角所对的弦是直径 题型6 圆内接四边形对角互补 题型7 圆周角定理的实际应用 题型8 圆周角定理与三角板的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆周角、定理、分类讨论、直角、等弧、数形结合、转化。 1. 理解圆周角的概念，能准确识别图形中的圆周角。 2. 掌握圆周角定理及其推论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角。 3. 能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明和计算。 4. 体会分类讨论（圆周角的三种位置关系）和转化思想（圆周角与圆心角的转化）。 学习重点：圆周角的概念，圆周角定理及其推论，并能运用它们进行证明和计算。 学习难点：分类证明圆周角定理（圆心在圆周角一边上、内部、外部），以及灵活运用圆周角定理的推论解决问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆周角定理及推论 1）推论1：同弧或等弧所对圆周角相等 ∵同弧或等弧所对圆心角相等 ∴同弧或等弧所对圆周角相等 2）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结： 在同圆或等圆中，有如下关系： 即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。 3）推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。（因为圆心角为180°） 4）推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆 证明：∵∠A=90° ∴△ACB外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∵∠D=90° ∴△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∴四点共圆 【易错提醒】 圆周角等于同弧所对圆心角的一半；同弧圆周角相等，直径所对圆周角为直角。易错：必须是同弧或等弧，乱换弧结论不成立 即时即练1．如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的外角的性质可得，由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴ ∵， ∴． 2．如图，在中，直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理．试题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用和利用弧、弦、圆心角的关系求解．根据垂径定理得到，再根据圆周角定理，利用弧与圆心角的关系和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 3．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵的直径弦，， ∴， ∴． 题型1 圆周角的概念 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 【技巧归纳】 判断顶点在圆上、两边都与圆相交才是圆周角；解题常对照定义辨析正误，区分圆周角、圆心角避免概念混淆 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【变式1-2】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是 ． 【答案】2 【分析】连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质结合已知的垂直条件求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接OC， ∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠COH=2∠A=60°， ∵弦CD⊥AB于H， ∴∠OHC=90°， ∴∠OCH=30°， ∵OH=1， ∴OC=2OH=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握半径相等是解题的关键． 题型2 圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半 【例3】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，点在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，计算即可． 【详解】解：根据圆周角定理， 故选：B． 【例4】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再由，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． 【技巧归纳】 找准同一段弧对应的圆周角与圆心角，直接用二倍关系换算角度；遇多个角时找准公共弧，理清倍数关系快速求值 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，内接于，连接、，若点是优弧的中点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理及弧与圆心角、圆周角的关系，解题的关键是利用点A是优弧的中点得出，结合圆周角定理求圆心角． 由点A是优弧的中点，得，故为等腰三角形,；求出的度数，再根据圆周角定理，圆心角是圆周角的2倍，计算得的度数． 【详解】解：∵ 点A是优弧的中点， ∴ ， ∴ ，即为等腰三角形， ∴ ． 在中，， 根据圆周角定理，． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ． 【答案】/度 【分析】连接，根据得到，得到，根据三角形的内角和列式计算即可． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接、， ， ， ， ，， ， 解得，， 的度数为， 故答案为：． 题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例5】（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理得出，再由圆内接四边形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选：C． 【例6】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，相加即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， 又， ． 故选：B． 【技巧归纳】 锁定公共弧或相等的弧，快速转移相等圆周角进行等量代换，结合三角形内角、外角性质，便捷推导求解角度 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、在上，且，．则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等得到，进而推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为． 故答案为：9． 【变式3-2】（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，四边形内接于，连接，若，，则的大小为 （度）． 【答案】110 【分析】本题考查了同弧或等弧所对圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．根据得到，进而求出，根据圆内接四边形性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴． 故答案为：110 题型4 直径所对的圆周角是直角 【例7】（25-26九年级上·北京·月考）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 利用圆周角定理证得、，根据直角三角形的两锐角互余，进行计算求解即可． 【详解】解：由于为直径， 则， ∵， ∴, ∴， 故选：A． 【例8】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 【技巧归纳】 看到直径立刻构造圆周直角，遇直角也反向判定斜边为直径，结合勾股定理、三角形边角关系求解边长与角度 【变式4-1】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，圆的内接四边形对角互补． 根据题意得出，进而得出，最后根据圆的内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式4-2】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，是的外接圆，直径，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，是的直径， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； 故答案为． 题型5 90°的圆周角所对的弦是直径 【例9】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，用直角曲尺检查半圆形工件，合格的是（   ） A. B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“直径所对的圆周角等于”判断即可．本题主要考查圆周角的概念及“直径所对的圆周角等于”，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A、圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； B、角不是圆周角，故该工件不合格； C、圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； D、圆周角所对的弦是直径，故该工件合格； 故选：D． 【例10】（2025·山西长治·三模）如图，四边形是的内接四边形，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“90度的圆周角所对的弦是直径”可知为直径，并利用勾股定理解得的值，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，，， ∴为直径，且， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【技巧归纳】 看到圆周角为 90°，即可判定它所对弦是圆的直径，常反向构造辅助线，结合直角三角形性质求解边长、证明线段关系 【变式5-1】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，由圆周角定理得是圆形镜面的直径，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，是的弦，，，若点D在上，且，则长为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查了圆周角定理，含度的直角三角形的性质，度的圆周角所对的弦是直径，运用分类讨论思想是解题的关键．分两种情况：当点D在上时；当点D在上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点D在上时，如图： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在上时，如图： ∵，， ∴， ∴是的直径， ∴； 综上所述：或2， 故答案为：1或2． 题型6 已知圆内接四边形求角度 【例11】（25-26九年级上·山西忻州·月考）如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，根据内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：∵是四边形的外接圆， ∴． 故选：D． 【例12】（25-26九年级上·云南曲靖·月考）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质可得，由于，则． 【详解】解：根据题意得，四边形是的内接四边形，， 则 由于 则 故选：D． 【技巧归纳】 利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，找准对应内角，列式计算角度，结合圆周角定理综合求解 【变式6-1】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，四边形是的内接四边形，若 则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ， ． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）四边形是的内接四边形，为上一点（不与，重合），且的度数为，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查圆周角定理和圆内接四边形的性质；先求出，再分两种情况：当点E在上时，当点在上时，计算即可． 【详解】解：∵的度数为， ∴，         ∵四边形是的内接四边形， ∴， 当点E在上时， ∴， 当点在上时， ， 综上所述或， 故答案为：或． 题型7 求四边形的外接圆的直径 【例13】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，进而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，设该圆形铜镜的圆心为O，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴该铜镜的直径为． 故选：B． 【例14】（25-26九年级上·陕西安康·期中）现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，逐个判断图中弦所对应的角是否是直角即可． 【详解】解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的所对应的角是直角，即是直径， 故选：B． 【技巧归纳】 先判定四边形有外接圆，利用对角互补确定直角，直角所对弦即为直径，再借助勾股定理算出线段长度 【变式7-1】（2024九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 【变式7-2】（2024·广西南宁·三模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      【答案】1.5 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定和性质．过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，再由，可得，根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过A作于点F，    ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 题型8 圆周角定理与三角板的综合运用 【例15】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆形瓷盘的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点P、Q，量得，，则该圆形瓷盘的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了圆周角定理和勾股定理，如图，连接，根据圆周角定理可以判定是直径，所以根据勾股定理求得直径，然后再来求半径即可． 【详解】解：连接， ∵， 为圆形瓷盘的直径， ∴， 半径为 ． 故选：B． 【例16】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，，由圆周角定理得，又，则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 【技巧归纳】 借助三角板固定特殊角度，结合圆周角定理转换等角，利用直径对应直角特性，推导角度大小，搭配直角三角形边长计算 【变式8-1】（2025·福建厦门·二模）如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点，，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为 ． 【答案】 /厘米 【分析】此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识；设鼓面圆的圆心为，连接、，则，因为，所以是等边三角形，则，所以的直径为，于是得到问题的答案． 【详解】解：设鼓面圆的圆心为，连接、，则， ，， ， 是等边三角形， ， 的半径为， 的直径为， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D是量角器上刻度线的外端点，连接交于点E，则的度数为 ． 【答案】/73度 【分析】此题考查了圆周角定理，三角形外角性质，正确理解并应用圆周角定理是解题的关键． 取的中点O，连接，由，得到点C在圆O上，求得，利用，根据三角形外角性质求出． 【详解】解：取的中点O，连接， 由题意得， ∵， ∴点C在圆O上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 3．（2024·甘肃白银·二模）如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵四边形是的内接四边形， ． 4．（2026·广东清远·二模）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．如图，若四边形是美角为的圆美四边形，的半径为4，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作，则有，由四边形是美角为的圆美四边形求出，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵四边形是美角为的圆美四边形， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 二、填空题 6．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 【答案】55 【分析】连接，由求得，根据，得到，再利用对顶角相等，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【答案】 【分析】设，先利用圆周角定理求出，根据，求出，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 解得， ∴． 8．（2024·江西上饶·二模）如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为_______． 【答案】，或 【分析】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，由题意得出，半径，分三种情况：作轴于点交于，此时；作轴于，交于，此时；作交轴于，交于，此时；分别利用相似三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：点和点，是的一条直径， ，，， ， 半径， 如图，作轴于点交于， ， 则，， ， ，， ， ； 作轴于，交于，则，， ， ，， ， ； 作交轴于，交于，则，， ， 作于，则， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ； 综上所述，点的坐标为，或， 故答案为：，或． 9．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 10．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 三、解答题 11．（2026·安徽·三模）如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)的半径为 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角结合等腰三角形的性质可得，，，由圆周角定理可得，则，因此； （2）结合（1）的结论可得，，，，使用勾股定理计算出，进而求出的半径． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， 在中，， ∴的半径为． 12．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）如图所示，是半圆O的直径，垂直于点D，，与交于点E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是半圆O的直径， ， ． 又， ， ， ， (2) ， ． 由（1）得， ， ∴． 【分析】（1）根据题意得，．，，再由各角之间的等量代换即可证明； （2）利用圆周角定理得，再由等量代换及等角对等边即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 13．（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） (1)在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． (2)在图②中，画出圆周角，使得． 【答案】(1)如图，图中点即为所求的圆心， ， (2)如图，图中即为所求（答案不唯一）， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及，得到是的直径，根据矩形的对角线相等且相互平分，作矩形的对角线交于点，点即为所求；根据勾股定理即可求得的直径的长度． （2）根据格点的性质作等腰直角三角形，即可得，则与的交点即为所求，连接，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到． 【详解】（1）解：根据作图可知，，，是的直径， ∴在中，， 故答案为：； （2）略． 14．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的内接三角形，弦于点E，连接并延长与相交于点G． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角、同弧圆周角相等，利用等角余角相等，即可解答； （2）根据相等圆周角对应等弧，推出弦，由半径得直径，结合余弦值求出，再用勾股定理算出，即可得到长度． 【详解】（1）解：连接． 是 的直径， ， ． ， ∴， ． 又 ， ∴， ． （2）解：连接， ， 是直径， ． 由（1）知：， ， ． 在 中，， ， ． 在 中，由勾股定理： ， ， ， ． ． 15．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第22讲圆周角 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1圆周角的概念 题型2圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半 题型3同弧或等弧所对的圆周角相等 题型4直径所对的圆周角是直角 题型590°的圆周角所对的弦是直径 题型6圆内接四边形对角互补 题型7圆周角定理的实际应用 题型8圆周角定理与三角板的综合应用 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解圆周角的概念，能准确识别图形中的圆周角。 圆周角、定理、分类2.掌握圆周角定理及其推论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 讨论、直角、等弧、 半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角。 数形结合、转化。 3.能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明和计算。 4.体会分类讨论（圆周角的三种位置关系）和转化思想（圆周角与圆心角的 转化)。 学习重点：圆周角的概念，圆周角定理及其推论，并能运用它们进行证明和计算。 学习难点：分类证明圆周角定理（圆心在圆周角一边上、内部、外部），以及灵活运用圆周角定理的 推论解决问题。 02教材全解 1/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识|框|架 圆周角顶点在圆上条件遗漏 高频易错点 同弧前提忽略 圆周角的定义 顶点在圆上 圆周角定理证明与计算 两边与圆相交 圆内接四边形对角互补 高频考点 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半 直径直角应用 圆周角 同弧或等弧所对的圆周角相等 圆周角是同弧所对圆心角的一半 圆周角与圆心角的关系 圆周角定理的推论 同圆或等圆中相等圆周角所对的弧相等 圆周角与弧的关系 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角度数等于所对弧度数的一半 90度圆周角所对的弦是直径 知1识1精1讲 知识点01圆周角定理及推论 1)推论1：同弧或等弧所对圆周角相等 ,同弧或等弧所对圆心角相等∴.同弧或等弧所对圆周角相等 2)圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结： 在同圆或等圆中，有如下关系： 圆心角相等 弧长相等年 →圆周角相等 长相等 即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。 3)推论2：半圆（直径)所对的圆周角是90°。（因为圆心角为180°） 4)推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆 证明：，∠作90°∴.△ACB外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∠D=90°∴△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径.四点共圆 【易错提醒】 圆周角等于同弧所对圆心角的一半；同弧圆周角相等，直径所对圆周角为直角。易错：必须 是同弧或等弧，乱换弧结论不成立 即时即练1. 如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P.若∠D=46°，∠CPB=80°，则∠C的度数是 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ( B D A.34° B.44° C.80° D.54 2.如图，在⊙0中，直径AB⊥CD,∠C=65°，则LD的度数为() B A.25° B.40° C.50 D.55 3.如图，⊙O的直径CD⊥弦EF,垂足为点G,∠EOD=58°，则∠DCF= C G 03 题型突破 题型1圆周角的概念 【例1】(25-26九年级上·吉林长春期中)下列图中是圆周角的是() B 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【例2】(2024重庆模拟预测)如图，在⊙0中，弧AB所对的圆周角∠ACB=55°若D为弧AB上一点， ∠AOD=75°，OD∥CB,则∠OAC的度数为() B D A.19o B.20° C.21° D.22° 【技巧归纳】 判断顶点在圆上、两边都与圆相交才是圆周角：解题常对照定义辨析正误，区分圆周角、圆 心角避免概念混淆 【变式1-1】(24-25九年级上全国课后作业)如图，BC所对的圆周角是 CD所对的圆周 角是 B 【变式1-2】(23-24九年级上湖南长沙期末)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H, ∠A=30°，OH=1,则⊙0的半径是 H D 4/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2圆周角的度数等于它所对孤上圆心角的一半 【例3】(25-26九年级上浙江湖州月考)如图，点A,B,C在⊙0上，若∠ACB=25°，则∠A0B的度数 是() A.60° B.50° C.30° D.15 【例4)(25-26九年级上·贵州遵义期中)如图，在⊙0中，弦AB∥CD,连接BC交半径OD于点E.若 ∠BOD=80°，则∠ABC的度数为() B A.40° B.38° C.45° D.80° 【技巧归纳】 找准同一段弧对应的圆周角与圆心角，直接用二倍关系换算角度：遇多个角时找准公共弧， 理清倍数关系快速求值 【变式2-1】(25-26九年级上陕西延安月考)如图，△ABC内接于⊙0，连接OB、OC,若点A是优弧 BAC的中点，∠ABC=55°，则∠BOC的度数为一°. 【变式2-2】(25-26九年级上江苏南京月考)如图，A、B、C、D在O0上，AB=BC=DA,AD、 BC的延长线交于点P,且∠P=40°，则弧CD的度数为 5/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型3同弧或等孤所对的圆周角相等 【例5】(25-26九年级上山东泰安·月考)如图四边形ABCD内接于⊙0，连接AC.若AB=BC, ∠ACB=40°，则∠ADC的度数是() D 0 A.60° B.70° C.80° D.90° 【例6】(25-26九年级上：浙江杭州月考)如图，AB是直径，点C,D在半圆AB上，若∠BAC=35°，则 ∠ADC的度数是() D B 0 A.115° B.125° C.135 D.145° 【技巧归纳】 锁定公共弧或相等的弧，快速转移相等圆周角进行等量代换，结合三角形内角、外角性质， 便捷推导求解角度 【变式31】(25-26九年级上江苏宿迁期中)如图，点A、B、C、D在⊙0上，且 ∠ACB=∠BDC=60°，BC=3.则△ABC的周长为 0 6/17 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式32】(25-26九年级上天津红桥·月考)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接AC,若 ∠ACD=40°，AC=CD,则∠ABC的大小为 (度). D 0。 B 题型4直径所对的圆周角是直角 【例7刀】(25-26九年级上北京·月考)如图，在O0中，AB为直径，C,D为圆上的点，若∠CDB=54°， 则∠CBA的大小为() A.36° B.39° C.27° D.54 【例8】(25-26九年级上新疆乌鲁木齐月考)如图，四边形ABCD内接于⊙0，BC是直径，连接AC、 若∠ADC=150°，点0到AC的距离为2V3,则⊙0的半径长为() A.2 B.6 C.4 D.8 【技巧归纳】 看到直径立刻构造圆周直角，遇直角也反向判定斜边为直径，结合勾股定理、三角形边角关 系求解边长与角度 【变式41】(24-25九年级上·河北张家口期末)如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=35°，则∠D的度 数为 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式42】(25-26九年级上·天津河北期中)如图，⊙0是△ABC的外接圆，直径AD=6, ∠ABC=∠DAC,则AC长为 题型590°的圆周角所对的弦是直径 【例9】(25-26九年级上河北廊坊期中)如图，用直角曲尺检查半圆形工件，合格的是() 。 【例10】(2025山西长治三模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠ABC=90°，AB=4, BC=3,则sin∠BDC=() D 4 B 【技巧归纳】 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 看到圆周角为90°，即可判定它所对弦是圆的直径，常反向构造辅助线，结合直角三角形性 质求解边长、证明线段关系 【变式51】(25-26九年级上·辽宁盘锦·期中)如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大 小的镜面，工人师傅用直角尺量得AB=4dm,BC=3dm,则该圆形镜面的直径为_dm. B 【变式52】(24-25九年级上江苏宿迁期末)如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的弦，AB=2, ∠BAC=30°，若点D在⊙0上，且∠BAD=60°，则CD长为 C 题型6已知圆内接四边形求角度 【例11】(25-26九年级上山西忻州月考)如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，若∠C=83°，则∠A的 度数是() D A.83° B.87° C.93° D.97° 【例12】(25-26九年级上云南曲靖月考)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠A=70°，则 ∠DCE的度数为(） 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 E A.140° B.110° C.90° D.70° 【技巧归纳】 利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，找准对应内角，列式计算角度，结合圆周角 定理综合求解 【变式61】(25-26九年级上广东惠州期中)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠A=110, 则∠BOD的度数为 D 【变式62】(25-26九年级上江苏泰州期中)四边形ABCD是⊙0的内接四边形，E为BAD上一点（不 与B,D重合)，且AE的度数为40°，则∠ADC+∠EBC=°， 题型7求四边形的外接圆的直径 【例13】(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴 趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点A(∠A=30)放在圆上，两边与圆的交点分别记为点B,C,测得 BC的长为10cm,则铜镜的直径为() B A.10cm B.20cm C.10v3cm D.20v3cm 【例14】(25-26九年级上：陕西安康期中)现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板 (无刻度)可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径AB的是() 10117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B D 【技巧归纳】 先判定四边形有外接圆，利用对角互补确定直角，直角所对弦即为直径，再借助勾股定理算 出线段长度 【变式7-1】(2024九年级福建竞赛)如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD,若AB=10, CD8,则圆O的面积为一 【变式7-2】(2024广西南宁·三模)如图，在⊙0的内接四边形ABCD中，AB=AC=5,BC=2W5, AC⊥BD,垂足为点E,则DE的长为一· E 题型8圆周角定理与三角板的综合运用 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例15】(25-26九年级上·河北邯郸期中)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆形瓷盘的圆 周上，两直角边与圆弧分别交于点P、Q,量得0P=12cm,O0=16cm,则该圆形瓷盘的半径是() A.2√5cm B.10cm C.8cm D.6cm 【例16】(24-25九年级下·浙江杭州阶段练习)如图，小佳将三角板30°角的顶点P落在圆上，测得另两 个交点的距离AB=6cm,则⊙O的半径为() A.3cm B.4cm C.3v3cm D.6cm 【技巧归纳】 借助三角板固定特殊角度，结合圆周角定理转换等角，利用直径对应直角特性，推导角度大 小，搭配直角三角形边长计算 【变式81】(2025·福建厦门二模)如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板30°角的顶点落 在鼓面圆上任意一点P,三角板的两边分别交圆于点A,B,若测量得到弦AB的长为8Cm,则鼓面圆的 直径为 【变式82】(25-26九年级上江苏南京阶段练习)如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直 径重合，点D是量角器上56°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E,则∠CEB的度数为 12117 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0° 90° B 04 过关检测 一、单选题 1.(2026甘肃武威中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点P.若 ∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠BPC=() B A.95° B.100° C.105 D.110° 2.(25-26九年级上四川泸州期末)如图，四边形ADBC的四个顶点均在⊙0上，AB=AC,若D是 AB的中点，且DE=2,AC=8,则⊙O的半径为() B A.3 B.4 c.5 D.6 3.(2024甘肃白银二模)如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙0分别交于点D、 E,点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF,则∠DFE的度数为() 13117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.115o B.118° C.120° D.125° 4.(2026广东清远·二模)定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角 叫做美角.如图，若四边形ABCD是美角为∠A的圆美四边形，⊙O的半径为4，则BD的长是() D A.25 B.32 C.42 D.4V5 5.(2026山西长治三模)如图，△ABC内接于⊙0，D是AC上一点，且OD⊥AC于点E.若 ∠ADE=50°，则∠B的度数为() A.85° B.80° C.75° D.70° 二、填空题 6.(25-26九年级上山东聊城期末)如图，已知AB,CD是⊙0的两条直径，弦CE∥AB,CE的度数为 70°，则BD的度数为°. B o 7.(2026陕西西安模拟预测)如图OA,OB,OC都是⊙0的半径，∠AOB=2∠BOC,AC平分∠OAB, 则∠AOC= 14117 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 8.(2024江西上饶二模)如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙C的一条直径，已知点A(0,6)和点 B(8,0),点P是⊙C上的一个动点，当线段CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似时，点P的坐标为 B x 9.(25-26九年级下·陕西西安期中)如图，AB为⊙0的直径，C.D为直径两侧⊙0上两点，连接CD, BD,过C点作CE⊥AB于点E,若∠CBE=25°，则∠D的度数为 10.(2026江苏扬州中考真题)如图，C是以AB为直径的⊙0上一点，点D在BC上，∠ABC=20°，则 ∠CDB= D C 0 B 三、解答题 11.(2026安徽：三模)如图，在△ABC中，AC=BC,以AC为直径作⊙0交AB于点D,延长BC交 ⊙O于点E,连接DE. 15117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：DE=AD; ②)已知DE=8,AD-CD=2,求⊙0的半径. 12.(25-26九年级上山东烟台阶段检测)如图所示，BC是半圆O的直径，AD垂直BC于点D, BA=AF,BF与AD交于点E. E B D 0 (I)求证：∠BAD=∠ACB: (2)求证：AE=BE 13,(2026·吉林·模拟预测)图①、图②均是5×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小 正方形的边长为1，A,B,C三个格点均在⊙0上.仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图. (画图过程用虚线表示) B B 图① 图② (1)在图①中，画出⊙0的圆心O,并直接写出直径的长 (2)在图②中，画出圆周角∠ACD,使得∠ACD=45°. 14.(2026江苏无锡二模)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，弦BD L AC于点E,连接B0并延长与 ⊙0相交于点G. 16117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E (I)求证：∠ABD=∠GBC: 2 ②)连接AD:若OB=6:cos∠ABE=5求AD的长. 15.(2024黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，在⊙0中，直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°， ∠APD=66°. 0 P A D (1)求∠B的大小： (2)已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长. 17/17