精品解析：辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 考试时间：120分钟 考试分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是. 故选：B 2. 命题“ ”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式等价于，解得. 找充分不必要条件，即找集合的真子集，仅 C选项是原解集真子集. 3. 设等比数列的前n项和为，且，则公比q= A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将已知转化为的形式，解方程求得的值. 【详解】依题意，解得，故选C. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，可得：当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，恒成立，又， 可知函数仅有一个零点，即B选项正确． 5. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案. 【详解】由等差数列的性质可得： ，， 则，即， ， 故选：C. 6. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. 1025 B. 1023 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 7. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ） A. 2025 B. 4050 C. 2026 D. 4052 【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式得到 ，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且，所以， 又∵函数 ， 令，则， ． . 8. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，结合能成立求出范围. 【详解】令，则，单调递减， 由，可得，， 即， 所以当时，有解，即有解，所以， 故的取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 B. 若随机变量服从二项分布，则 C. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 D. 若随机变量服从正态分布，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查统计与概率的基础知识点，包括数据离散程度的度量、二项分布概率计算、方差的运算、正态分布的对称性，需逐项分析判断正误。 【详解】选项A：极差是数据最大值与最小值的差，方差、标准差是衡量数据波动程度的量，三者均能反映一组数据的离散程度，故A正确. 选项B：根据二项分布概率公式，代入，得.故B正确. 选项C：原7个数的方差为2，可得，加入新数据4后，8个数的平均数仍为4，新方差为，方差变小，故C错误. 选项D：正态分布的对称轴为，则，因此，故D正确. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 集合，若，则实数的取值集合为 C. 的最小值为2 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，可根据不等式的性质判断；选项B，根据 得出 ，再分情况讨论集合B的情况；选项C，利用基本不等式成立的条件判断；选项D，根据一元二次方程根的判别式和韦达定理判断. 【详解】选项A：已知 ，因 ，则 得 ； 又因为 ，则得 ，所以 ，故A错误； 选项B：因为 ，所以 ， 当 时，方程 无解，此时 ，满足 ， 当 时，， 若 ，则 ；若 ，则 ， 所以实数的取值集合为 ，故B错误； 选项C：当时，，则 ，故该函数的最小值不可能是2，故C错误； 选项D：由，可得 ， 若方程有一正一负根，则，即，解得; 反之，当时，，，方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 11. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前20项和为120 【答案】AB 【解析】 【分析】根据递推关系，代入数据，整理变形，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 则 ，故C错误； 对于D，数列的前20项的和为， 所以 ，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，若，且前项和则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得，代入等差数列前项和公式求得关于的方程，解方程即可. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 根据等差数列前项和公式， 解得. 故答案为： 13. 已知，则_____________. 【答案】0.08## 【解析】 【分析】先根据对立事件的概率公式求出，再结合条件概率的性质和公式计算. 【详解】由题意可知：， 根据对立事件概率公式，得. 求条件概率. . 14. 已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的最小值将原命题转化为有解的问题，随后运用参变分离法构造新函数并求其极小值，即可得出参数的取值范围. 【详解】由题意得， 则当时，，即在上单调递增， 则；由使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，因为，则， 故在上单调递减，则，即实数的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知首项为1的正项数列满足. （1）求； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）赋值代入解方程即可； （2）由，发现数列是等差数列，可求的通项，再求即可； （3）根据题意，把通项代入得，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 ，， ，即， 解得. 【小问2详解】 有（1）得， 所以是首项为1，公差为的等差数列， ，则. 【小问3详解】 ， 故数列的前项和. 16. 已知函数． （1）当，求函数的单调性和极值； （2）若函数在上是单调增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值是，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数直接求解函数的单调性和极值即可； （2）由题知在恒成立，进而求函数的最大值即可得答案. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， 当变化时，，的变化情况如下： 1 0 单调递减 极小值 单调递增 故的单调递减区间为，单调递增区间为， ∴极小值是，无极大值. 【小问2详解】 由题意得，，， ∵函数在上是单调增函数， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 令，在上恒成立， ∴在单调递减， ∴，∴， 所以，实数的取值范围是. 17. 为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； （2）请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】（1）认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，答案见解析 （2），145.5分，该结果与实际得分不一定相符合，原因见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的概念，求出，判断假设是否成立即可； （2）根据最小二乘估计公式求出经验回归方程，进而计算估计结果，判断其是否符合事实即可. 【小问1详解】 零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 由数据得，，， ， ， 得，， 所以y关于x的经验回归方程为． 将代入经验回归方程得， 所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5分． 该结果与实际得分不一定相符合，原因是把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，数学成绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）． 18. 已知数列的首项的前项和为，且． （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由的关系，通过作差法即可求证； （2）通过求导，结合错位相减法即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 ， 又，即 所以数列是公比和首项均为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1），所以， 所以， 所以， 设 所以， 所以 ， 所以， 所以． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）设的导函数为，证明：存在唯一零点. （3）求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求得切点坐标，利用导数求得斜率即可； （2）利用导数考察的单调性，结合零点存在性定理即可证明； （3）考察的单调性，设出最大值点为，利用，化简条件，进一步计算即可. 【小问1详解】 已知， 则， ， 则， 所以切线方程为， 即 【小问2详解】 由（1），其定义域为， 设， 则， 所以在上单调递减， 由， ， 根据零点存在性定理可知在上存在唯一零点， 即存在唯一零点. 【小问3详解】 由（2）知在上单调递减， 且存在唯一零点，使得， 当时，， 在上单调递增； 当时，， 在上单调递减； 所以的最大值为. 因为， 所以， 即， 化简为。 则， 而 ， 故的最大值为 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 考试时间：120分钟 考试分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“ ”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 设等比数列的前n项和为，且，则公比q= A. B. C. 2 D. 3 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. 1025 B. 1023 C. D. 7. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ） A. 2025 B. 4050 C. 2026 D. 4052 8. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 B. 若随机变量服从二项分布，则 C. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 D. 若随机变量服从正态分布，则 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 集合，若，则实数的取值集合为 C. 的最小值为2 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前20项和为120 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，若，且前项和则_____________. 13. 已知，则_____________. 14. 已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知首项为1的正项数列满足. （1）求； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）当，求函数的单调性和极值； （2）若函数在上是单调增函数，求实数的取值范围． 17. 为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； （2）请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 18. 已知数列的首项的前项和为，且． （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）设的导函数为，证明：存在唯一零点. （3）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $