辽宁本溪市某校2025-2026学年高二下学期期末数学试卷

高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第1卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合要求) 1. 已知集合A 集合B={x-122},则AU(CB)=() A.（-1,2) B.（-1,3) c.[-1,2) D.[-1,3) 2.“2>2"是“h2>0"的（)条件. b A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D,既不充分也不必要 3.下列函数是奇函数，且在定义域上单调递增的是() 1 A.f(x)=x-- 3-x B.f(x)=In 3+x c.=x+1 1 D.f(x)=e*-e* 4.己知幕函数∫(x)的图象过点(9，V3),则函数y=f(x2-2x-3)的单调递增区间为（) A.(-o,1) B.(-0,-1) C.[1,+oo) D.[3,+o) 5.若函数f(x)=x2-2ax+3在[-1,2]的最大值为6，则a=（) c.5 D.1 6.近年来，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪，根据“齐奥尔科夫斯基公式”，在不考虑空气动力和地球引 力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量y(单位：km/s)、发动机喷流相对火箭的速度ω（单 位：am/s)、火箭起飞时的总质量m。(包含火箭自身质量与燃料质量，单位：吨)和结束时火箭质量mk（火 箭自身质量，单位：吨)满足以下函数模型v=ωl().己知我国某型新一代运载火箭的发动机喷流速度 m 3.0o/s，该火箭自身的结构质量50吨.若某深空探测任务要求该型号火箭在理想状态下的最大速度至少达 到6.0m/s,求火箭起飞时至少携带燃料（)吨，（参考数据：e2≈7.389） A.400 B.370 C.320 D.300 高二数学，共(4)页第1页 7若a=2.b=2,c=h2 e2 C= 2 ,则a,b,c的大小关系为（) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b 8.已知函数f(x)为偶函数，且满足∫x)=2-∫(-x-2),当x∈[1,3]时，(x)=log(x2+-b),则 f(2026)=() A.0 B.-1 C.2 D.1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 得6分，部分对得部分分，有选错的得0分) 9.己知非零实数x,y满足2=3'，则下列各式中为定值的是（) B.xIn2-yln3 C.x x A.x+y D. y 10.已知ab>0,函数f(x)=(x-a)n(x+b),若f(x)≥0，则下列说法正确的是() A.1+≥3 a b n.dviz C.a2+4b>4 D.2ab+a+2651 8 11.英国物理学家牛顿用“切线法”的方法求函数零点.设r是函数∫(x)的零点，取初始近似值x,记∫(x) 在点(x,(x)》处的切线交x轴于(x,0):∫(x)在点(x,∫(x)处的切线交x轴于(x2,0):…由此得到一个 数列{x}.若函数f(x)=x2-3,用牛顿切线法求函数(x)的大于零的零点r的近似值，取x。=2,下列说法 正确的是() 7 A.X2=4 B.Xn+1= +3 2Xa C.设6=h名-5 11,5 文+5' 则{b}为等比数列D. V4+4mx,<1 3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在等比数列{an}中，S=168,a2-a5=42,则a,的值为 13.己知函数f(x)=ln(Wx2+1-x)+1,若关于x的不等式f(ax+1)+∫(x2+4)>2在区间(L,2)上有解，则 实数a的取值范围为 高二数学，共（4)页第2页 14.己知函数f(x)= l©g,(x-外1Kx≤4，若了)=m有四个不同实根x,,,x且满足 x2-12x+33,x>4. x<x3<为<x, 则+ 一·号+x好的取值范围为 X X2 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分13分) 己知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2+2n+2. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设{bn}满足bn=2°，求{bn}的前n项和T,. 16.（本题满分15分) 已知函数r-r+a-x-lra∈利. (1)讨论函数∫(x)的单调性： (2)次∈l,+o),f(小ar,求a的取值范围. 17.(本题满分15分) 己知函数f(x)=x-2ax2-ax+b(a,beR). (1)若a=b,证明：曲线y=∫(x)在点（山，(）)处的切线过定点： (2)若对任意的x,2∈[0，]，且x>x,∫'(x)-∫'(x2)<2e-2e,求a的取值范围. 18.(本题满分17分) 己知数列{a}满足a,= Qu+aa=2弘，点=公-，6)的前0项有为5 (1)证明： 为等比数列，并求数列{口}的通项公式： (2)若 O}前”项和为，且存在meN心，使得对任意meN心，T+n2-S,)+入s0,求实数入的取值范围 高二数学，共(4)页第3页 19.(本题满分17分) 设函数f(x)=e2-ax2-x-1. (1)若a=0,求(x)的极值： (2)若当x≥0时，f(x)≥0.求a的取值范围： (3)设函数F(x)=f(x)+f(-x)+2ar2+2,求证： InF()+InF(2)+InF(3)+..+F()>In(e+2)(nEN) 2 高二数学，共（4)页第4页高二数学参考答案 一、单选：I-5 BDDDA 6-8CBA 二、多选：9.BC 10.ABD 11.BCD 三、填空：123 13.-0,-号141(7880 4 四、解答题 15.(13分) 解：(1)当n=1时，S1=4=5, .2分 当n≥2时，a=Sm-Sm1=n2+2n+2-[(n-1)°+2(n-1)+2]=2n+1 ..4分 又：a1=5不满足上式，4=2n+1(n≥2) ..5分 综上所述，{a}的通项公式为a= f5,n=1, ..6分 2n+1,n≥2. (2)由(1)可得b=24=2m(n≥2)，且五=25=32， .T=b+b3+b3+.+bn=32+(25+27+.…+22m+1) 9分 =32+250-4_2×41+64 1-4 3 (7=写x(21+6④也给分) ...12分 综上所述，{，}的前n项和7，=2×4+64 ..13分 3 16.(15分) 解：(1)因为函数f(x)=m2+(a-1)x-r,函数定义域为(0，+o), 2 所以f)=+(a-1)-1a@-1x+>0),因为x>0,故x+1>0, .2分 若a≤0时，-1<0恒成立，f'(x)<0,f(x)在(0，+o)上单调递减； .3分 若a>0时，令m-1=0,得x=,当x∈0，)时，f)<0,)单调递减； a a 当口，0，单莲 .4分 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减： 当a>0时，了)在0日)上单调道减，在日+n上单调递增 71 a .6分 高二数学参考答案，共（5)页第1页 (2)不等式f)>x化简得：(a--ax>0, x>0,变形得：a>血+1. 所以对x∈[山，+w）,不等式a>血+1恒成立 .8分 令g)=血1x≥1，求导得8国-1h， 当x∈[1，e)时，g(x)>0,g(w)在[1e)上单调递增 当x∈[e,+o)时，g'(x)<0,g(x)在[e,十o）上单调递减， ...11分 因此(0的最大值为g@)=1+ ...13分 e 故a>1+。即a的取值范围为1+。+” 1 ...15分 e 17.(15分) 解：(1)已知函数f(x)=x3-2ax2-a+b,a,b∈R, 若a=b,则f(x)=x3-22-+a,a∈R，,f'(x)=3x2-4-a, 由于f(1)=13-2a.12-a1+a=1-2a,所以切点为(1,1-2ad, ..1分 切线斜率k=f(1)=3×12-4a-1-a=3-5a, .2分 因此切线方程为y-(1-2a)=(3-5a)(x-1), 化简得y=(3-5a)x+3a-2,即y=(-5x+3)a+3x-2,(写出切线就给分) 3分 当-5r+3=0,即=子时，y= 51 因此苗线=@)在点Q/0处的切线过定点(？》 ..4分 (2)已知函数f(x)=x3-2ax2-a+b,a,b∈R,则f'(x)=3x2-4-a, 由于对任意的x,x∈[0，]，且x>x,恒有f'(x)-f(x)<2e-2e,移项得 f'(x)-2e<f'(x)-2e,设g(x)=f'(x)-2e*, ..6分 上述条件等价于：对任意的x,x3∈[0，]，且￥>x3,恒有8()<8(x), 即g(x)在[0，e]上单调递减，则其导数g'(x)≤0在[0，e]上恒成立， .8分 由于g(x)=3x2-4ax-a-2e,g(x)=6x-4a-2e, 高二数学参考答案，共（5)页第2页 当g(x)≤0时，4a≥6x-2e,所以4a大于等于6x-2e的最大值， ...10分 令h(x)=6x-2e,h(x)=6-2e,令r(x)=0,解得x=ln3∈[0，e], 当x∈[0，h3)时，(x)>0,所以h(x)在[0，ln3)单调递增： 当x∈(n3,e时，(x)<0,所以h(x)在(ln3,e单调递减： ...13分 因此h(x)在x=ln3处取最大值，最大值为h(ln3)=6n3-2e3=6ln3-6, ..14分 所以≥6-6,解得a33,所以a的取值范国为[+ ..15分 18.(17分) 解：(1){a}每一项都不为零，由anH+aa1=2an得0nh(a+1)=2a, 所以4H-2% 等式两边议留致得之之十行用1北般 …1分 +1 1-因此女-小是首项为，公比为的等比 .2分 a 所以1立云，故风2 111 2” ..3分 1.1 2)由)可知。+1,6是 所以r-+++)…+m合+*+动) 6分 1 2 123 2 2 2”2"H1 21、九+2 2n+, 1- 所以S=2-n+2 2 .10分 3meN,使得n=N,1-++na+2+0, 印aL+安 12分 高二数学参考答案，共（5)页第3页 令C,="m+2,则-++3》 2” C.2n(n+2) 令管>1得22u+2<m+n+3,解得-B<<B,因为mGN,故n 令岩L得2n+2)>n0n+3,解得m<-或n≥B,因为mEN,故≥2 即有当n=l时，CH>Cn,即C2>C1, 当n≥2时，Ca<C,即C2>C3>C4>…,所以(Cn)r=C2=2, ..14分 y=-x-1在R上均为减函数， 故函数y --1在R上为减西数，所以数列认}为递减数列，即(d,)=d= 216分 所以有2+1≤- 解得天≤子因北实数入的取值范国是 3 7 -n,2】 .17分 19.(17分) 解：(1)因为a=0,所以函数f(x)=e-x-1,f'(x)=e-1 令f'(x)=0,解得x=0,当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0 所以f(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+0)上单调递增 .2分 所以f(x)在x=0处取得极小值f(O)=0,无极大值.（没写无极大值扣一分） ..4分 (2)因为f(x)=e-x2-x-1≥0对任意x≥0恒成立，而f()=e-2am-1,f'(0)=0, 令g(x)=f"(x),则g(x)=e"-2a在[0，+o)单调递增，所以g(x)≥g'(0)=1-2a 令g(0)≥0as为必要条件之一 .5分 2 ①当a≤时，g()≥g(0)=1-2a≥0，所以f()在[0，+0）单调递增， 所以f'(x)≥f'(0)=0,所以f(x)在[0，+o)单调递增，所以f(x)≥2f(0)=0,符合题意..7分 ②当a>时，令g)=e-2a=0,解得x∈(0,1n(2a》, 则当x∈(0，n(2)时，g'(x)<0,f'(x)单调递减，此时f'(x)<f'(0)=0,所以f(x)单调递减， 当xc0,h2a》时，f田<f0=0,即a不径 9分 综上所流，a的取橙范困为( ..10分 高二数学参考答案，共(5)页第4页 (3)因为函数F(x)=f(x)+f(-x)+2x2+2=e+ex>0 ..11分 InF(x)+In F(x,)=In(e%+e)+In(e*+ex)=In[(e +e)(e*+e ) (e1+ei)(e5+e5)=ei++ei-+e++e->e++e-+2>e++2 所以nF①+lnF(n)>n(e+1+2);nF(2)+nF(n-1)>n(e+1+2) .14分 2nF)+nF(2)+.+nF(m]>ln(e+1+2) ...16分 故mF(①+hnF(2)+lnF(3)+…+lnFm>2ln(e1+2)(n∈W)成立. ...17分 高二数学参考答案，共（5)页第5页