2026-2027学年人教版数学九年级上册月考阶段考试试卷（二次函数+反比例函数）

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数核心内容，通过喷水头水流、工厂利润等真实情境问题，考查抽象能力与模型意识，适配九年级上月考阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|顶点坐标、函数性质等基础|梯度设计，如第6题比较函数值大小，考查推理能力| |填空题|6/24|函数平移、体积压强实际应用|第13题结合物理情境，体现跨学科应用意识| |解答题|6/66|解析式求解、实际问题建模|第19题喷水头抛物线建模，第20题利润函数综合，突出数学思维与模型意识|

卷6 九上月考阶段考试试卷（二次函数+反比例函数） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2026春•海淀区期末）二次函数y＝（x+3）2﹣2的顶点的横坐标为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】依据题意，根据所给顶点式即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝（x+3）2﹣2， ∴其的顶点的横坐标为﹣3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式是关键． 2．（2026春•鼓楼区校级期末）已知反比例函数，当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2.5 B．x＞0或x＜﹣2.5 C．0＜x≤﹣2.5 D．x＞0或x≤﹣2.5 【分析】利用反比例函数的性质，由y的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可． 【解答】解：∵反比例函数y，k＝5＞0， ∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x＞0或x≤﹣2.5． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 3．（2026•雷州市模拟）已知反比例函数，点A（1，m），B（2，n）为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（　　） A．0＜n＜m B．0＜m＜n C．n＜m＜0 D．m＜n＜0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【解答】解：∵反比例函数中，k＞0， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵点A（1，m），B（2，n）为该函数图象上两点，且0＜1＜2， ∴0＜n＜m， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，牢记“当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小”是解题的关键． 4．（2026春•镇海区期末）将函数y＝x2+4的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（　　） A．y＝（x﹣3）2+3 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝x2+1 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【解答】解：原函数为y＝x2+4，设向右平移a（a＞0）个单位，再向下平移b（b＞0）个单位， ∴平移后解析式为y＝（x﹣a）2+4﹣b， A、y＝（x﹣3）2+3，得a＝3＞0，b＝1＞0，符合向右平移再向下平移的要求，正确，符合题意； B、常数项为5＞4，不符合要求，原说法错误，不符合题意； C、a＝﹣3＜0，属于向左平移，不符合要求，原说法错误，不符合题意； D、a＝0，未进行向右平移，不符合要求，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键． 5．（2026春•渝中区校级期末）在同一坐标系内，二次函数y＝ax2+5x+b的图象与一次函数y＝ax+b可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，令x＝0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【解答】解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b， ∴两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， ∴a＞0， ∴一次函数y＝ax+b经过第一三象限， ∴A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 6．（2026春•拱墅区期末）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k（k为常数），若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在该函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x＝1，图象开口向下，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论． 【解答】解：由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k可知，对称轴为x＝1，开口向下， ∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象上， ∴A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（3，y1）， ∵1＜2＜3＜4， ∴y3＜y1＜y2，则y2＞y1＞y3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 7．（2026•莲湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣c的图象经过第一、第二、第四象限，则下列选项中的结论正确的是（　　） A．ab＜0 B．a+b+c＞0 C．c≤0 D．b2+4ac＜0 【分析】根据二次函数y＝ax2﹣bx﹣c的图象经过第一、第二、第四象限，得到抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，不交y的负半轴，抛物线与x轴有两个交点，两个交点不在y轴的左侧，由此可得a＞0，由0，可得b＞0，即可判断A；由不交y的负半轴，可得﹣c≥0，即可判断C；由抛物线与x轴有两个交点，即可判断故D；x＝﹣1时，y＞0，得到a+b﹣c＞0，即可得到c＜a+b， 根据a+b＞0，若c＝﹣a﹣b时，则a+b+c＝0，即可判断B． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣c的图象经过第一、第二、第四象限， ∴抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，不交y的负半轴， ∴抛物线与x轴有两个交点，两个交点不在y轴的左侧， ∴x＝﹣1时，y＞0， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴0， ∴b＞0， ∴ab＞0，故A错误； ∵不交y的负半轴， ∴﹣c≥0， ∴c≤0，故C正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝（﹣b）2﹣4a•（﹣c）＝b2+4ac＞0，故D错误； ∵抛物线开口向上，与x轴的两个交点不在y轴的左侧， ∴x＝﹣1时，y＞0， ∴a+b﹣c＞0， ∴c＜a+b， ∵a+b＞0， ∴若c＝﹣a﹣b时，则a+b+c＝0，故B无法确定． 故选：C． 【点睛】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．注意二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定，也考查了一次函数图象的性质． 8．（2026春•永春县期末）如图，点A、B是反比例函数图象上的两点，延长线段BA交y轴于点C，且点A为线段BC中点，连接OA、OB，若S△ACO＝3，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N，先求出△AOB的面积，根据反比例函数系数k的几何意义得出梯形AMNB的面积，据此进行计算即可． 【解答】解：过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵点A为线段BC中点且S△ACO＝3， ∴S△AOB＝S△ACO＝3． ∵S△AOM＝S△BON， ∴S梯形AMNB＝S△AOB＝3． 令点A坐标为（m，），点B坐标为（n，）， ∴， 整理得，（n2﹣m2）k＝6mn． ∵点A是BC中点， ∴， 即n＝2m， ∴（4m2﹣m2）k＝12m2， 解得k＝4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 9．（2026•双塔区校级一模）在平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；④当x＞0时，y随x的增大而减小．上述结论一定正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】据二次函数的图象性质，逐一判断每个结论的对错，先看开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，再分析判别式和增减性，通过图象特征确定a，b，c的符号，进而判断abc的符号，再结合判别式和对称轴判断其他结论． 【解答】解：观察图象可知抛物线的开口向下，则a＜0； 抛物线的对称轴为直线x0，则b＞0； 抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c＞0； ∴abc＜0； 故①正确； 由于抛物线与x轴有两个不同的交点，即ax2+bx+c＝0有两个不相等实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 故②正确； 由于抛物线与x轴有两个不同的交点，即ax2+bx+c＝0有两个不相等实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 故③正确； 抛物线的对称轴在y轴右侧， 当x＞0时，在对称轴左侧y随x增大而增大， 在对称轴右侧y随x增大而减小， 因此不是整个x＞0区间都递减， 故④错误； 故①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，通过数形结合理解二次函数图象的性质是解决问题的关键． 10．（2026•天桥区二模）定义：若一个点的横、纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数y＝x2﹣2x+c（c为常数）在﹣1＜x＜3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A．4＜c＜7 B． C．0＜c＜7 D． 【分析】由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线y＝﹣x+6上，由﹣1＜x＜3可得“和谐点”所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【解答】解：由题意可得“和谐点”所在直线为y＝﹣x+6， 将x＝﹣1代入y＝﹣x+6得y＝7， 将x＝3代入y＝﹣x+6得y＝3， 设A（﹣1，7），B（3，3），如图， 联立y＝﹣x+6与y＝x2﹣2x+c，得方程x2﹣2x+c＝﹣x+6， 即x2﹣x+c﹣6＝0， ∵抛物线与直线y＝﹣x+6有两个交点， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4（c﹣6）＞0， 解得c 当直线x＝﹣1和直线x＝3与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点， 把x＝﹣1代入y＝x2﹣2x+c，得y＝3+c， 把x＝3代入y＝x2﹣2x+c得y＝3+c， ∴， 解得c＞4， ∴4＜c． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为m＜﹣1　 ． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 12．（2026•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣2，y2），则y1+y2　＜　 0（填“＞”或“＜”或“＝”）． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将两点坐标代入反比例函数解析式，分别表示出y1和y2，计算y1+y2后结合k＞0的条件判断其与0的大小关系即可． 【解答】解：∵函数的图象经过点（3，y1）和（﹣2，y2）， ∴，， ∴， ∵k＞0， ∴， ∴y1+y2＜0． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 13．（2026•南京）一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为4时，压强为1.5；当体积为3时，压强是　 　 ． 【分析】先根据已知条件求出p与V的函数解析式，再结合反比例函数性质解题即可． 【解答】解：设P（k≠0）， 将V＝4，P＝1.5代入得1.5，解得k＝6， ∴函数解析式为P， ∴当V＝3时，P2， 故当体积为3时，压强是2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，熟练掌握反比例函数性质是关键． 14．（2026春•海淀区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）中，x与y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 3 … y … n 2 n … 若m＞0，且点A（m，y1），B（m+2，y2）在该二次函数的图象上，则y1　＞　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】依据题意，根据表格中的数据和二次函数的性质，分0＜m≤1、m＞1两种情况，分析点A、B和对称轴的距离远近，即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）， ∴该函数图象开口向下， 由表格可知，对称轴为直线x1， ①当0＜m≤1时，点A、B在对称轴的两侧， ∵点A、B离对称轴的距离分别为1﹣m、m+1， 而0＜m≤1， ∴点B离对称轴的距离比A远，故y1＞y2． ②当m＞1时，点A、B在对称轴的右侧，则点B在点A的下方， ∴y1＞y2． 综上，y1＞y2． 故答案为：＞． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 15．（2026春•衢州期中）某居民小区要建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙（墙足够长），另三边由总长为40m的材料围成．如图，设AB＝x（m），问：当x＝　10　 m时，花园的面积最大，最大面积是　200　 m2． 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值． 【解答】解：由题意可得，花园的面积为：x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x2﹣20x）＝﹣2（x﹣10）2+200， ∴当x＝10时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是200，BC的长是40﹣2×10＝20， 即当x＝10时，花园的面积最大，最大面积是200m2． 故答案为：10；200． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键． 16．（2026•邗江区三模）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论： ①当m＝3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣9）； ②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3； ③当m＜0时，函数在x时，y随x的增大而减小； ④不论m取何值，函数图象经过两个定点． 其中正确的结论有　②③④　 ．（填序号） 【分析】①把m＝3代入[m﹣1，1+m，﹣2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可； ②首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可； ③当x大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y随x增大而减小正确； ④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答． 【解答】解：由题意，∵函数y＝ax2+bx+c的特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]； ①当m＝3时，y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8， ∴顶点坐标是（﹣1，﹣8），故①错误； ②当m＞1时，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0， ∴x1＝1，，则， ∴当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确； ③当m＜0时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m是一个开口向下的抛物线，其对称轴是直线， 在对称轴的左边y随x的增大而增大， ∵当m＜0时，，即对称轴在右边，可能大于， ∴在时，y随x的增大而减小，此结论正确； ④∵y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，即（x2+x﹣2）m﹣x2+x＝0， ∴当x2+x﹣2＝0时，x＝1或﹣2， ∴抛物线经过定点（1，0）或（﹣2，﹣6），此结论正确． 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点情况以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是和点的坐标特征是解题的关键． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（8分）（2026春•海淀区校级期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（2，5）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当﹣2≤x＜2时，直接写出y的取值范围． 【分析】（1）把两个已知点的坐标分别代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到二次函数解析式； （2）先利用配方法把一般式配成顶点式得到y＝（x+1）2﹣4，根据二次函数的性质得当x＝﹣1时，y有最小值﹣4，再分别计算自变量为﹣2和2所对应的函数值，然后写出当﹣2≤x＜2时y的取值范围． 【解答】解：（1）把（0，﹣3），（2，5）分别代入y＝x2+bx+c得， 解得b＝2，c＝﹣3， ∴这个二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴当x＝﹣1时，y有最小值﹣4， ∵当x＝﹣2时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3， 当x＝2时，y＝x2+2x﹣3＝5， ∴当﹣2≤x＜2时，y的取值范围为﹣4≤y＜5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 18．（10分）（2026•黄岩区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若a＞0，当﹣1≤x≤2时，y的最大值为5，求函数的解析式； （3）已知M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，当4≤x2﹣x1≤6时，m≥4，求a的取值范围． 【分析】（1）二次函数的对称轴公式为x，本题中直接代入系数即可求出对称轴； （2）已知a＞0，抛物线开口向上，对称轴为x＝1，x在﹣1≤x≤2内，离对称轴越远函数值越大，因此，最大值出现在端点x＝﹣1处，将x＝﹣1代入函数，结合最大值为5列方程求解a， （3）点M（x1，m）与N（x2，m）关于对称轴x＝1对称，需结合a的正负，判断在4≤x2﹣x1≤6的范围内，何时m取最小值，分别将x2＝3（x2﹣x1＝4）和x2＝4（x2﹣x1＝6）代入解析式，根据m≥4列不等式求解a的取值范围． 【解答】解：（1）对称轴为直线x1； （2）∵a＞0，图象开口向上，对称轴为直线x＝1， 当﹣1≤x≤2时，越远离对称轴函数值越大， ∴当x＝﹣1时，y的最大值为5， ∴5＝a+2a+1， ， ∴． （3）∵M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点， ∴M、N关于对称轴对称， 当a＞0时，由图象可知，x2﹣x1＝4时m最小， ∴x2＝1+2＝3时，m≥4即可， ∴9a﹣6a+1≥4， ∴a≥1， 当a＜0时，由图象可知，x2﹣x1＝6时m最小， ∴x2＝1+3＝4时，m≥4即可， ∴16a﹣8a+1≥4， ∴，与a＜0矛盾，舍去， 综上所述a≥1． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴、区间最值和对称性的综合应用，核心是利用二次函数的对称性和增减性分析问题．熟练掌握二次函数的图象性质与对称性，是解决这类问题的关键． 19．（10分）（2026•双塔区校级一模）一个喷水头喷射出的水流可以近似看成抛物线．如图是喷水头为一坡地草坪喷水的平面示意图，建立如图所示平面直角坐标系，喷水架AC的高度为1.4米，点A的铅直高度AO＝3米，当喷射出的水流与喷水架的水平距离为4米时，达到最大高度6米，此时喷射出的水流落到坡面AB的点E处，已知斜坡AB的坡度为1：5． （1）求经过C，D，E三点的抛物线的解析式． （2）判断点E到喷水架的水平距离能否超过10米． 【分析】（1）依据题意，由抛物线顶点D（4，6），则设顶点式：y＝a（x﹣4）2+6，又可得C（0，4.4），从而求出a可以得解； （2）依据题意，由斜坡AB的坡度为1：5，即铅直高度：水平距离＝1：5，则坡度且AB向下倾斜，从而，又A（0，3），进而设AB为yx+3，联立方程，求出x后即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线顶点D（4，6）， ∴设顶点式：y＝a（x﹣4）2+6， ∵点C在喷水架上，喷水架高1.4米，AO＝3米， ∴C为（0，3+1.4），即（0，4.4）． 将C（0，4.4）代入顶点式：4.4＝a（0﹣4）2+6， ∴a． ∴抛物线为：，即； （2）点E到喷水架的水平距离能超过10米，理由如下： 由题意，∵斜坡AB的坡度为1：5，即铅直高度：水平距离＝1：5， ∴坡度且AB向下倾斜， ∴， ∵A（0，3）， ∴设AB的解析式为yx+3． 联立方程：， ∴． ∴． ∴米（舍去负根）． ∵x≈11.245＞10， ∴点E到喷水架的水平距离能超过10米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 20．（12分）（2026•浙江模拟）我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段（1≤x≤5）及新技术改造后（x＞5），y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为y1，第4个月时该厂的利润为y2，第7个月时利润为y3，则y1、y2和y3的大小关系为：y3＞y1＞y2 （用“＞”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出x＝3、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用y＝200分别得出x的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）当1≤x≤5时，可得：k＝200， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当x＞5时，将x＝5代入得：y＝40，则y＝40+20（x﹣5）＝20x﹣60， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：y＝20x﹣60． （2）当x＝3时，则， 当x＝4时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当x＝7时，该厂的利润在一次函数y＝20x﹣60上， ∴y3＝20x﹣60＝80， ∴y3＞y1＞y2， 故答案为：y3＞y1＞y2． （3）对于，当y＝100时，x＝2， 对于y＝20x﹣60，当y＝100时，x＝8， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． 21．（12分）（2026•越秀区校级三模）如图，反比例函数与一次函数y2＝﹣x+a的图象交于点A，B，且B点坐标为（6，1）． （1）求反比例函数和一次函数y2＝﹣x+a的解析式； （2）点P为线段AB上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，PH与反比例函数的图象交于点C，当点C为PH中点时，求点C的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法，将B（6，1）分别代入反比例函数解析式以及一次函数解析式中，即可求出它们的函数解析式； （2）设点P的纵坐标为m，由点P为线段AB上的一点，则有P（7﹣m，m），由已知可得，H（0，m），根据点C为PH中点，可得，最后由点C在反比例函数图象上，将点C坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，即可求得点C的坐标． 【解答】解：（1）将B（6，1）代入反比例函数中， 得：， 解得：k＝6， ∴反比例函数的解析式为：； 同理，将B（6，1）代入一次函数y2＝﹣x+a中， 得：1＝﹣6+a， 解得：a＝7， ∴一次函数的解析式为：y2＝﹣x+7； （2）设点P的纵坐标为m，则P（7﹣m，m）， ∵过P作y轴的垂线，垂足为H， ∴H（0，m）， ∵点C为PH中点， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， 整理得：m2﹣7m+12＝0， 解得：m＝3或m＝4， ∴C（2，3）或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 22．（14分）（2026春•南通期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）． （1）若a＝1，求此函数与x轴的交点坐标； （2）对于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0），当a＜0，﹣2≤x≤7时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值； （3）将y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）在﹣2≤x≤7间的图象记为G，若图象G与直线y＝﹣x+5有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 【分析】解：（1）先求出函数表达式，再令y＝0，解方程即可得坐标； （2）先求得其对称轴为直线x＝2，再根据区间与对称轴的相对位置表示出最大值和最小值，从而可建立方程求解； （3）先利用根的判别式证明抛物线与直线总有交点，再求出当x＝﹣2时，二次函数y＝7a，一次函数y＝7；当x＝7时，二次函数y＝16a，一次函数y＝﹣2，由图象G与直线y＝﹣x+5有2个不同的交点，分为当a＞0和当a＜0两种情况分别建立不等式即可求得a的取值范围，另外当Δ＝0时只能求得一个交点，此时得到的a值须排除． 【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a＝x2﹣4x﹣5， 令y＝0，即x2﹣4x﹣5＝0， 解得：x＝5或﹣1， 即此函数与x轴的交点坐标为（5，0）和（﹣1，0）； （2）对于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a可得其对称轴为直线x＝2， 当a＜0时，图象开口向下， 故﹣2≤x≤7时，即在x＝2处，取得最大值，ymax＝﹣9a， 在x＝7处，取得最小值，ymin＝16a， ∵y的最大值与最小值的差为5， ∴﹣9a﹣16a＝5， 解得：a； （3）联立y＝ax2﹣4ax﹣5a与y＝﹣x+5， 整理可得ax2﹣（4a﹣1）x﹣5a﹣5＝0， 则Δ＝（4a﹣1）2﹣4a（﹣5a﹣5）＝36a2+12a+1＝（6a+1）2≥0， 即抛物线与直线总有交点． 当x＝﹣2时，二次函数y＝7a，一次函数y＝7； 当x＝7时，二次函数y＝16a，一次函数y＝﹣2， 将y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）在﹣2≤x≤7间的图象记为G， 当图象G与直线y＝﹣x+5有2个不同的交点时， 当a＞0时，即满足7a≥7且16a≥﹣2， 解得：a≥1； 当a＜0时，即满足7a≤7且16a≤﹣2， 解得：a； 当Δ＝0时，即Δ＝（6a+1）2＝0，解得a， 则此时在﹣2≤x≤7间只存在一个交点，不满足题意， 综上，a的取值范围为a≥1或a且a． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，区间最值与交点分布，根的判别式，分类讨论的数学思想，掌握以上性质内容并能综合分析是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷6 九上月考阶段考试试卷（二次函数+反比例函数） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2026春•海淀区期末）二次函数y＝（x+3）2﹣2的顶点的横坐标为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 2．（2026春•鼓楼区期末）已知反比例函数，当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2.5 B．x＞0或x＜﹣2.5 C．0＜x≤﹣2.5 D．x＞0或x≤﹣2.5 3．（2026•雷州市模拟）已知反比例函数，点A（1，m），B（2，n）为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（　　） A．0＜n＜m B．0＜m＜n C．n＜m＜0 D．m＜n＜0 4．（2026春•镇海区期末）将函数y＝x2+4的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（　　） A．y＝（x﹣3）2+3 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝x2+1 5．（2026春•渝中区期末）在同一坐标系内，二次函数y＝ax2+5x+b的图象与一次函数y＝ax+b可能是（　　） A．B． C． D． 6．（2026春•拱墅区期末）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k（k为常数），若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在该函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1 7．（2026•莲湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣c的图象经过第一、第二、第四象限，则下列选项中的结论正确的是（　　） A．ab＜0 B．a+b+c＞0 C．c≤0 D．b2+4ac＜0 8．（2026春•永春县期末）如图，点A、B是反比例函数图象上的两点，延长线段BA交y轴于点C，且点A为线段BC中点，连接OA、OB，若S△ACO＝3，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026•双塔区一模）在平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；④当x＞0时，y随x的增大而减小．上述结论一定正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2026•天桥区二模）定义：若一个点的横、纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数y＝x2﹣2x+c（c为常数）在﹣1＜x＜3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A．4＜c＜7 B． C．0＜c＜7 D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为　 　 ． 12．（2026•海淀区模拟）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣2，y2），则y1+y2　 　 0（填“＞”或“＜”或“＝”）． 13．（2026•南京）一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为4时，压强为1.5；当体积为3时，压强是　 　 ． 14．（2026春•海淀区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）中，x与y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 3 … y … n 2 n … 若m＞0，且点A（m，y1），B（m+2，y2）在该二次函数的图象上，则y1　 　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 15．（2026春•衢州期中）某居民小区要建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙（墙足够长），另三边由总长为40m的材料围成．如图，设AB＝x（m），问：当x＝　 　 m时，花园的面积最大，最大面积是　 　 m2． 16．（2026•邗江区三模）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论： ①当m＝3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣9）； ②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3； ③当m＜0时，函数在x时，y随x的增大而减小； ④不论m取何值，函数图象经过两个定点． 其中正确的结论有　 　 ．（填序号） 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（8分）（2026春•海淀区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（2，5）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当﹣2≤x＜2时，直接写出y的取值范围． 18．（10分）（2026•黄岩区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若a＞0，当﹣1≤x≤2时，y的最大值为5，求函数的解析式； （3）已知M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，当4≤x2﹣x1≤6时，m≥4，求a的取值范围． 19．（10分）（2026•双塔区一模）一个喷水头喷射出的水流可以近似看成抛物线．如图是喷水头为一坡地草坪喷水的平面示意图，建立如图所示平面直角坐标系，喷水架AC的高度为1.4米，点A的铅直高度AO＝3米，当喷射出的水流与喷水架的水平距离为4米时，达到最大高度6米，此时喷射出的水流落到坡面AB的点E处，已知斜坡AB的坡度为1：5． （1）求经过C，D，E三点的抛物线的解析式． （2）判断点E到喷水架的水平距离能否超过10米． 20．（12分）（2026•浙江模拟）我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段（1≤x≤5）及新技术改造后（x＞5），y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为y1，第4个月时该厂的利润为y2，第7个月时利润为y3，则y1、y2和y3的大小关系为：　 　 （用“＞”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 21．（12分）（2026•越秀区三模）如图，反比例函数与一次函数y2＝﹣x+a的图象交于点A，B，且B点坐标为（6，1）． （1）求反比例函数和一次函数y2＝﹣x+a的解析式； （2）点P为线段AB上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，PH与反比例函数的图象交于点C，当点C为PH中点时，求点C的坐标． 22．（14分）（2026春•南通期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）． （1）若a＝1，求此函数与x轴的交点坐标； （2）对于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0），当a＜0，﹣2≤x≤7时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值； （3）将y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）在﹣2≤x≤7间的图象记为G，若图象G与直线y＝﹣x+5有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $