第15讲垂直于弦的直径（知识点+题型）2026-2027学年度新人教版九年级数学上册暑假预习讲义

第15讲 垂直于弦的直径 目录 知识点1 圆的轴对称性 2 知识点2 垂径定理（核心必考） 2 知识点3 垂径定理推论（高频易错） 2 知识点4 垂径定理万能计算公式 2 知识点5 平行弦与同心圆基础结论 3 题型1 利用垂径定理求值 3 题型2 利用垂径定理求平行弦问题 6 题型3 利用垂径定理求同心圆问题 12 题型4 利用垂径定理求解其它问题 16 题型5 垂径定理的推论 21 题型6 垂径定理的实际应用 25 1. 知识目标：理解圆的轴对称性，熟记垂径定理及其推论的完整内容、几何符号语言；掌握弦、弦心距、半径、拱高之间的数量关系，明晰定理适用条件与易错限制，厘清垂径定理正反用逻辑。 2. 能力目标：熟练运用垂径定理进行弦长、半径、弦心距、拱高的求值计算；掌握平行弦、同心圆、几何综合类题型的解题模型；能规范运用垂径定理推论解题，熟练解决桥梁、隧道、拱桥等实际应用问题。 3. 素养目标：建立圆的轴对称几何模型、数形结合、构造直角三角形的解题思想，提升几何识图、辅助线构造、方程推理、实际问题建模能力，夯实圆几何计算与证明的核心基础。 知识点1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。圆沿直径所在直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，垂径定理正是基于圆的轴对称性推导得出。 知识点2 垂径定理（核心必考） 定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。 几何语言：若直径弦，垂足为，则，，。 核心条件：两个前提缺一不可：①过圆心（直径/半径/圆心直线）；②垂直于弦。 知识点3 垂径定理推论（高频易错） 推论内容：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 关键限制：被平分的弦不能是直径，因为任意两条直径互相平分，但不一定垂直，此限制为考试必考易错点。 五知二推结论：过圆心、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧，五个条件中，任意两个成立，即可推出其余三个（平分直径除外）。 知识点4 垂径定理万能计算公式 解题固定模型：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理计算。 设：圆半径为，弦长为，弦心距（圆心到弦的距离）为，拱高（弦中点到弧的距离）为。 核心公式：、。 所有垂径计算题型，均可通过这两个公式列方程求解。 知识点5 平行弦与同心圆基础结论 1. 圆内两条平行弦，圆心在两弦同侧或异侧，分两类情况计算距离； 2. 同心圆中，同方向弦的弦心距相等，圆环弦长可通过内外圆半径差值求解。 题型1 利用垂径定理求值 解题技巧（直角三角形构造法）：1. 固定辅助线：遇弦必作垂线，过圆心向已知弦作垂直线段，得到弦心距，平分弦；2. 拆分长度：弦长对半取值，得到直角三角形一条直角边；3. 套公式列方程：利用，已知两个量求第三个量；4. 拱高题型：结合联立求解，优先设半径为未知数，方程法万能解题。 秒杀口诀：见弦作垂，平分一半，勾股秒杀。 【典例1】．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【变式1】．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 【变式2】．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       题型2 利用垂径定理求平行弦问题 解题技巧（分类讨论双模型）：1. 分两类位置：两条平行弦在圆心同侧、两条平行弦在圆心异侧；2. 分别作两条弦的弦心距，各自用勾股定理求出弦心距长度；3. 同侧距离：两弦心距相减；异侧距离：两弦心距相加；4. 双解必讨论：无图平行弦题型，必须双解，严禁漏解。 易错重点：平行弦无图必有两解，只算一种直接扣分。 【典例2】．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式1】．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 【变式2】．如图，与相交，点与点在上，．交于点，且点是中点，过作交于点．若，，则半径为________，________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定；连接、，过点作垂足为点，过点作垂足为点，延长交于点，由圆周角定理可得为直径，，据此即可求出半径，由，求出，进而求出，再由可求出，继续利用可求出、，利用可求出，再利用可求出，最后利用即可求出结果． 【详解】解：连接、，过点作垂足为点，过点作垂足为点，延长交于点， ∵点都在上， ∴四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵点是中点，即， ∴垂直平分， 又∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴半径为， ∵， ∴，即， ∴在中，，即， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴在中，，即， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴在中，，即， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分，即， ∴， 又∵，延长交于点， ∴， ∴垂直平分，即， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【变式3】．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 题型3 利用垂径定理求同心圆问题 解题技巧（同心等距模型）：1. 抓不变量：同心圆圆心相同，同一垂线对应的弦心距相等；2. 内外圆双列式：分别对大圆弦、小圆弦套用垂径勾股公式；3. 作差求长度：利用半径平方差，快速求解圆环截得弦长、线段差值；4. 简化计算：无需单独求d，整体代入平方差公式，简化运算步骤。 核心结论：同心圆平行弦、截线段问题，优先整体代换，避繁就简。 【典例3】．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 【变式1】．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 【变式2】．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 题型4 利用垂径定理求解其它问题 解题技巧（综合通用模板）：1. 证明线段相等：用垂径平分弦性质，结合等量代换推导；2. 证明弧相等：垂直直径平分对应弧，直接判定弧相等；3. 最值问题：固定弦长，弦心距越大拱高越小；固定半径，弦越长弦心距越小；4. 几何综合：结合等腰三角形、勾股定理、全等三角形，综合推理计算。 【典例4】．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理得出，从而求出的度数． 【详解】解：连接， 为的直径，， ， ． 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． ， ， ． 【变式1】．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 【答案】A 【分析】判断出都是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理分别求出、即可求解． 【详解】解：甲：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故甲的作图方式正确； 乙：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故乙的作图方式正确． 故选：A． 【点晴】本是考查了作图――应用与设计作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是题解题意． 【变式2】．如图，以为直径的与相切于点，连接并延长交于点，点，连接，过点作交于点，过点作于，点在上，连接交于点，若，，，则________，________． 【答案】 9 2 【分析】根据切线的性质及垂径定理得，于点，，设，则，在中，根据勾股定理列方程，求出的值，即可求出的长；证明，得到，分别解，，即可求出的长． 【详解】解：∵与相切于点，， 于点， ∴． 在中，， ． 设，则， 在中，， 即，解得． ． 连接， ∵， ，． ． ∵， ． ， ． ， ． ． ， ． ∵，，， ， ． 在中，，， ∴． 设，则， ∵， ∴，解得（负值舍去）， ，． 在中，，， ∴． ． ． ． 【变式3】．如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为__． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是作辅助线构造相等的圆周角．连接并延长，交于，连接，根据切线的性质可知，根据垂径定理可知，根据圆周角定理可证． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于，连接， 是的切线， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 题型5 垂径定理的推论 解题技巧（条件锁定辨析法）：1. 牢记限制条件：平分弦（非直径）的直径垂直弦、平分弧；2. 遇直径平分直径：无法推出垂直，直接判定推论不成立；3. 五推三规则：两个核心条件锁定，推导剩余结论；4. 证明题型：先点明平分弦（非直径），再用推论证垂直、证弧相等。 必考易错：忽略“非直径”限制，乱用推论导致推理错误。 【典例5】．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断． 【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条． ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确． 故选：A． 【变式1】．如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是垂径定理．由题意可知为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断． 【详解】解：根据为的直径，且，垂足为，则是垂直于弦的直径，满足垂径定理． 所以是的垂直平分线， 因而，，，都是正确的． 所以选项B、不一定成立． 故选：B． 【变式2】．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 【变式3】．如图，等腰内接于，，以为边的矩形交于点C，D，交于点E，若，，则的直径长为_______． 【答案】 【分析】连接，即可得到是圆O的直径，然后证明是等腰三角形，然后在中利用勾股定理求出长，再在中求出长即可． 【详解】解：连接， ∵是矩形， ∴，，， ∴是圆O的直径，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（负值舍去） 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；垂径定理的推论，圆周角定理等知识，掌握这些知识是解题的关键. 题型6 垂径定理的实际应用 解题技巧（实景建模法）：1. 场景转化：拱桥、隧道、桥洞、水管、圆柱形截面问题，全部转化为圆的弦、半径、弦心距模型；2. 画图建模：还原圆形，标注弦长、拱高、半径；3. 构造直角三角形：套用垂径定理双公式，列一元一次/二次方程求解；4. 结果校验：结合实际场景取舍答案，舍去负数、超范围数值。 高频场景：求拱桥半径、桥洞高度、水管水深、截面弦长。 【典例6】．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 【变式1】．盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理． 连接，设，则，根据勾股定理可得，解方程即可求出圆的半径． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 圆的半径为． 故选：B． 【变式2】．如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____． 【答案】 【分析】连接，由为中点，为最高点可得，，设圆半径为，则，，在中，由勾股定理得，代入数据整理即可得到与的关系 【详解】解：连接， ∵为中点，为月亮门最高点， ∴，， ∴， 设圆的半径长为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∵为月亮门底部的宽度， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为的的一部分，路面最大宽度约为，求隧道主洞断面的最大高度．      【答案】隧道主洞断面的最大高度的长度为 【分析】根据垂径定理可得，在中根据勾股定理列方程即可求出的长，进而可得的长． 本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：连接，   经过圆心，， ， 直径为， ， 在中， ∴， ， ． 答：隧道主洞断面的最大高度的长度为． 1．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 2．如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接， 由垂径定理可得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接， 弦，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 3．如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图是边长为1的正方形网格，点，，均在格点上，，两点都在上．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所在圆的圆心为O，设的垂直平分线交于点E，则圆心O在的垂直平分线上，连接，，，，设圆的半径为R，则，，根据勾股定理得出，求出，根据圆周角定理得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：设所在圆的圆心为O，设的垂直平分线交于点E，则圆心O在的垂直平分线上，连接，，，，如图所示： 根据网格可得：，， 设圆的半径为R，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为． 5．已知锐角．如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接； （3）连接，，分别交，于点，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可对A选项进行判断；根据圆周角等于圆心角的一半，即可对C选项进行判断；过点O作的垂线，根据垂径定理的相关性质即可对B选项进行判断，根据全等三角形得到与相等的，结合反证法即可对D选项进行判断. 【详解】解：由作法可知， ∴，故A选项正确，不符合题意； 如解图，过点O作交圆于，交弧于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 如解图，连接，在和中， ， ∴ ， ∴, ， 假设， 结合垂径定理同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 此时，与题干矛盾， 所以假设不成立，故D选项错误，符合题意． 【点睛】本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理、全等三角形． 6．下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 7．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个． 8．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，垂足为，设圆的半径为，由垂径定理可得，根据题意，则，在直角中，利用勾股定理构造方程求解出的值即可． 【详解】解：如图，作直径，垂足为，设圆的半径为， ∵直径， ∴， 由题意可知，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 9．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ， ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 10．如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 11．如图，于E，，，则的半径为___________． 【答案】10 【分析】连接，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 即的半径为10． 12．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． 【答案】5 【分析】连接，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设该桨轮船的轮子半径为，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． 故该桨轮船的轮子半径为． 13．如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的面积为_______ ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，首先根据垂径定理可得，再在中，由勾股定理解得的长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，，且， ∴，， ∴在中，， ∴． 故答案为：30． 14．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 15．如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，，求出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂径定理的推论即可得解； （2）由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，即可得解； （3）连接，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：是圆心，是弦的中点， ； （2）解：是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， 是弦的中点，， ，， ． 17．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 18．如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：，理由如下： 过点分别作，，垂足分别为、， ，， 和是直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， ，， ， ． 【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出． （2）由，可得，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 垂直于弦的直径 目录 知识点1 圆的轴对称性 2 知识点2 垂径定理（核心必考） 2 知识点3 垂径定理推论（高频易错） 2 知识点4 垂径定理万能计算公式 2 知识点5 平行弦与同心圆基础结论 3 题型1 利用垂径定理求值 3 题型2 利用垂径定理求平行弦问题 4 题型3 利用垂径定理求同心圆问题 5 题型4 利用垂径定理求解其它问题 6 题型5 垂径定理的推论 7 题型6 垂径定理的实际应用 8 1. 知识目标：理解圆的轴对称性，熟记垂径定理及其推论的完整内容、几何符号语言；掌握弦、弦心距、半径、拱高之间的数量关系，明晰定理适用条件与易错限制，厘清垂径定理正反用逻辑。 2. 能力目标：熟练运用垂径定理进行弦长、半径、弦心距、拱高的求值计算；掌握平行弦、同心圆、几何综合类题型的解题模型；能规范运用垂径定理推论解题，熟练解决桥梁、隧道、拱桥等实际应用问题。 3. 素养目标：建立圆的轴对称几何模型、数形结合、构造直角三角形的解题思想，提升几何识图、辅助线构造、方程推理、实际问题建模能力，夯实圆几何计算与证明的核心基础。 知识点1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。圆沿直径所在直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，垂径定理正是基于圆的轴对称性推导得出。 知识点2 垂径定理（核心必考） 定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。 几何语言：若直径弦，垂足为，则，，。 核心条件：两个前提缺一不可：①过圆心（直径/半径/圆心直线）；②垂直于弦。 知识点3 垂径定理推论（高频易错） 推论内容：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 关键限制：被平分的弦不能是直径，因为任意两条直径互相平分，但不一定垂直，此限制为考试必考易错点。 五知二推结论：过圆心、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧，五个条件中，任意两个成立，即可推出其余三个（平分直径除外）。 知识点4 垂径定理万能计算公式 解题固定模型：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理计算。 设：圆半径为，弦长为，弦心距（圆心到弦的距离）为，拱高（弦中点到弧的距离）为。 核心公式：、。 所有垂径计算题型，均可通过这两个公式列方程求解。 知识点5 平行弦与同心圆基础结论 1. 圆内两条平行弦，圆心在两弦同侧或异侧，分两类情况计算距离； 2. 同心圆中，同方向弦的弦心距相等，圆环弦长可通过内外圆半径差值求解。 题型1 利用垂径定理求值 解题技巧（直角三角形构造法）：1. 固定辅助线：遇弦必作垂线，过圆心向已知弦作垂直线段，得到弦心距，平分弦；2. 拆分长度：弦长对半取值，得到直角三角形一条直角边；3. 套公式列方程：利用，已知两个量求第三个量；4. 拱高题型：结合联立求解，优先设半径为未知数，方程法万能解题。 秒杀口诀：见弦作垂，平分一半，勾股秒杀。 【典例1】．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 题型2 利用垂径定理求平行弦问题 解题技巧（分类讨论双模型）：1. 分两类位置：两条平行弦在圆心同侧、两条平行弦在圆心异侧；2. 分别作两条弦的弦心距，各自用勾股定理求出弦心距长度；3. 同侧距离：两弦心距相减；异侧距离：两弦心距相加；4. 双解必讨论：无图平行弦题型，必须双解，严禁漏解。 易错重点：平行弦无图必有两解，只算一种直接扣分。 【典例2】．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1】．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】．如图，与相交，点与点在上，．交于点，且点是中点，过作交于点．若，，则半径为________，________． 【变式3】．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 题型3 利用垂径定理求同心圆问题 解题技巧（同心等距模型）：1. 抓不变量：同心圆圆心相同，同一垂线对应的弦心距相等；2. 内外圆双列式：分别对大圆弦、小圆弦套用垂径勾股公式；3. 作差求长度：利用半径平方差，快速求解圆环截得弦长、线段差值；4. 简化计算：无需单独求d，整体代入平方差公式，简化运算步骤。 核心结论：同心圆平行弦、截线段问题，优先整体代换，避繁就简。 【典例3】．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【变式3】．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 题型4 利用垂径定理求解其它问题 解题技巧（综合通用模板）：1. 证明线段相等：用垂径平分弦性质，结合等量代换推导；2. 证明弧相等：垂直直径平分对应弧，直接判定弧相等；3. 最值问题：固定弦长，弦心距越大拱高越小；固定半径，弦越长弦心距越小；4. 几何综合：结合等腰三角形、勾股定理、全等三角形，综合推理计算。 【典例4】．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【变式1】．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 【变式2】．如图，以为直径的与相切于点，连接并延长交于点，点，连接，过点作交于点，过点作于，点在上，连接交于点，若，，，则________，________． 【变式3】．如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为__． 题型5 垂径定理的推论 解题技巧（条件锁定辨析法）：1. 牢记限制条件：平分弦（非直径）的直径垂直弦、平分弧；2. 遇直径平分直径：无法推出垂直，直接判定推论不成立；3. 五推三规则：两个核心条件锁定，推导剩余结论；4. 证明题型：先点明平分弦（非直径），再用推论证垂直、证弧相等。 必考易错：忽略“非直径”限制，乱用推论导致推理错误。 【典例5】．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【变式3】．如图，等腰内接于，，以为边的矩形交于点C，D，交于点E，若，，则的直径长为_______． 题型6 垂径定理的实际应用 解题技巧（实景建模法）：1. 场景转化：拱桥、隧道、桥洞、水管、圆柱形截面问题，全部转化为圆的弦、半径、弦心距模型；2. 画图建模：还原圆形，标注弦长、拱高、半径；3. 构造直角三角形：套用垂径定理双公式，列一元一次/二次方程求解；4. 结果校验：结合实际场景取舍答案，舍去负数、超范围数值。 高频场景：求拱桥半径、桥洞高度、水管水深、截面弦长。 【典例6】．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】．如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____． 【变式3】．天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为的的一部分，路面最大宽度约为，求隧道主洞断面的最大高度．      1．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 4．如图是边长为1的正方形网格，点，，均在格点上，，两点都在上．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．已知锐角．如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接； （3）连接，，分别交，于点，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 6．下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 7．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 10．如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 11．如图，于E，，，则的半径为___________． 12．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． 14．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 15．如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 16．年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 17．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 18．如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $