第21讲 圆心角（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

第21讲 圆心角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 题型2 由圆心角、弧、弦的关系求长度 题型3 由圆心角、弧、弦的关系求角度 题型4 由圆心角、弧、弦的关系求弧度 题型5 由圆心角、弧、弦的关系求周长 题型6 由圆心角、弧、弦的关系求面积 题型7 由圆心角、弧、弦的关系证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆心角、弧、弦、等对等定理、同圆或等圆、相互转化。 1. 理解圆心角的概念，能识别并指出图形中的圆心角。 2. 掌握圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3. 理解圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 4. 能运用圆心角定理及其推论进行简单的证明和计算，体会“弧、弦、圆心角”三者之间的关系。 学习重点：圆心角定理及其推论（“弧、弦、圆心角”三者关系），并能运用它进行简单的推理和计算。 学习难点：理解定理中“在同圆或等圆中”这一前提条件，以及如何将“弧、弦、圆心角”三者之间进行等价转化。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆心角 1.圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 2.弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1o的圆心角，我们也称这样的弧为1o的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【易错提醒】 圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角。同圆或等圆中，相等圆心角对等弦、等弧。易错：缺少同圆或等圆前提，结论不成立 即时即练1．如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ，，，． 2．如图，已知是的直径，点C，D在上，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，则，由得，则，由，得，即可由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴点O在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 题型1 由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 【例1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，D、E分别是半径，的中点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 由，D、E分别是半径，的中点，可得，由，可得，可判断A的正误；证明，则，，证明，则，可判断B的正误；证明，则，可判断C的正误；由题意知，当时，，可判断D的正误． 【详解】解：∵，D、E分别是半径，的中点， ∴， ∵， ∴，A正确，故不符合要求； 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，B正确，故不符合要求； ∵，，， ∴， ∴，C正确，故不符合要求； 由题意知，当时，，D错误，故符合要求； 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 【技巧归纳】 先确认是否在同圆或等圆中，满足前提才可一组量相等推其余三组相等，缺少前提则命题错误，逐条核对条件判断对错 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图， 、是的两条弦，且．，， 垂足分别为点M、N，、的延长线交于点P，连接，下列结论①弧=弧； ②； ③； ④，正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 连接、，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、； ∵， ∴，故①正确 ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴，，故④正确， ∵， ∴，故③正确， 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】①根据点是弧的中点得，由此可对结论①进行判断；②证明，由此可对结论②进行判断；③连接，根据点是的中点，得，由此可对结论③进行判断；④连接，根据是半圆弧的中点，得垂直平分，所以，由此可对结论④进行判断． 【详解】解：①∵点是的中点， ， ∴，故①正确； ②∵是半圆的直径， ， ， 是半圆弧的中点， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③如图，连接， ∵点是的中点，是半圆弧的中点， ∴， ∵， ， ∴，故③错误； ④如图，连接， ∵是半圆弧的中点， ∴垂直平分， ∴， 在中，根据勾股定理：， ∴，故④正确； 综上所述：正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，勾股定理等知识点，熟练掌握圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系是解决问题的关键． 题型2 由圆心角、弧、弦的关系求线段长度 【例3】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，半径为5的中，弦所对的圆心角分别是，若°，则弦的长等于（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理．作直径，连接,先利用勾股定理求得的长，再利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等求得答案． 【详解】解：作直径，连接, 如图, 则，， ∴， ， ， ， 故选: A． 【例4】（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，半径为2的的弦，且于点E，连接，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接，根据，可得，所以，由，可得，所以，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： A． 【技巧归纳】 先判定为同圆或等圆，利用圆心角、弧、弦等量互推，得到弦相等，再结合垂径定理与勾股定理计算对应线段长度 【变式2-1】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，设交于E，根据垂径定理求出，，根据圆周角定理求出，解直角三角形求解即可． 【详解】解：设交于E，如图： ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：6 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着根据圆周角定理得到，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【详解】解：为劣弧的中点， ， ， ， ， 为的直径， ，则 在中，， ∴， ． 故答案为：． 题型3 由圆心角、弧、弦的关系求角度 【例5】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 【例6】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 【技巧归纳】 先确认是同圆或等圆，借助弧、弦、圆心角互相等量转化，再结合圆周角性质、三角形内角关系，逐步推导求出对应角度 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、在上，且，．则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等得到，进而推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为． 故答案为：9． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 题型4 由圆心角、弧、弦的关系求弧度 【例7】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【例8】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角定理，等腰三角形的判定及性质等；由弧的度数得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】解：连接， 的度数为， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【技巧归纳】 先确定同圆或等圆，利用弦、圆心角相等推出对应弧度数相等，结合已知角度换算，逐步算出目标弧的度数 【变式4-1】如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】连接、，根据切线的性质可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ，分别切于点，， ， ， ，即的度数为． 【变式4-2】如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 【答案】70 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理和三角形的外角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理和三角形的外角定理得到，即可求解，再由即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴的度数为， 故答案为：． 题型5 由圆心角、弧、弦的关系求周长 【例9】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（　　） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质得到，利用弧、弦的关系和弧长公式求得的长，进而可求解． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴该“莱洛三角形”的周长是． 故选：B． 【例10】（2024·陕西西安·模拟预测）如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AB、OA、OD，然后由弦与弧的关系，求出，得到，再根据勾股定理求出半径，即可得到答案． 【详解】解：连接AB、OA、OD，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角△AOD中，设OA=OD=R， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴圆的周长为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 【技巧归纳】 利用同圆或等圆中等弦、等弧、等圆心角互相转化，求出各段弧度数，套用弧长公式算出弧长，相加得到图形周长 【变式5-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，扇形中，，，为弧的中点，点为上一动点，连接，当阴影部分周长最小时，等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求正切，与圆有关的计算，轴对称的性质如图，利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，进而根据等腰三角形的性质得出，进而根据轴对称的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、， 由对称可知，，， ∵，当点移动到点时，取等号，此时最小， ∵为弧的中点， ∴，则， ， 又， ， ， 由轴对称可知，， ， 当阴影部分周长最小时，，则 ． 故答案为：． 【变式5-2】（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 题型6 由圆心角、弧、弦的关系求面积 【例11】（24-25六年级下·上海·单元测试）如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆和扇形的面积计算. 设这个扇形的圆心角度数为，利用圆和扇形的面积公式得出方程，求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【例12】（2024七年级上·全国·专题练习）如图中有大小两个等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是50cm2，环形的面积是 ．    【答案】157平方厘米 【分析】根据图形可知，大三角形的面积等于大圆的直径乘大圆的半径除以2，小三角形的面积等于小圆的直径乘小圆的半径除以2，阴影部分的面积等于大三角形的面积减小三角形的面积，等于大圆半径的平方减小圆半径的平方，圆环的面积等于大圆的面积减小圆的面积，据此解答即可。 【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r. ， 环形的面积是： （平方厘米） 所以环形的面积是157平方厘米. 故答案为：157平方厘米 【点睛】本题考查了圆的性质，圆心角、弦、弧之间的关系，的圆心角所对的弦是直径，等腰三角形的性质等知识，正确理解圆的有关性质是解题的关键. 【技巧归纳】 利用同圆或等圆中弧、弦、圆心角等量转换，确定扇形圆心角，代入扇形面积公式计算，再拼接或作差求解整体图形面积 【变式6-1】（23-24九年级下·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D，E，F都在上，且．若的半径为4，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出是解题的关键．连接、，交于H，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出，解直角三角形分别求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 【变式6-2】（2025·陕西渭南·一模）如图，半圆的直径长为16，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）相等、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及求扇形面积，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据点C，D是半圆的三等分点得出是等边三角形，，根据“三线合一”的性质得出，利用的三角函数得出，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵半圆的直径长为16，点C，D是半圆的三等分点， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型7 由圆心角、弧、弦的关系证明 【例13】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，已知在中，两条弦和交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据在同圆中，等弦所对的弧相等，等弧对的弦相等证明即可． 【详解】证明：， ， ， ， ． 【例14】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可． 【详解】证明：∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【技巧归纳】 证明前先点明同圆或等圆前提，要证弦、弧、圆心角任一相等，可转化证明另一组等量，通过半径相等构造全等完成推导 【变式7-1】（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 【变式7-2】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）下列结论正确的是（    ） A．相等的圆周角所对的弦相等 B．相等的弧所对的弦相等 C．相等的弦所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【分析】根据圆中弦、弧、圆心角、圆周角的关系逐一排除即可． 【详解】解：由于圆中弦、弧、角的等量结论大多需要“在同圆或等圆中”的前提才能成立， 、未指明同圆或等圆，相等的圆周角所对的弦不一定相等，故该选项错误，不符合题意； 、∵相等的弧是指能完全重合的弧，本身隐含同圆或等圆的条件， ∴相等的弧所对的弦一定相等，故该选项正确，符合题意； 、未指明同圆或等圆，且同圆中一条弦对应两条弧，相等的弦所对的弧不一定相等，故该选项错误，不符合题意； 、未指明同圆或等圆，半径不同时相等的圆心角所对的弧不相等，故该选项错误，不符合题意． 2．（2026·江西九江·一模）如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，利用弧、弦、圆心角的关系即可得的度数． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧的度数与圆心角的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键． 先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， 故的度数为． 故选：． 4．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 5．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 二、填空题 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，由平角的定义可得，再根据弧与圆心角之间的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∵点、是的三等分点， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·福建·期末）如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【答案】 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 8．（2026·陕西西安·一模）如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由圆心角的性质可得，进而可判断是等边三角形，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 10．如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 11．（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，可得，则，再证，可得，即平分． 【详解】解：连接、、、， ，， ，． ， ． 在和中 ． ． 在和中 ． ． 平分． 12．（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．（2026·上海徐汇·二模）如图，已知、为的两条弦，，连接、并延长交弦于点、，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； (2) 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）连接，先证明，则，然后根据等边对等角以及三角形内角和定理证明，即可证明平行； （2）先证明，再证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 14．（2026·河南洛阳·三模）如图，是的直径，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】1）作交于点，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，进而得出，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 15．如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第21讲圆心角 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 题型2由圆心角、弧、弦的关系求长度 题型3由圆心角、弧、弦的关系求角度 题型4由圆心角、弧、弦的关系求弧度 题型5由圆心角、弧、弦的关系求周长 题型6由圆心角、弧、弦的关系求面积 题型7由圆心角、弧、弦的关系证明 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解圆心角的概念，能识别并指出图形中的圆心角。 2.掌握圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 圆心角、弧、弦、等 弦也相等。 对等定理、同圆或等 3.理解圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦 圆、相互转化。 中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 4.能运用圆心角定理及其推论进行简单的证明和计算，体会“弧、弦、圆心 角”三者之间的关系。 学习重点：圆心角定理及其推论（“弧、弦、圆心角”三者关系)，并能运用它进行简单的推理和计 算。 学习难点：理解定理中“在同圆或等圆中”这一前提条件，以及如何将“弧、弦、圆心角”三者之间 进行等价转化。 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知|识1框引架 圆心角的定义 顶点在圆心的角 忽略同圆或等圆条件 两边与圆相交 高频易错点 弧的度数理解错误 圆心角与弧的关系 圆心角所对的弧 圆心角与圆周角关系 圆心角与孤的度数相等 高频考点 圆心角定理应用 圆心角 圆心角与弦的关系 圆心角所对的弦 知一推二 圆心角孤弦三量关系 定理的推论 相等的圆心角所对的弧相等 需同圆或等圆前提 在同圆或等圆中 圆心角定理 相等的圆心角所对的弦相等 相等的弧所对的圆心角相等 逆定理 相等的弦所对的圆心角相等 知识I精1讲 知识点01圆心角 1.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线. (2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心 2.弧、弦、圆心角 (1)顶点在圆心的角叫做圆心角，将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1°的圆心角，我们也称这样 的弧为1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. (2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等， 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等. 【易错提醒】 圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角。同圆或等圆中，相等圆心角对等弦、等弧。易 错：缺少同圆或等圆前提，结论不成立 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即时即练1.如图，点A,B,C,D都在⊙O上，∠AOB=∠COD,下列说法一定正确的是() B A.AB=AD B.AB=BC C.AB=CD D.AD=BC 2.如图，已知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠ABC=66°，BC=CD.则LABD的度数为 A.39° B.40° C.42° D.44° 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，点D是AC的中点，∠BOD=140°，则∠BAC 的度数为 0 03 题型突破 题型1由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 【例1】(23-24九年级上河北邯郸期中)如图，在⊙0中，AC=BC,D、E分别是半径0A,OB的中 点，连接OC,AC,BC,CD,CE,则下列结论不一定成立的是() 3/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AC=BC B.CD=CE C.∠ACD=∠BCED.CD⊥OA 【例2】(25-26九年级上浙江·课后作业)如图，AB,CD分别为⊙0的两条弦，OM1AB于M, ON⊥CD于N,且∠AOB=LCOD,则下列结论中，正确的个数为() ①AB=CD;②OM=ON:③AB=CD D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【技巧归纳】 先确认是否在同圆或等圆中，满足前提才可一组量相等推其余三组相等，缺少前提则命题错 误，逐条核对条件判断对错 【变式1-1】(25-26九年级上辽宁盘锦阶段练习)如图，AB、CD是⊙0的两条弦，且AB=CD OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为点M、N,BA、DC的延长线交于点P,连接OP,下列结论①弧 AB=弧CD;②OM=ON:③PA=PC:④∠BPO=∠DPO,正确的个数是() B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式12】(2425九年级上·吉林长春·期末)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆弧的中点，△ABD 和△ABC均内接于半圆O,分别连结AC、OC交BD于点E、F,若D是AC的中点，给出下面四个结 论： 4/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①∠CAD=∠DBA:②CE=CF:③BC=2AD:④AD2+DF2=BF2. 上述结论中，正确结论的序号有」 C 题型2由圆心角、弧、弦的关系求线段长度 【例3】(2425九年级上·安徽阜阳阶段练习)如图，半径为5的⊙A中，弦BC,ED所对的圆心角分别 是∠BAC,∠EAD,若BC=8∠BAC+∠EAD=180°，则弦DE的长等于() D ⊙ A.6 B.5 C.4 D.3 【例4】(2425九年级下·吉林松原阶段练习)如图，半径为2的⊙0的弦AD=BC,且AD⊥BC于点 E,连接AB、AC,则AB的长为() E B A.2√2 B.2 c.√2 D.1 【技巧归纳】 先判定为同圆或等圆，利用圆心角、弧、弦等量互推，得到弦相等，再结合垂径定理与勾股 定理计算对应线段长度 【变式2-1】(24-25九年级下江苏盐城期中)如图，在⊙0中，OA1BC,∠ADB=30°，BC=6V5 则OC的长为 5/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式22】(24-25九年级上江苏南通阶段练习)如图，△ABC内接于⊙0，A为劣弧BC的中点， ∠BAC=120°，BD为⊙0的直径，连接AD,若AD=8,则AC的长为 题型3由圆心角、弧、弦的关系求角度 【例5】(25-26九年级上江苏泰州月考)如图，在Rt△ABC中，∠4CB=90°，∠A=20°，以点C为圆心， BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E,则弧BD的度数为() B 9 A.28° B.60° C.55° D.40° 【例6】(25-26九年级上江苏南京月考)如图，O0经过五边形OABCD的四个顶点，若∠A0D=150°， ∠A=65°，∠D=60°，则BC的度数为() A. 45° B.40° C.35° D.30° 【技巧归纳】 先确认是同圆或等圆，借助弧、弦、圆心角互相等量转化，再结合圆周角性质、三角形内角 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关系，逐步推导求出对应角度 【变式31】(25-26九年级上江苏宿迁期中)如图，点A、B、C、D在⊙0上，且 ∠ACB=∠BDC=60°，BC=3.则△ABC的周长为 【变式32】(25-26九年级上江苏南京阶段练习)如图，在Rt△4BC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C 为圆心，BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则BD的度数为 D E 题型4由圆心角、弧、弦的关系求弧度 【例7】(25-26九年级上：陕西安康期中)如图，AB是⊙0的直径，AD=CD,∠C0B=40°，则∠C0D 的度数是() D A.50° B.55° C.60° D.70° 【例8】(25-26九年级上浙江舟山~期中)如图，△ABC内接于O0,BD是O0的直径.若∠ABC=50° AD的度数为70°，则∠DBC等于() 7/16 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.10° B.15° C.20° D.25° 【技巧归纳】 先确定同圆或等圆，利用弦、圆心角相等推出对应弧度数相等，结合已知角度换算，逐步算 出目标弧的度数 【变式41】如图，由圆盘和挂绳AB,AC组成挂饰，AB,AC分别与⊙0相切于点B,C.若∠A=64°」 则BC的度数为。 【变式42】如图，⊙0的弦AB、CD的延长线相交于点P,∠A0C=150,∠P=40°，则BD的度数为 B 题型5由圆心角、弧、弦的关系求周长 【例9】(2024九年级下·全国·专题练习)如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三 “边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为3，则 这个“莱洛三角形”的周长是() 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.9 B.3π C.6π D.9元 【例10】(2024：陕西西安模拟预测)如图⊙0的弦AC=BD,且4C1BD于E,连接AD,若AD=3V6 则⊙0的周长为() D C A.63π B.4V6π C.33π D.4π 【技巧归纳】 利用同圆或等圆中等弦、等弧、等圆心角互相转化，求出各段弧度数，套用弧长公式算出弧 长，相加得到图形周长 【变式51】(23-24九年级上江苏泰州期末)如图，扇形0AB中，OA=R,∠A0B=60°，C为弧AB的 中点，点D为OB上一动点，连接AD、DC,当阴影部分周长最小时，tan∠ADC等于一 B 【变式52】(2024河南驻马店三模)如图，在扇形AOB中，∠A0B=90°，B0=2,C为B0的中点， D为AB上一点，且2BD=AD,连接AC,DC,在OC绕点O旋转的过程中，当CD取最小值时， △ACO的周长为一· 9/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 题型6由圆心角、弧、弦的关系求面积 【例11】(24-25六年级下上海单元测试)如果一个半径为2厘米的圆的面积恰好与一个半径为4厘 米的扇形面积相等.那么这个扇形的圆心角度数为一· 【例12】(2024七年级上全国·专题练习)如图中有大小两个等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是 50cm,环形的面积是一. 【技巧归纳】 利用同圆或等圆中弧、弦、圆心角等量转换，确定扇形圆心角，代入扇形面积公式计算，再 拼接或作差求解整体图形面积 【变式61】(23-24九年级下浙江温州期中)如图，点A,B,C,D,E,F都在⊙0上，且 AB=BC=CD=DE=EF=AF.若⊙O的半径为4，则△ABF的面积是一· B 【变式6-2】(2025·陕西渭南·一模)如图，半圆AmB的直径长为16，点C,D是半圆的三等分点，连接 AC,BD,过点C作CE⊥AB,垂足为E,求图中阴影部分的面积. 10116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m E 题型7由圆心角、弧、弦的关系证明 【例13】(25-26九年级上·浙江舟山期中)如图，已知在⊙0中，两条弦AB和CD交于点P,且 AD=CB,求证：AB=CD D B 【例14】(25-26九年级上浙江嘉兴期中)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径的⊙0分别交 AC,BC于点E,F.求证：AE=BF. C E 【技巧归纳】 证明前先点明同圆或等圆前提，要证弦、弧、圆心角任一相等，可转化证明另一组等量，通 过半径相等构造全等完成推导 【变式7-1】(24-25九年级下广东中山开学考试)如图，在⊙0中，半径0C,0D分别交弦AB于点E, F,且OE=OF (I)求证：AE=BF; 11/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：AC=BD 【变式7-2】(25-26九年级上江西赣州期中)如图，己知D,E分别为半径OA,OB的中点，C为AB 的中点 B C (I)求证：CD=CE: (②)若∠AOB=120°，OA=6,求△OAC面积. 04 过关检测 一、单选题 1.(25-26九年级上安徽安庆·期末)下列结论正确的是() A.相等的圆周角所对的弦相等 B.相等的弧所对的弦相等 C.相等的弦所对的弧相等 D.相等的圆心角所对的弧相等 2.(2026江西九江一模)如图，在⊙0中，点A是BC的中点，点D在⊙0上，∠ADC=25°，则∠AOB 的度数为() D A.25 B.45° C.50 D.60° 3.(25-26九年级上浙江杭州期末)如图，⊙O中，AB为直径，弦CD‖AB,若AC的度数是50°，则 DC的度数是() 12116 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.40° B.60 C.80° D.100° 4.(2026福建泉州二模)如图，⊙0的弦AC、BD的延长线相交于点P,AC=BD,若∠OPB=20°， 则∠BOC的度数是() D B A.100° B.120° C.130° D.140° 5.(2026山西临汾三模)如图，AO,CO是⊙0的半径，B是AC的中点，连接AB,BC,点D在BC的 延长线上.若∠OCD=130°，则∠A0C的度数为() D B A.160° B.130° C.100° D.80° 二、填空题 6.(25-26九年级上湖南衡阳·期末)如图，AB为⊙O的直径，点C、D是BE的三等分点，∠AOE=60°， 则∠BOD的度数为 E D 7.(25-26九年级上福建·期末)如图，AB是⊙O的直径，点C,D依次在AB上，连接OC,OD,AD 若∠COD=2∠OAD,则图中与CD相等的弧是 13/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 8.(2026陕西西安·一模)如图，AB,CD为⊙O的直径，点E为AD的中点，连接DE,BC,若 ∠B=36°，则∠CDE的度数为 E A D B 9.(2026陕西榆林模拟预测)如图，AD是⊙0的直径，已知AD=6,AB=AC,∠AOB=120°，则 CD的长为. A B D 10.如图，△ABC是O0的内接三角形，AB=AC,点D是劣弧AB中点，连接OB,OD,其中OD交 AB于点E,若∠BOD=60°，OD=1,则AC的长为· 三、解答题 11.(25-26九年级上·上海静安·阶段检测)如图，已知在⊙0中，弦AC与弦BD相交于点G,连接OG, 若AB=CD,求证：OG平分∠AGD. 14116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G 12.(25-26九年级上新疆巴州期末)如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，且AD=BC.求证： D B I)∠AOC=∠BOD: (2)△ACD≌ABDC 13.(2026:上海徐汇·二模)如图，已知AB、CD为⊙0的两条弦，AB<CD,连接AO、B0并延长交弦 CD于点E、F,且CF=DE. I)求证：AB‖CD: (2)如果AC2=OA·AE,求证：AB=AC. 14.(2026河南洛阳三模)如图，AB是⊙0的直径，点C在O0上. B (I)请用无刻度的直尺和圆规过点B作OC的平行线，交⊙O于点D(不写作法，保留作图痕迹)： (②)在(I)所作图形中，连接CD,求证：AC=CD, 15.如图，△ABC中，∠C=90°，O是边AB上一点，以OB为半径作⊙0，分别与BC,AB交于D,E 两点，与AC相切于点F,连接EF,BF. 15116 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 1)求证：EF=FD: (2)试用等式表示线段BE,BD,CD之间的数量关系，并证明你的结论. 16116