专题 12波动传播的周期性和多解性问题 讲义-2026-2027学年高二物理暑期能量提升

高中物理 高二暑期能力提升 专题12 波动传播的周期性和多解性问题 【方法解读】 1.造成波动问题多解的三大因素 周期性 (1)时间周期性:时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 质点振动nT(n=1，2，3，…)时，波形不变。 (2)空间周期性:波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 在波的传播方向上， 当两质点平衡位置间的距离为nλ(n=1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同； 当两质点平衡位置间的距离为(2n+1)(n=0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。 双向性 (1)传播方向双向性:波的传播方向不确定。 (2)振动方向双向性:质点振动方向不确定。 波形的 隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。 例如，波上两恰好处于平衡位置的质点P、Q间只有一个波峰，可能有如下几种情况： 2.解决波的多解问题的一般思路 （1）首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论。 （2）对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。即： 若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…); 若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。 （3）应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。 【例1】）　(2025·湖南省名校大联考)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.1 s后，其波形曲线如图中虚线所示。 (1)若波向左传播，求它在0.1 s内传播的最小距离； (2)若波向右传播，求它的周期； (3)若波速是3.5 m/s，求波的传播方向。 【例2】(2025·山东日照模拟)如图所示为一列沿x轴方向传播的简谐横波，A为t＝0时刻的波形图，B为t＝0.12 s时的波形图。已知该简谐横波的周期大于0.1 s，下列说法正确的是(　　) A.该简谐横波沿x轴正方向传播 B.该简谐横波的周期可能为0.24 s C.该简谐横波的传播速度可能为 m/s D.t＝0.24 s时，在x＝3 m处的质点在最大位移处 　　　　　　　　　　　　　　　　 【针对性训练】 1. 有一列沿水平方向传播的简谐横波，在波的传播方向上有平衡位置相距4 m的A、B两质点，已知波的传播方向由B指向A，图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像。则这列波的波速可能为(　　) A. m/s B.12 m/s C.40 m/s D.60 m/s 2 (2025·天津市河西区三模)如图甲所示，一列简谐横波沿直线传播，P、Q为波传播路径上相距12 m的两个质点，P、Q两个质点的振动图像分别如图乙、丙所示，则下列说法正确的是(　　) A.该波一定从Q点向P点传播 B.t=0时刻，P、Q连线中点处的质点有可能处于平衡位置 C.t= s时，P、Q两质点的位移不相同 D.该波的波速可能为4 m/s 3 .(2025·甘肃白银市三模)丝带舞是艺术性很强的一种舞蹈，某次舞者抖动丝带形成的丝带波可简化为一向x轴正向传播的简谐横波，如图所示，实线和虚线分别为t1=0和t2=3 s时的波形图，下列说法正确的是(　　) A.x=1 m处的质点经过一个周期可能向右运动4 m B.在t=0.2 s时x=1 m处的质点可能加速度最大，方向沿y轴正方向 C.该丝带波的周期可能为 s(n=0，1，2…) D.该丝带波的传播速度可能为2 m/s 4. (2025·广东湛江市一模)一简谐横波在均匀介质中传播，波速为2 m/s，一个波峰和波谷之间的横向距离为2 m，纵向距离为5 m，则下列关于该波的说法正确的有(　　) A.周期可能为4 s B.频率可能为0.5 Hz C.可能与同一介质上振动方程为 y=5sin (5πt+) m的质点产生的波发生干涉 D.该波通过半径为4 m的孔隙时，一定不能发生衍射现象 5 (2025·河南省豫北名校高二期中)一列简谐横波沿x轴传播，t=0时波形如图所示，质点P的平衡位置位于x=7 m处。t=2 s时，质点P第一次到达波峰位置。下列判断正确的是(　　) A.若波沿着x轴正方向传播，周期为6 s B.若波沿着x轴正方向传播，波速为3 m/s C.若波沿着x轴负方向传播，周期为4 s D.若波沿着x轴负方向传播，波速为4 m/s 6　(2025·白城市实验高级中学高二期末)如图所示，a、b是一列简谐横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s=30 m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是(　　) A.该波的波速一定是6 m/s B.该波的周期一定是12 s C.该波的波长可能是40 m D.该波的波长可能为24 m 7　如图甲所示的浅层水波可视作简谐横波，如图乙所示A、B两点为沿波源向外的一条直线上相距d=0.15 m的两点，已知波源的振动周期为0.2 s，A点在振动的最高点，B点在平衡位置。则下列选项判断正确的是(　　) A.水波的波长最大为0.2 m B.若B点向上振动，则水波传播的最大速度为3 m/s C.若B点向下振动，则水波传播的最小速度为1 m/s D.质点B刚振动时，速度向右 8 如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6s时刻的波形图，已知波的周期T＞0.6s，下列说法正确的是（　　） A.该波的波速大小一定是10m/s B.该波的波速大小可能是m/s C.t＝2.7s时，Q点的位移一定是0 D.t＝5.1s时，Q点的位移大小可能是0.2m 9 .[2023海南]如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是（　　） A.该波的周期是5s B.该波的波速是3m/s C.4s时P质点向上振动 D.4s时Q质点向上振动 10 一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻的波形如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点.下列说法正确的是（　　） A.这列波的波速可能为50m/s B.质点a在这段时间内通过的路程一定小于30cm C.质点c在这段时间内通过的路程可能为60cm D.若周期T＝0.8s，则在t＋0.5s时刻，质点b、P的位移相同 11 一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt=t2-t1=0.5 s。 (1)这列波的周期可能是多大？ (2)这列波可能的波速表达式是怎样的？ (3)若波向x轴负方向传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？ (4)若波速v=68 m/s，则波向哪个方向传播？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理 高二暑期能力提升 专题12 波动传播的周期性和多解性问题 【方法解读】 1.造成波动问题多解的三大因素 周期性 (1)时间周期性:时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 质点振动nT(n=1，2，3，…)时，波形不变。 (2)空间周期性:波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 在波的传播方向上， 当两质点平衡位置间的距离为nλ(n=1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同； 当两质点平衡位置间的距离为(2n+1)(n=0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。 双向性 (1)传播方向双向性:波的传播方向不确定。 (2)振动方向双向性:质点振动方向不确定。 波形的 隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。 例如，波上两恰好处于平衡位置的质点P、Q间只有一个波峰，可能有如下几种情况： 2.解决波的多解问题的一般思路 （1）首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论。 （2）对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。即： 若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…); 若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。 （3）应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。 【例1】）　(2025·湖南省名校大联考)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.1 s后，其波形曲线如图中虚线所示。 (1)若波向左传播，求它在0.1 s内传播的最小距离； (2)若波向右传播，求它的周期； (3)若波速是3.5 m/s，求波的传播方向。 答案　(1)0.05 m　(2) s(n=0，1，2，3，…) (3)向右传播 解析　(1)由题图可知λ=20 cm。若波向左传播，传播距离最小为λ=5 cm=0.05 m (2)若波向右传播，传播距离Δx=nλ+λ 所用时间Δt=nT+T=0.1 s 解得T= s= s(n=0，1，2，3，…) (3)若波速是3.5 m/s，波在0.1 s内传播的距离Δx'=0.35 m。若波向右传播，传播距离满足Δx'=nλ+λ，此时n=1，所以波向右传播。 【例2】(2025·山东日照模拟)如图所示为一列沿x轴方向传播的简谐横波，A为t＝0时刻的波形图，B为t＝0.12 s时的波形图。已知该简谐横波的周期大于0.1 s，下列说法正确的是(　　) A.该简谐横波沿x轴正方向传播 B.该简谐横波的周期可能为0.24 s C.该简谐横波的传播速度可能为 m/s D.t＝0.24 s时，在x＝3 m处的质点在最大位移处 答案　CD 解析　由图像可知该简谐横波的波长为λ＝4 m。 当该简谐横波沿x轴正方向传播时有T＋nT＝0.12 s (n＝0，1，2，3，…)， 解得T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，因为该简谐横波的周期大于0.1 s， 所以n＝0时T＝0.16 s，符合题意，此时波速为v＝＝25 m/s; 当该简谐横波沿x轴负方向传播时有T＋nT＝0.12 s (n＝0，1，2，3，…)， 解得T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，因为该简谐横波的周期大于0.1 s， 所以n＝0时T＝0.48 s，符合题意，此时波速为v＝ m/s， 故A、B错误，C正确; 若该简谐横波沿x轴正方向传播，T＝0.16 s，则t＝0.24 s＝T＋，故在x＝3 m处的质点此时在最大位移处; 若该简谐横波沿x轴负方向传播，T＝0.48 s，则t＝0.24 s＝，故在x＝3 m处的质点此时在最大位移处，故D正确。 　　　　　　　　　　　　　　　　 【针对性训练】 1. 有一列沿水平方向传播的简谐横波，在波的传播方向上有平衡位置相距4 m的A、B两质点，已知波的传播方向由B指向A，图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像。则这列波的波速可能为(　　) A. m/s B.12 m/s C.40 m/s D.60 m/s 答案　AC 解析　根据题意可得λ＝xAB＝4 m(n＝0，1，2，3，…)，所以λ＝ m(n＝0，1，2，3，…)，波速v＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0时，有v＝40 m/s;当n＝1时，有v＝8 m/s;当n＝2时，有v＝ m/s，故A、C正确，B、D错误。 2 (2025·天津市河西区三模)如图甲所示，一列简谐横波沿直线传播，P、Q为波传播路径上相距12 m的两个质点，P、Q两个质点的振动图像分别如图乙、丙所示，则下列说法正确的是(　　) A.该波一定从Q点向P点传播 B.t=0时刻，P、Q连线中点处的质点有可能处于平衡位置 C.t= s时，P、Q两质点的位移不相同 D.该波的波速可能为4 m/s 答案　CD 解析　因波长未知，所以无法确定波的传播方向，故A错误；由题图乙可知，t=0时刻，质点P处于平衡位置，若P、Q连线中点处的质点处于平衡位置，则P、Q间的距离必等于波长的整数倍，而由题图丙可知，质点Q处于波峰，P、Q间的距离一定不等于波长的整数倍，所以P、Q连线中点处的质点不可能处于平衡位置，故B错误；由题图乙、丙可知，t= s时，质点P的位移为负，质点Q的位移为正，位移不相同，故C正确；该波的周期为T=4 s，若波由P点向Q点传播，则波长满足(n+)λ=12 m(n=0，1，2，…)，可得该波的波速为v== m/s(n=0，1，2，…)，波速的可能值为12 m/s， m/s， m/s，…，若波由Q点向P点传播，则波长满足(n+)λ=12 m(n=0，1，2，…)，可得该波的波速为v== m/s(n=0，1，2，…)，波速的可能值为4 m/s， m/s， m/s，…，故D正确。 3 .(2025·甘肃白银市三模)丝带舞是艺术性很强的一种舞蹈，某次舞者抖动丝带形成的丝带波可简化为一向x轴正向传播的简谐横波，如图所示，实线和虚线分别为t1=0和t2=3 s时的波形图，下列说法正确的是(　　) A.x=1 m处的质点经过一个周期可能向右运动4 m B.在t=0.2 s时x=1 m处的质点可能加速度最大，方向沿y轴正方向 C.该丝带波的周期可能为 s(n=0，1，2…) D.该丝带波的传播速度可能为2 m/s 答案　B 解析　简谐横波传播过程中，质点不随波的传播而迁移，A错误；由题可知，该丝带波沿x轴正方向传播，则t2-t1=(n+)T (n=0，1，2…)， 解得T= s (n=0，1，2…)， 当n=3时，周期T=0.8 s，t=0.2 s=T，则x=1 m处的质点刚好运动到波谷，加速度最大且沿y轴正方向，B正确，C错误； 由题图可知，波长λ=4 m，波速v== m/s(n=0，1，2…)，当波速v=2 m/s时，n=0.75，D错误。 4. (2025·广东湛江市一模)一简谐横波在均匀介质中传播，波速为2 m/s，一个波峰和波谷之间的横向距离为2 m，纵向距离为5 m，则下列关于该波的说法正确的有(　　) A.周期可能为4 s B.频率可能为0.5 Hz C.可能与同一介质上振动方程为 y=5sin (5πt+) m的质点产生的波发生干涉 D.该波通过半径为4 m的孔隙时，一定不能发生衍射现象 答案　BC 解析　由题意知一个波峰和波谷之间的横向距离为2 m， 则有2 m=+nλ (n=0，1，2，3…)，则周期T== s (n=0，1，2，3…)， 可知周期为4 s时n<0，不符合题意，故A错误； 频率f== Hz (n=0，1，2，3…)，可知n为0时频率为0.5 Hz，故B正确； 根据A选项可知当n为2时周期为T=0.4 s；根据振动方程，可知质点振动周期T'== s=0.4 s=T，故该波可能与同一介质上振动方程为y=5sin (5πt+) m的质点产生的波发生干涉，故C正确；衍射现象是波的特有现象，一切波都能发生衍射现象，故该波通过半径为4 m的孔隙时，一定能发生衍射现象，故D错误。 5 (2025·河南省豫北名校高二期中)一列简谐横波沿x轴传播，t=0时波形如图所示，质点P的平衡位置位于x=7 m处。t=2 s时，质点P第一次到达波峰位置。下列判断正确的是(　　) A.若波沿着x轴正方向传播，周期为6 s B.若波沿着x轴正方向传播，波速为3 m/s C.若波沿着x轴负方向传播，周期为4 s D.若波沿着x轴负方向传播，波速为4 m/s 答案　AD 解析　由波形图可知波长λ=12 m，设周期为T，若波沿着x轴正方向传播，质点P此时正沿y轴正方向运动，则有T+T=t=2 s，解得周期T=6 s，则波速为v==2 m/s，故A正确，B错误；若波沿着x轴负方向传播，质点P此时正沿y轴负方向运动，则有T+T=t=2 s，解得周期T=3 s，则波速为v==4 m/s，故C错误，D正确。 6　(2025·白城市实验高级中学高二期末)如图所示，a、b是一列简谐横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s=30 m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是(　　) A.该波的波速一定是6 m/s B.该波的周期一定是12 s C.该波的波长可能是40 m D.该波的波长可能为24 m 答案　AC 解析　该波经过5 s传播了30 m，则波速一定是v== m/s=6 m/s，选项A正确；由题图可知nλ+λ=30 m (n=0，1，2，3…)，可知波长λ= m(n=0，1，2，3…)，当n=0时λ=40 m，当λ=24 m时，n不是正整数，则选项C正确，D错误；周期T== m/s (n=0，1，2，3…)，则该波的周期不可能是12 s，选项B错误。 7　如图甲所示的浅层水波可视作简谐横波，如图乙所示A、B两点为沿波源向外的一条直线上相距d=0.15 m的两点，已知波源的振动周期为0.2 s，A点在振动的最高点，B点在平衡位置。则下列选项判断正确的是(　　) A.水波的波长最大为0.2 m B.若B点向上振动，则水波传播的最大速度为3 m/s C.若B点向下振动，则水波传播的最小速度为1 m/s D.质点B刚振动时，速度向右 答案　B 解析　当A、B两点平衡位置间的距离d=λ时，水波的波长最大，为λ=4d=0.6 m，故A错误；若B点在平衡位置向上振动，当水波传播方向由A向B时，有d=+nλ(n=0，1，2，3…)，得λ=(n=0，1，2，3…)，最大波长为0.6 m，最大波速为v==3 m/s；当水波传播方向由B向A时，有d=+nλ(n=0，1，2，3…)，得λ=(n=0，1，2，3…)，同理，最大波速为v=1 m/s，综上可得若B点向上振动，则水波传播的最大速度为3 m/s，故B正确；由上述分析可知，波长与波速可以无限趋近零，故C错误；质点B刚振动时，速度方向与AB直线垂直，故D错误。 8 如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6s时刻的波形图，已知波的周期T＞0.6s，下列说法正确的是（　　） A.该波的波速大小一定是10m/s B.该波的波速大小可能是m/s C.t＝2.7s时，Q点的位移一定是0 D.t＝5.1s时，Q点的位移大小可能是0.2m 答案 BC 解析　据题图可知，波长λ＝8m，如果波向左传播，则有（n＋）T＝0.6s（n＝0，1，2，…），只有当n＝0时，T1＝0.8s＞0.6s，此时波速为v1＝＝10m/s；如果波向右传播，则有（n＋）T＝0.6s（n＝0，1，2，…），只有当n＝0时，T2＝2.4s＞0.6s，此时波速为v2＝＝m/s，故A错误，B正确.如果波向左传播，则2.7s＝3T1，t＝2.7s时，Q点正好到达平衡位置，位移为零；如果波向右传播，则2.7s＝1T2，t＝2.7s时，Q点也正好到达平衡位置，位移为零，C正确.同理，t＝5.1s时，如果波向左传播，Q点正好到达平衡位置，位移为零；如果波向右传播，Q点也正好到达平衡位置，位移为零，故D错误. 9 .[2023海南]如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是（　C　） A.该波的周期是5s B.该波的波速是3m/s C.4s时P质点向上振动 D.4s时Q质点向上振动 答案 C 解析　由题图可知，该波的周期T＝4s，A错；由P、Q两个质点的振动图像可知，P、Q两个质点振动方向相反，则P、Q间距离为（n＋）λ＝6m（n＝0，1，2，…），则波速v＝＝m/s（n＝0，1，2，…），B错；由质点P的振动图像可知，4s时P质点向上振动，C对；由质点Q的振动图像可知，4s时Q质点向下振动，D错. 10 一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻的波形如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点.下列说法正确的是（　　） A.这列波的波速可能为50m/s B.质点a在这段时间内通过的路程一定小于30cm C.质点c在这段时间内通过的路程可能为60cm D.若周期T＝0.8s，则在t＋0.5s时刻，质点b、P的位移相同 答案 ACD 解析　由波形图可知波长λ＝40m，且0.6s＝nT＋T（n＝0，1，2，…），解得周期T＝s（n＝0，1，2，…）.当n＝0时，T＝0.8s，波速v＝＝50m/s，A正确.由波沿x轴正方向传播可知质点a在t时刻沿y轴正方向运动，当n＝0时，T＝0.8s，则质点a在这段时间内通过的路程小于30cm；当n＝1时，T＝s，质点a在这段时间内通过的路程大于30cm，B错误.若n＝1，则T＝s，波传播到c点所用时间为T，0.6s＝T，质点c振动的时间为T－T＝T，故在这段时间内质点c通过的路程为6A＝60cm，C正确.若T＝0.8s，在t＋0.5s时刻，质点b、P的位移均为负值，大小相等，D正确. 11 一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt=t2-t1=0.5 s。 (1)这列波的周期可能是多大？ (2)这列波可能的波速表达式是怎样的？ (3)若波向x轴负方向传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？ (4)若波速v=68 m/s，则波向哪个方向传播？ 解析　(1)由题图可知波长λ=8 m， 当波向x轴正方向传播时Δt1=nT1+ 则周期T1= s(n=0，1，2…) 当波向x轴负方向传播时Δt2=nT2+T2 T2= s(n=0，1，2…) (2)当波向x轴正方向传播时， 波速v1==4(4n+1) m/s(n=0，1，2…) 当波向x轴负方向传播时， 波速v2==4(4n+3) m/s(n=0，1，2…) (3)若波向x轴负方向传播，且3T<Δt<4T 则Δt=3T，解得周期T= s 波速为v==60 m/s (4)Δt内波传播的距离为 x=vΔt=68×0.5 m=34 m=4λ 故波向x轴正方向传播。 1 学科网（北京）股份有限公司 $