精品解析：青海省海东市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 3. 某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（ ） A. 恰有一名女生被选中 B. 被选中的学生的性别相同 C. 被选中的学生均是男生 D. 至少有一名女生被选中 4. 已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，是关于的方程的一个复数根，则（ ） A. 16 B. 14 C. 4 D. 6. 已知一组数据的平均数，方差，每个数据都乘3后，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 15，20 B. 15，18 C. 45，6 D. 45，18 7. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. 是纯虚数 D. 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. ， C. 不等式的解集为 D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为钝角三角形 D. 若的面积为3，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最小值为________． 13. 已知向量，满足，且，则________；在上的投影向量为________． 14. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商场随机选取100名顾客进行调查，发现他们在商场的单次消费金额都在50元至300元之间，进行适当分组后（分组区间为，，，，），画出的频率分布直方图如图所示． （1）求的值； （2）按比例采用分层随机抽样的方法从单次消费金额在内的顾客中选取30人参加商场举行的活动，分别求单次消费金额在，，内参加活动的顾客人数． 16. 在中，，，． （1）求； （2）过点A作的垂线，并与直线交于点D，求的面积． 17. 已知向量，，函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的值域； （3）若，求． 18. 设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检件产品，至多抽检次，当且仅当抽到件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为，各件产品是否为次品相互独立.记为停止抽检时抽检的产品件数. （1）当，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于的概率； （2）当时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p； （3）当时，记停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，证明：. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，且. （1）若平面，证明：. （2）设平面平面. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 2. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象的横坐标伸缩变换规律，原函数横坐标变为原来的（纵坐标不变）时，将原函数自变量替换为即可得到变换后的解析式. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到, 3. 某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（ ） A. 恰有一名女生被选中 B. 被选中的学生的性别相同 C. 被选中的学生均是男生 D. 至少有一名女生被选中 【答案】C 【解析】 【详解】从两名男生和两名女生中，任选两人参加演讲比赛，按性别情况可以分三类， 分别是：①两名男生②两名女生③一名男生一名女生， 事件“恰有一名男生被选中”对应③，即一名男生一名女生； 对于A，“恰有一名女生被选中”对应③，与目标事件③相同，可同时发生， 不是互斥事件，故A错误； 对于B，“被选中的学生的性别相同”对应①和②，与目标事件③不能同时发生， 是互斥事件，但目标事件不发生，该事件一定发生，是对立事件，故B错误； 对于C，“被选中的学生均是男生”对应①，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件， 但存在②，使得两个事件可同时不发生，故不是对立事件， 所以目标事件与该事件是互斥但不对立事件，故C正确； 对于D，“至少有一名女生被选中”对应②和③，与目标事件可同时发生， 不是互斥事件，故D错误. 4. 已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义可知必要性成立，举出反例可得充分性不成立，得到答案 【详解】“”，则“与内所有直线垂直”，故“与内无数条直线垂直”，必要性成立， 若“与内无数条直线垂直”，但这些直线均平行，则无法得到“”，充分性不成立， 故“与内无数条直线垂直”是“”的必要不充分条件. 5. 已知，，是关于的方程的一个复数根，则（ ） A. 16 B. 14 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实系数方程的共轭复根定理，结合韦达定理求解即可. 【详解】若是方程的一个复数根，则它的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理得，， 所以，， 所以. 6. 已知一组数据的平均数，方差，每个数据都乘3后，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 15，20 B. 15，18 C. 45，6 D. 45，18 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数与方差的性质计算的结果. 【详解】新数据的平均数为，方差为． 7. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以， 又，所以. 因为，，所以，所以. 所以. 8. 若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得， 所以， 故，两点间距离的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. 是纯虚数 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，， 所以=， 在复平面对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，故C正确； 对于D，因为，，所以， ，所以，故D正确. 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. ， C. 不等式的解集为 D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】由题知，令，则， 所以， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以当时，，A正确； 当时，， 当时，， 因为是定义在上的偶函数， 所以，，B错； 当时，令，解得， 又因为是定义在上的偶函数， 所以，的解集为，C正确； 由上述可知，，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为是定义在上的偶函数， 所以要使有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 即与两函数有两个交点， 则需满足或，D错. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为钝角三角形 D. 若的面积为3，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，然后根据三角函数的性质及基本不等式可得，可判断AB；利用余弦定理可得为最大边，求判断C；利用三角形面积公式判断D. 【详解】由于， 由正余弦定理可知， 整理得，， 由于， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，所以，AB正确； 由于，， 根据余弦定理，，得， 为最大边，，则， 所以为锐角三角形，C错误； 若的面积为3，即， 所以，则，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 13. 已知向量，满足，且，则________；在上的投影向量为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以. 又，所以， 解得，在上的投影向量为. 因此，在上的投影向量为. 14. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合复合函数单调性与定义域分情况建立不等式求解可得. 【详解】设，. 由函数 在上单调递减， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 当时，函数在上单调递减， ，符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上所述，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商场随机选取100名顾客进行调查，发现他们在商场的单次消费金额都在50元至300元之间，进行适当分组后（分组区间为，，，，），画出的频率分布直方图如图所示． （1）求的值； （2）按比例采用分层随机抽样的方法从单次消费金额在内的顾客中选取30人参加商场举行的活动，分别求单次消费金额在，，内参加活动的顾客人数． 【答案】（1） （2）在，，内参加活动的顾客人数依次为10人，12人，8人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图性质求解即可. （2）根据分层随机抽样的方法求解即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图性质可知， 解得． 【小问2详解】 单次消费金额在内的顾客频率为， 在内的顾客频率为， 在内的顾客频率为， 则单次消费金额在内参加活动的顾客人数为， 在内参加活动的顾客人数为， 在内参加活动的顾客人数为． 16. 在中，，，． （1）求； （2）过点A作的垂线，并与直线交于点D，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）由同角的平方关系和商数关系可求得，进而求得，可求的面积． 【小问1详解】 因为，，， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以，则． 又，所以，则， 则的面积为． 17. 已知向量，，函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的值域； （3）若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，，所以 ，则的最小正周期． 【小问2详解】 由，可得，则， 从而在上的值域为． 【小问3详解】 由，可得， 则. 18. 设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检件产品，至多抽检次，当且仅当抽到件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为，各件产品是否为次品相互独立.记为停止抽检时抽检的产品件数. （1）当，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于的概率； （2）当时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p； （3）当时，记停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，证明：. 【答案】（1） （2） （3）当时，说明前次均未抽到次品，则， 说明前次均未抽到次品，则， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）根据的取值情况，分别计算的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解； （2）可根据的含义列出关于的方程，进而求解； （3）分别分析和，再根据独立事件概率乘法公式进行证明. 【小问1详解】 由题意可知， ， . 【小问2详解】 依题意得. 即，解得或（舍去），所以. 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，且. （1）若平面，证明：. （2）设平面平面. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）因为底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 因为平面，平面，平面平面，所以. 所以平面，因为平面，所以. （2）（ⅰ）证明：如图1，过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先证线面垂直，再利用线面垂直的定义证明线线垂直. （2）（ⅰ）根据面面垂直的性质定理证明线面垂直，进而证明平面，再根据线面垂直的定义得到线线垂直. （ⅱ）构造二面角的平面角，结合三角形的边角关系求二面角的正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面，平面，所以，因为，所以平面， 因为平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（ⅰ）知，所以，设（）， 则，所以. ，，， 则. 又，所以随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 所以二面角的正弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $