精品解析：青海海东市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数则（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 5. 如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 以下对函数的图象的变换中，可以得到函数的图象的是（ ） A. 先将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 B. 先将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 C. 先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D. 先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 7. 已知点在点的正西方向，为了测量 两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件不相互独立 D. 事件与事件互斥 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的坐标为 11. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 设平面，则 B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则的虚部为______． 13. 已知角的终边经过点，则______． 14. 已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲袋中装有两个红球和一个黄球，乙袋中装有一个红球和两个黄球，这些球除颜色外完全相同． （1）从这两个袋中各随机地取出一个球，求取出的球颜色相同的概率； （2）将甲袋中的球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出两个球，求取出的球颜色相同的概率． 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）若函数，求的值． 17. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，. （1）证明：. （2）证明：平面. （3）证明：⊥平面CDE. 18. 为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的学生比在内的学生少10人． （1）求，的值； （2）求样本学生运动时长的中位数； （3）若在，内的样本学生运动时长的平均数分别为10和14，方差分别为5和1，求在内的样本学生运动时长的方差． 19. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以． 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则． 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积． 4. 已知函数则（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，所以. 5. 如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法结合平面向量的线性表示计算求解. 【详解】在中， E是的中点， 则. 故选：D. 6. 以下对函数的图象的变换中，可以得到函数的图象的是（ ） A. 先将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 B. 先将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 C. 先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D. 先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，得到函数的图象； 对于选项B，得到函数的图象； 对于选项C，得到函数的图象； 对于选项D，得到函数的图象． C选项正确. 7. 已知点在点的正西方向，为了测量 两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解. 【详解】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 8. 掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件不相互独立 D. 事件与事件互斥 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出事件A，事件B，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可. 【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则， 对于， 而， 显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误； 对于B，易得，故， 因为，所以， 而，则，则， 即事件与事件不相互独立，故B错误； 对于C，，而，则， 因为，所以，而 ， 所以事件A与事件不相互独立，故C正确； 对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：因为，由的单调性可得，故A正确． 对于B：因为，所以，所以，故B不正确． 对于C：因为，所以，，所以，故C正确． 对于D：因为，所以，所以，D不正确． 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助向量数量积的坐标形式、模长公式及投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：由，故与的夹角为锐角，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 设平面，则 B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面的结论判断A的真假；利用棱锥的体积公式判断B的真假；分别求内切球和外接球半径，判断C的真假；利用B选项的结论，可以判断D的真假. 【详解】对A：取为空间向量的基底. 则. 设. 因为四点共面，所以. 所以，即，故A正确； 对B：如图： 连接，交于，连接. 因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面. 又分别为中点，为中点，所以， 所以，同理， 所以，即，故B正确； 对C：若，不妨设，,则，. 所以. 又， 设内切球的半径为，则， 即. 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则. 所以.故C错误； 对D：由B选项可知：， 且,所以， 又，所以， 所以. 所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则的虚部为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，虚部为． 13. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为角的终边经过点，所以， 则． 14. 已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用对数函数的单调性列不等式求解. 【详解】由题可知，是上的增函数，则不等式等价于，即， 函数在上单调递增，且， 所以不等式的解集为， 从而不等式的解集为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲袋中装有两个红球和一个黄球，乙袋中装有一个红球和两个黄球，这些球除颜色外完全相同． （1）从这两个袋中各随机地取出一个球，求取出的球颜色相同的概率； （2）将甲袋中的球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出两个球，求取出的球颜色相同的概率． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）先求出这两个袋中各随机取出一个球的样本空间，再求出取出的球颜色相同的样本点，由古典概率即可得出答案. （2）先求出将甲袋中的球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出两个球的样本空间，再求取出的球颜色相同的样本点，由古典概率即可得出答案. 【小问1详解】 记甲袋中的红球为，黄球为，乙袋中的红球为，黄球为． 从这两个袋中各随机地取出一个球，样本空间，共有9个样本点． 记事件“取出的球颜色相同”，则，共有4个样本点， 故，即取出的球颜色相同的概率为． 【小问2详解】 将甲袋中的球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出两个球，样本空间，，，共有15个样本点． 记事件“取出的球颜色相同”，则 ，共有6个样本点， 故，即取出的球颜色相同的概率为． 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）若函数，求的值． 【答案】（1）是偶函数， 证明如下：由，可得， 则的定义域为，关于原点对称． ， 所以是偶函数． （2）2 【解析】 【分析】（1）由奇偶函数的定义证明即可. （2）令函数，先求出是奇函数，则，即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令函数，则， 由（1）可知是偶函数， 因为 所以是奇函数，从而， ． 17. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，. （1）证明：. （2）证明：平面. （3）证明：⊥平面CDE. 【答案】（1）证明：因为△ABC为正三角形，D为AB的中点， 所以，因为平面ABC，平面ABC， 所以.因为平面平面， ，所以平面. 因为平面，所以. （2）证明：连接，设与交于点F，则F为的中点. 连接DF.因为D为AB的中点，所以DF为的中位线，则. 又平面平面，所以平面. （3）证明：易得，则， 所以. 由（1）可知CD平面，所以. 因为平面CDE，平面CDE，，所以平面CDE. 【解析】 【分析】（1）根据正三角形的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可； （2）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理 （3）根据勾股定理逆定理，结合（1）中结论、线面垂直的性质和判定定理进行证明即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 18. 为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的学生比在内的学生少10人． （1）求，的值； （2）求样本学生运动时长的中位数； （3）若在，内的样本学生运动时长的平均数分别为10和14，方差分别为5和1，求在内的样本学生运动时长的方差． 【答案】（1）， （2）11.2 （3）7.25 【解析】 【分析】（1）分别算出已知组别的频率，利用频率之和为1算出未知组别的频率，再用频率除以组距算，用分别表示出运动时长在内的学生人数和在内的学生人数，结合已知条件算； （2）明确中位数所以组别，列方程求解中位数即可； （3）先计算出在内的样本学生运动时长的平均数，再利用相关公式计算方差即可. 【小问1详解】 运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：， 由频率之和为1知，运动时长在内的频率为：， 故， 运动时长在内的学生人数为：，运动时长在内的学生人数为：， 依题意，，解得. 综上，，. 【小问2详解】 前两组和的频率之和为，前三组，，的频率之和为， 故样本学生运动时长的中位数出现在第三组，设为， 则，解得. 综上，样本学生运动时长的中位数为11.2. 【小问3详解】 在内的样本数为，在内的样本数为， 所以在内的样本学生运动时长的平均数为， 根据公式，在内的样本学生运动时长的方差为： . 19. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，结合所给条件可得，即可由面积公式求解， （2）根据锐角三角形，结合余弦定理可得且，进而利用余弦定理以及对勾函数的性质求解， （3）根据三角形面积公式以及余弦定理可得，进一步得，即可结合角的范围求解. 【小问1详解】 ，则， 结合，故， 又，,故, 故面积为； 【小问2详解】 由于是锐角三角形，故，结合且， ， 由于对勾函数在单调递减，在单调递增， 或 ，当且仅当时取等号， 故当时，， 故，因此， 由于，故 【小问3详解】 由于，其中为三角形的面积， 同理可得， 因此， 由于，故, 由于，所以， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $