精品解析： 辽宁省鞍山市铁东区华育外国语实验学校2022-2023学年九年级上学期期初数学试卷

2022-2023学年辽宁省鞍山市铁东区华育外国语实验学校 九年级（上）期初数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 下列各式中，无意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形中，与相邻的两外角平分线交于点若则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④；其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在矩形ABCD中，，，点E是边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径运动，则的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对称轴上时，则的长为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（共8小题） 9. 会计小李用分析某部门5月份员工工资的方差，那么该部门5月份的工资总支出为____元． 10. 已知点A(﹣2，y1)，B(1，y2)在直线y＝kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，则y1_____y2．（用“＞”，“＜”或“＝”连接） 11. 如果,则 _________. 12. 如图，在中，，，，则______． 13. 如图，在矩形中，F是中点，E是上一点，且，，，则矩形的面积为 _________． 14. 如图，点E在边长为5的正方形边上，交的延长线于F，连接，过点A作的垂线，与分别交于点H、G．若，则的长为 ____． 15. 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是____________． 16. 如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第1次操作，折痕到的距离记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第2次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去…，经过第2022次操作后得到的折痕，到的距离记为；若，则的值为______． 三．解答题（共10小题） 17. 化简求值：，其中x从0、2、中任意取一个数求值． 18. 四边形是菱形，对角线相交于点O，且，求菱形的面积． 19. 如图，中，是的平分线，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据． （1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数； （2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数； （3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？ 21. 因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图． （1）求出a的值； （2）求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式； （3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？ 22. 已知：如图，点M在锐角的内部． （1）在边上求作一点P，在边上求作一点Q，使得的周长最小．（要求尺规作图，不写作法保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的周长最小值． 23. 如图：在直角中，，点D在边上，连接． （1）如图1，若是的角平分线，且，探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，于点F，交于点G，点E在的延长线上且．连接， 求证：． 24. 冰墩墩、雪容融分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元． （1）求两种玩偶的进货价分别是多少？ （2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 25. 解答： （1）问题情境：如图1，已知正方形，点E在的延长线上，以为边构造正方形，连接和，则和的关系为_____． （2）继续探究：如图2所示，已知正方形，点E是线段上的一点，以为边在的右侧作正方形，连接、．问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：若正方形的边长为3，点E是直线上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、、，若，画出图形，并直接写出长． 26. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． （1）求正方形ABCD的面积； （2）求点C和点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年辽宁省鞍山市铁东区华育外国语实验学校 九年级（上）期初数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 下列各式中，无意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数判断即可． 【详解】解：A．原式，故该选项不符合题意； B．原式，故该选项不符合题意； C．原式，是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意； D．原式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念，“对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一的y值与之对应”，用平行于轴的直线去截图象，对四个图象逐一分析，即可判断． 【详解】解：用平行于轴的直线去截图象，如果能截到两个及以上交点，则不是函数，否则就是函数， A、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故A不符合题意； B、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故B不符合题意； C、用平行于轴的直线去截，能截到两个交点，它不能表示是的函数，故C符合题意； D、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故D不符合题意． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据提公因式法，提取公因式后整理即可． 【详解】解：A、，故A正确； B、，不是因式分解，故B错误； C、，故C错误； D、，不是因式分解，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，提公因式法分解因式，解题的关键是掌握因式分解的定义进行判断． 4. 如图，四边形中，与相邻的两外角平分线交于点若则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用四边形的内角和等于，可求的度数，再利用角平分线的性质可求的度数． 【详解】解：，， ， 、相邻的两外角平分线交于点， ， 故选：． 【点睛】本题运用四边形的内角和和角平分线的性质，关键是求出的度数． 5. 如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先证明△BDF≌△ADC，得到BF=AC=，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和是△ABC的高线， ∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°， ∴∠DBF=∠CAD， ∵， ∴∠BAD=45°， ∴BD=AD， ∴△BDF≌△ADC（SAS）， ∴BF=AC=， 在Rt△BDF中，DF=． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识，证明△BDF≌△ADC是解题关键． 6. 如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④；其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④. 【详解】解：∵在菱形ABCD中，AB=AC=1， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠CAE=60°， 又∵AE=BF， ∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确； ∴∠BAF=∠ACE， ∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确； ∵∠B=∠CAE=60°， 则在△ADO和△ACH中， ∠OAD=60°=∠CAB， ∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO， ∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误； ∵AB=AC=1，过点A作AG⊥BC，垂足为G， ∴∠BAG=30°，BG=， ∴AG==, ∴菱形ABCD的面积为：==，故④错误； 故正确的结论有2个， 故选B. 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等. 7. 如图，在矩形ABCD中，，，点E是边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径运动，则的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据点的位置分三段讨论：①点在上；②点在上；③点在上，分别求出与的函数关系式，结合图象即可判断． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， ∵点是边上靠近点的三等分点， ∴，， ①当点在上时，即时， ∴ ， 此时图象为过原点的线段，当时，； ② 当点在上时，即时， ，，  ∴    ， 当时，； ③当点在上时，即时， ，  ∴， 当时，； 综上所述，图象分为三段， 第一段， 第二段， 第三段， 且时，时， 观察选项，只有A符合． 8. 如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对称轴上时，则的长为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】矩形有两条对称轴，因此分两种情况讨论；利用折叠性质得到，，再借助勾股定理列方程求出的长度． 【详解】解：设，由折叠性质得：，． 矩形的对称轴分为两种情况： 情况一：落在竖直对称轴上，过点作于，交于，如图，平分、， ， 此时， 在中： ， ， 又， 在中，由勾股定理：， ， 解得：． 情况二：落在水平对称轴上，过点作于，交于，如图，平分、， ， 此时． 在中：， ， 在中：， ， 解得：． 综上：或． 二、填空题（共8小题） 9. 会计小李用分析某部门5月份员工工资的方差，那么该部门5月份的工资总支出为____元． 【答案】45000 【解析】 【分析】根据方差的公式可以得到平均数，数据的个数，即可求解． 【详解】解：由于这组数据的方差是：， 故平均数是4500，共有10个数据． 该部门5月份的工资总支出为（元． 故答案为：45000． 【点睛】本题考查方差的定义与意义，解题的关键是掌握：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 10. 已知点A(﹣2，y1)，B(1，y2)在直线y＝kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，则y1_____y2．（用“＞”，“＜”或“＝”连接） 【答案】＞ 【解析】 【分析】由已知可得k＜0，则直线y＝kx+b随着x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴k＜0， ∴直线y＝kx+b随着x的增大而减小， ∵﹣2＜1， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键． 11. 如果,则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据非负数的性质得出a和b的值，然后代入所求的代数式得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：， ∴． 12. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角所对的直角边是斜边的一半，可得，结合已知条件，联立上述数量关系，求解得到和的长度，再利用勾股定理即可计算的长度． 【详解】∵在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，  根据勾股定理， ∴． 13. 如图，在矩形中，F是中点，E是上一点，且，，，则矩形的面积为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，再根据直角三角形两锐角互余求出，判断出是等边三角形，过点E作于G，根据等边三角形的性质求出，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵F是中点，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 过点E作于点G， 则， ∴矩形的面积． 故答案为：． 14. 如图，点E在边长为5的正方形边上，交的延长线于F，连接，过点A作的垂线，与分别交于点H、G．若，则的长为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，首先证明出，得到，然后得到垂直平分，，，则，，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴中，， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 15. 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，求出三角形的面积是解题的关键．阴影部分是三个直角三角形，三个直角三角形的面积相加即是阴影部分的面积． 【详解】解：如图，轴于D，轴于E，轴于H，于F，直线交轴于点G，则 把代入，得 ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第1次操作，折痕到的距离记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第2次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去…，经过第2022次操作后得到的折痕，到的距离记为；若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据折叠性质和中点关系，求出三角形顶点到的总高度，再依次写出、、，归纳出距离的通项公式，最后代入求解． 【详解】解：连接， 是中点，由折叠可知：， ． 根据直角三角形判定，可得，即． 又根据折叠性质有， 所以，到距离， 设到的距离为，由中位线性质：， 顶点到的总距离：． 第1次操作：； 第2次操作，为中点，同理新折痕到的距离为， ； 第3次操作：； 归纳规律：第次操作后：， 代入：． 三．解答题（共10小题） 17. 化简求值：，其中x从0、2、中任意取一个数求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】先计算括号里的运算，再利用平方差公式和完全平方公式进行化简，根据分式有意义的条件求出的范围，再从0、2、中任意取一个数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 、， 且， 取，原式． 18. 四边形是菱形，对角线相交于点O，且，求菱形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，，，然后利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得，即，再根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，中，是的平分线，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：在上截取，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 、， 、， ， ， ， 是的外角， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，利用角平分线的性质证明，进而得到，利用三角形外角的性质得到，从而得出结论； （2）结合（1）中的结论易求出的度数，利用角平分线的性质求出的度数，过点D作于点F，易证明是等腰直角三角形，结合勾股定理求出长，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出长，最后利用求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， 是的平分线， ， 过点D作于点F， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 在中，， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 、， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 20. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据． （1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数； （2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数； （3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？ 【答案】（1）丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5；（2）420人；（3）3人． 【解析】 【分析】（1）设阅读5册书的人数为，由统计中的信息列式计算即可； （2）该校1200名学生数课外阅读5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论； （3）设补查了人，根据题意列不等式即可得到结论． 【详解】（1）设阅读5册书的人数为，由统计图可知：， ， 条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5； （2）该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为（人）， 答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人； （3）设补查了人， 根据题意得，， ， 最多补查了3人． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图． （1）求出a的值； （2）求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式； （3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？ 【答案】（1）1.5 （2）s=100t-150 （3）1.2h 【解析】 【分析】（1）根据货车行驶的路程和速度求出a的值； （2）将（a，0）和（3，150）代入s=kt+b中，待定系数法解出k和b的值即可； （3）求出汽车和货车到达乙地的时间，作差即可求得答案． 【小问1详解】 由图中可知，货车a小时走了90km， ∴a=； 【小问2详解】 设轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s=kt+b， 将（1.5，0）和（3，150）代入得， ， 解得，， ∴轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s=100t-150； 【小问3详解】 将s=330代入s=100t-150， 解得t=4.8， 两车相遇后，货车还需继续行驶：(h)， 到达乙地一共：3+3=6（h）， 6-4.8=1.2(h)， ∴轿车比货车早1.2h时间到达乙地． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用待定系数法求函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键． 22. 已知：如图，点M在锐角的内部． （1）在边上求作一点P，在边上求作一点Q，使得的周长最小．（要求尺规作图，不写作法保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的周长最小值． 【答案】（1）点、点即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最短路径问题、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点M作、的垂线，再以点为圆心、长为半径画弧交的垂线于点D，同理作出点M关于的对称点C，连接，交于点P，交于点Q，连接、，此时的周长最小； （2）根据轴对称的性质可知的周长最小值为长，是等腰三角形，且，过点O作于点E，在中，利用求出长，利用求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接、、， 由（1）知，点M与点C关于对称， 、、， 点M与点D关于对称， 、、， 的周长为， 即的周长最小值为长， ， ， ， ， 过点O作于点E， 在中，， ， 的周长最小值为． 23. 如图：在直角中，，点D在边上，连接． （1）如图1，若是的角平分线，且，探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，于点F，交于点G，点E在的延长线上且．连接， 求证：． 【答案】（1）解：， 设，  ， ，  平分， ， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， 在中，， 设，则， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中：   ∴ ， ∴ ，, ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， 又∵   ∴， ∴， 在和中：   ∴ ， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）由，根据等边对等角得，结合是角平分线，可推出，结合直角三角形的性质可求出各个角的度数，再根据勾股定理求出边长即可； （2）过作交的延长线于，先证得 ，结合等腰直角三角形的性质得到，进而得到，再证得 ，得到，再进行等量代换即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 24. 冰墩墩、雪容融分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元． （1）求两种玩偶的进货价分别是多少？ （2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）冰墩墩玩偶进货价为72元/个，雪容融玩偶进货价为64元/个 （2）购进冰墩墩24个、雪容融16个时可获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设冰墩墩进货价为元/个，雪容融进货价为元/个，根据单个进货总价和15个冰墩墩加5个雪容融的总进货费用列二元一次方程组，解出即可； （2）设购进冰墩墩个，总利润为元， 根据“冰墩墩进货数量不得超过雪容融的1.5倍”列不等式，再结合单个利润写出利润关于自变量的一次函数表达式，进而求解即可． 【小问1详解】 设冰墩墩进货价为元/个，雪容融进货价为元/个， 根据题意列二元一次方程组：  解得： 答：冰墩墩玩偶进货价为72元/个，雪容融玩偶进货价为64元/个； 【小问2详解】 设购进冰墩墩个，总利润为元，则购进雪容融个， ∴  解得：，为非负整数， 总利润 ， ，随的增大而增大， ∴当取最大值24时，有最大值， 此时：雪容融数量为个，最大利润元； 答：购进冰墩墩24个、雪容融16个时可获得最大利润，最大利润为元． 25. 解答： （1）问题情境：如图1，已知正方形，点E在的延长线上，以为边构造正方形，连接和，则和的关系为_____． （2）继续探究：如图2所示，已知正方形，点E是线段上的一点，以为边在的右侧作正方形，连接、．问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：若正方形的边长为3，点E是直线上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、、，若，画出图形，并直接写出长． 【答案】（1）， （2）成立， 证明：延长交的延长线于点O，交于点H， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点E在线段上，如图， ； 当点E在延长线上，如图， ． 【解析】 【分析】（1）证明得，，再求出，进而可得； （2）延长交的延长线于点O，交于点H，证明得，，再证明，可证； （3）分点E在线段上和点E在延长线上两种情况，作，交的延长线于点H，连接，证明得，，然后根据勾股定理求解即可； 【小问1详解】 解：如图，延长交于点K， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当点E在线段上，如图， 作，交的延长线于点H，连接， ∴． ∵， ∴． ∵正方形的边长为3，正方形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中 ； 当点E在延长线上，如图， 同理 ∴，，， ∴， 在中 ； 26. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． （1）求正方形ABCD的面积； （2）求点C和点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2）C(-1，3)，D(-3，2) （3） 如图，找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则此时周长最小． ∵B(0，1)， ∴(0，-1) 设直线的解析式为， 把与坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 对于，令，得到， ∴M(-1，0)． 【解析】 【分析】（1）由一次函数，可求出A和B点坐标，即得出OA和OB的长，再根据勾股定理求出AB的长，最后由正方形面积公式计算即可； （2）作轴，轴．根据正方形的性质结合所作辅助线易证，即得出，，从而可求出，，即得出C、D两点坐标； （3）找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，根据轴对称的性质可知此时周长最小．由B(0，1)，得出(0，-1)，利用待定系数法可求出直线的解析式为，从而可求出M点坐标． 【小问1详解】 对于直线，令，得到；令，得到， ∴A(-2，0)，B(0，1)， ∴在中，，， ∴根据勾股定理得：， ∴正方形面积为5； 【小问2详解】 如图，作轴，轴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴C(-1，3)，D(-3，2)； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用以及轴对称变换等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $