第14讲几何图形（知识点+题型精讲+过关检测）2026-2027学年人教版七年级数学上册暑假预习讲义

第14讲几何图形 目录 知识点1 平面图形与立体图形 2 知识点2 几何体分类标准 3 知识点3 点、棱、面、体的关系 3 知识点4 三视图基础 3 知识点5 常见几何体展开图 4 知识点6 正方体展开图核心规律 4 知识点7 几何体表面积与体积公式 5 知识点8 旋转与截面规律 5 知识点9 七巧板基础 6 题型1 常见的几何体 6 题型2 立体图形的分类 7 题型3 几何体中的点、棱、面 9 题型4 从不同方向看几何体 10 题型5 几何体展开图的认识 13 题型6 由展开图计算几何体的表面积 15 题型7 由展开图计算几何体的体积 17 题型8 正方体几种展开图的识别 19 题型9 正方体相对两面上的字 21 题型10 含图案的正方体展开图 23 题型11 求展开图上两点折叠后的距离 26 题型12 补一个面使图形围成正方体 28 题型13 平面图形形状的识别 30 题型14 用七巧板拼图形 32 题型15 平面图形旋转后所得的立体图形 35 题型16 截一个几何体 37 1. 知识目标：区分平面图形与立体图形，掌握常见几何体的特征、分类及点、棱、面的基本关系；熟练掌握几何体三视图、展开图、截面、旋转体、七巧板等核心基础知识点。 2. 能力目标：能精准识别各类几何体、判断立体图形三视图；熟练掌握正方体11种展开图规律、相对面判定方法；会利用展开图计算几何体表面积与体积，掌握折叠距离、补面、图案匹配、旋转成像、截面判断等全题型解题方法。 3. 素养目标：建立空间几何思维，提升图形观察、空间折叠、数形转化与逻辑推理能力，夯实初中几何入门基础。 知识点1 平面图形与立体图形 1. 平面图形：所有部分在同一平面内，只有长、宽，无厚度。常见：线段、三角形、长方形、正方形、圆、平行四边形等。 2. 立体图形：各部分不都在同一平面内，占有空间，有长宽高。常见：正方体、长方体、棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球。 知识点2 几何体分类标准 1. 按形态分：柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体； 2. 按面的特征分：全平面几何体（正方体、长方体、棱柱）、含曲面几何体（圆柱、圆锥、球）。 正方体 长方体 直棱柱（棱柱 ） 斜棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 球 知识点3 点、棱、面、体的关系 1. 几何构成：图形由点、线、面组成；线与线相交成点，面与面相交成线； 2. 动态规律：点动成线，线动成面，面动成体； 3. n棱柱固定公式：n个侧面+2个底面（共n+2个面）、3n条棱、2n个顶点。 知识点4 三视图基础 1. 主视图：从正面观察几何体得到的平面图形； 2. 左视图：从左面观察几何体得到的平面图形； 3. 俯视图：从上面观察几何体得到的平面图形； 4. 绘图规则：可见轮廓画实线，不可见轮廓画虚线。 知识点5 常见几何体展开图 1. 正方体/长方体：全正方形、长方形组合； 2. 圆柱：1个长方形侧面+2个圆形底面； 3. 圆锥：1个扇形侧面+1个圆形底面； 4. 棱柱：多个长方形侧面+2个全等多边形底面。 圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面） 圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） 棱柱的表面展开图是两个完全相同多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）。下图为三棱柱的表面展开图。 知识点6 正方体展开图核心规律 1. 合法11种类型：一四一型、一三二型、二二二型、三三型； 2. 禁止类型：含“田字形、凹字形、长条形五连方”均无法折叠成正方体； 3. 相对面判定：同行隔一个、异行隔一列、Z字两端为相对面，相对面永不相邻。 可围成正方体的平面展开图有以下11种。 一类：1、4、1型 二类：2、3、1型 三类：2、2、2型 四类：3、3型 不可围成的图形有：（出现“田”，“凹”形也不行） 知识点7 几何体表面积与体积公式 1. 正方体（棱长a）：表面积，体积； 2. 长方体（长a、宽b、高h）：表面积，体积； 3. 圆柱（半径r、高h）：表面积，体积； 4. 圆锥（半径r、高h）：体积。 知识点8 旋转与截面规律 1. 旋转成体：长方形绕边旋转成圆柱、直角三角形绕直角边旋转成圆锥、半圆绕直径旋转成球； 2. 截面：平面截几何体得到的平面图形，截面形状由几何体类型、截取角度与位置决定。 知识点9 七巧板基础 由7块平面图形组成：5个等腰直角三角形、1个正方形、1个平行四边形，可拼接各类规则与创意平面图形。 题型1 常见的几何体 解题技巧：1. 熟记六大基础几何体：正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球；2. 快速区分特征：全平面几何体有棱有顶点，曲面几何体无棱无直边；3. 结合生活实物匹配几何体，规避概念混淆；4. 明确特殊几何体：球只有曲面、无棱无顶点，圆锥仅有一个底面。 【典例1】．下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【答案】A 【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A选项符合． 【变式1】．下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的物体形状上下粗细不一样，不能抽象为圆柱； 选项B的物体形状可以抽象为球体； 选项C的物体形状可以抽象为圆锥； 选项D的物体形状可以抽象为圆柱． 【变式2】．如图所示，图形的名称是________． 【答案】五棱柱 【分析】本题主要考查立体图形的名称，关键是要牢记五棱柱的形状．根据五棱柱的形状即可得出答案． 【详解】解：∵该立体图形上面和底面都是五边形，且有五条棱， ∴它的名称是五棱柱， 故答案为：五棱柱． 【变式3】．如图所示的几何体，这个几何体的名称是______． 【答案】三棱柱 【分析】本题考查了学生对几何体的认识情况，在解答这个题目时，首先是要仔细观察几何体，找出几何体的组成情况，观察几何体，有2个底面，3个侧面，经过每个顶点有3条棱，每个底面各有3个顶点，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 题型2 立体图形的分类 解题技巧（双标准分类法）：1. 按形态分类：柱体（上下等粗）、锥体（上尖下宽）、球体；2. 按面分类：全平面立体图形、含曲面立体图形；3. 严格按照题干指定标准分类，不混用分类逻辑；4. 排除平面图形，只针对占有空间的立体图形归类。 【典例2】．下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．几何体是圆锥，故此选项不符合题意； B． 几何体是三棱锥，故此选项符合题意； C． 几何体是三棱柱，故此选项不符合题意； D． 几何体是圆柱，故此选项不符合题意． 【变式1】．下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲面和平面的定义，结合各个几何体的特点求解即可． 【详解】解：球，圆锥，圆柱均含曲面，正方体不含曲面，故选B． 【变式2】．将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 【变式3】．下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查常见立体图形的识别，掌握常见立体图形的特征是解题关键． 根据柱体、锥体、球的定义和特征对选项依次判断即可． 【详解】解：柱体：有两个互相平行且全等的底面，侧面为平行四边形或曲面． 图中正方体、长方体、六棱柱、五棱柱、三棱柱、圆柱，都符合柱体特征， 故柱体有：； 锥体：只有一个底面，顶部有一个顶点，侧面为三角形或曲面． 图中圆锥符合锥体特征， 故锥体有：； 球：只有一个曲面，没有顶点和棱． 图中球符合特征， 故球有：． 故答案为：，，． 题型3 几何体中的点、棱、面 解题技巧：1. 套用n棱柱万能公式：面数n+2、棱数3n、顶点数2n，快速计数；2. 牢记动态口诀：点动成线、线动成面、面动成体；3. 计数分层进行，区分平面与曲面、直线与曲线，避免漏数、重复数；4. 明确相交规律：面面相交得线、线线相交得点。 【典例3】．有一个棱柱由5个面围成，那么它有（     ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 【答案】B 【详解】解：∵任意棱柱都有2个底面， ∴该棱柱的侧面数量为，即该棱柱为三棱柱． ∵三棱柱的上下底面各有3条棱，侧面有3条棱， ∴总棱数为条． 【变式1】．如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到的两个立体图形的棱数之差为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】A 【详解】解：由图可得，两个立体图形的棱数分别是12和6， ∴两个立体图形的棱数之差为． 【变式2】．一个直棱柱共有18条棱，所有侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长是_________厘米 ． 【答案】 【分析】根据直棱柱的棱数与侧棱数的关系，确定该直棱柱的侧棱数量，再由所有侧棱长的和计算每条侧棱的长度． 【详解】解：根据n棱柱的棱数性质，可得n棱柱共有条棱， 该直棱柱共有条棱， ， 解得，即该直棱柱为六棱柱，共有条侧棱， 所有侧棱长的和是厘米， 每条侧棱长为（厘米）． 【变式3】．如果一个棱柱共有18条棱，那么它是_____棱柱． 【答案】六 【分析】本题考查棱柱的概念和棱数规律，关键是掌握“棱柱共有条棱”这一关系求解． 【详解】解：设该棱柱为棱柱， ∵棱柱共有条棱， ∴，解得， 故它是六棱柱； 答案为：六． 题型4 从不同方向看几何体 解题技巧（三视图三步法）：1. 主视图：看左右列数、上下层数，反映几何体长与高；2. 左视图：看前后层数、上下层数，反映几何体宽与高；3. 俯视图：看左右、前后布局，确定底层结构；4. 遮挡规则：看得见画实线，看不见画虚线，堆叠图形分层判断。 【典例4】．如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从前面看到的图形解答即可． 【详解】解：从前面看，是上面小下面大的两个长方形，上面长方形中间有一条竖直的线段， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． 【变式1】．如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个． 【答案】3 【分析】观察立方体即可得出5个面涂上蓝色的正方体的个数． 【详解】解：由图可得，5个面涂上蓝色的正方体有3个． 【变式2】．一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 【答案】作图见解析 【分析】从上面观察几何体及小正方形中的数字，可知从正面看几何体的列数与从上面观察几何体的列数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应列中小正方形中的数字的最大数字；从左面看几何体的列数与从上面观察几何体的行数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应行中小正方形中的数字的最大数字，据此画图即可． 【详解】解：如图： 【变式3】．如图所示几何体均是由棱长为的小正方体摆成的．第1个几何体中，共有1个小正方体，从正面看有1个小正方形，表面积为；第2个几何体中，共有5个小正方体，从正面看有4个小正方形，表面积为…… (1)第3个几何体中，共有______个小正方体，从正面看有______个小正方形，表面积为______； (2)按图中摆放方法类推，第8个几何体中，小正方体的个数是______个，从正面看有______个小正方形，表面积为______； (3)若摆出的几何体从正面看有13个小正方形，求此时摆出的几何体的表面积． 【答案】(1)9，7，； (2)29，22，； (3)此时摆出的几何体的表面积是． 【分析】（1）根据几何体的特征判断即可； （2）探究规律，利用规律解决问题即可． （3）利用规律解决问题即可． 【详解】（1）解：由图可知，第3个几何体中，共有9个小正方体，从正面看有7个小正方形，从左面看有5个小正方形，从上面看有7个小正方形， 表面积为： ； （2）解：按图中摆放方法类推，第8个几何体中，小正方体的个数，从正面看有个小正方形，从左面看有个小正方形，从上面看有个小正方形， 表面积是； （3）解：若摆出的几何体从正面看有个小正方形，则从左面看有个小正方形，从上面看有个小正方形， 此时摆出的几何体的表面积， 故此时摆出的几何体的表面积是． 题型5 几何体展开图的认识 解题技巧：1. 特征匹配：棱柱展开图为长方形+多边形、圆柱为长方形+双圆、圆锥为扇形+单圆；2. 折叠验证：脑补向内折叠过程，判断各面能否封闭贴合；3. 数量排除：面的数量、形状不匹配直接排除错误选项；4. 区分侧面与底面，杜绝混淆几何体展开结构。 【典例5】．如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将一个无上底面的纸杯沿侧面展开，它的侧面展开图是： 【变式1】．如图是一个几何体的展开图，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察题干展开图的构成，确定图形包含一个长方形和两个等大的圆形，逐一对照选项中的几何体，筛选出符合上述展开图特征的选项即可． 【详解】解：观察题干展开图的构成，确定图形包含一个长方形和两个等大的圆形， 选项A是圆锥：圆锥展开图是1个扇形+1个圆，不符合题意； 选项B是三棱柱：三棱柱展开图是3个长方形+2个三角形，不符合题意； 选项C是圆柱：和展开图特征匹配，符合； 选项D是四棱柱（长方体/正方体）：展开图由6个四边形组成，不符合题意． 【变式2】．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是________． 【答案】圆柱 【分析】本题考查了几何体的展开图．根据圆柱的展开图特征即可求解． 【详解】解：该展开图由1个长方形和2个大小相等的圆组成，符合圆柱的展开图特征，故原几何体为圆柱． 故答案为：圆柱． 【变式3】．如图，下列图形中，①能折叠成______，②能折叠成______，③能折叠成______，④能折叠成______． 【答案】 圆柱 五棱柱 圆锥 五棱锥 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据圆柱、棱柱、圆锥、棱锥的展开图形状特点判断即可． 【详解】解：①圆柱体侧面展开图是一个长方形，两个圆，故①能折叠成圆柱； ②五棱柱的侧面展开图是上、下两个相同的五边形，侧面展开图是一个长方形，故②能折叠成五棱柱； ③圆锥侧面展开图是一个圆（底面）侧面（扇形），故③能折叠成圆锥； ④五棱锥的底面为五边形，侧面为五个三角形，故④能折叠成五棱锥 故答案为：①圆柱；②五棱柱；③圆锥；④五棱锥． 题型6 由展开图计算几何体的表面积 解题技巧：1. 拆分图形：将展开图拆解为正方形、长方形、圆形、扇形等基础平面图形；2. 分块计算：逐一算出每个面的面积，求和得到总面积；3. 区分定义：表面积包含所有底面与侧面，侧面积仅算侧面；4. 审题避坑：看清题目是否需要保留底面，圆柱、圆锥题型高频考查。 【典例6】．已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直棱柱侧面积的计算，利用直棱柱侧面积之和等于侧棱长与底面周长的乘积即可求解． 【详解】解：∵直五棱柱的侧面均为长方形，且侧棱长为4，底面周长为5． ∴所有侧面的面积之和侧棱长底面周长 ． 故选：C． 【变式1】．一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求圆柱体展开图的面积，所求平行四边形的面积是圆柱的侧面积，直接利用展开图的面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 答：这个平行四边形的面积是． 故选：B． 【变式2】．如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 【变式3】．如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积，根据展开图可得该几何体是长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米，据此根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是一个长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米， ∴这个几何体的表面积是平方米， 故答案为：． 题型7 由展开图计算几何体的体积 解题技巧：1. 提取数据：从展开图中精准找出棱长、底面半径、几何体的高；2. 匹配公式：根据几何体类型套用对应体积公式；3. 统一单位：保证所有长度单位一致，再代入计算；4. 区分概念：面积是平面量、体积是空间量，不混淆两类公式。 【典例7】．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 【变式1】．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键；设底面正方形的边长为，根据图示中的相关数据列出方程，求出，再根据长方体的体积求解即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为， 由图可得， 解得， 则， ∴长方体的体积为， 故选：D． 【变式2】．如图是一个长方体铁皮盒的一部分，它的体积是( )立方分米．（单位：分米） 【答案】432 【分析】由图判断出长方体的长、宽、高，利用体积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知，该长方体的长为分米、宽为分米、高为分米， ∴体积为立方分米． 【变式3】．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 【答案】方案2 【分析】分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖纸盒的容积最大． 题型8 正方体几种展开图的识别 解题技巧（秒杀判定法）：1. 熟记合法4类11种展开图：一四一、一三二、二二二、三三型；2. 直接排除禁忌图形：出现田字形、凹字形、五连方，一律无法折成正方体；3. 快速校验：每行正方形数量不超过4个，无封闭重叠区域；4. 不规则零散方块布局，优先判定为非法展开图。 【典例8】．图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的模型逐个判断即可． 【详解】解：对于（1），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（2），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（3），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（4），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（5），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（6），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（7），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（8），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 综上，是正方体展开图的一共有5个． 【变式1】．下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 【变式2】．如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键．根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图， 2与4是相对面； 1与5是相对面； 3与6是相对面． 可以得出A与I重合． 故答案为：． 【变式3】．下列图形可以折成一个正方体的有______．（填序号） 【答案】（1）（3）（4） 【分析】此题考查了正方体几种展开图的识别，解题的关键是明确能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．利用正方体及其表面展开图的特点解题即可得出答案． 【详解】解：（1）（3）（4）可以折成正方体， （2）（5）折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体， 故答案为：（1）（3）（4）． 题型9 正方体相对两面上的字 解题技巧（三大核心规律）：1. 同行隔一相对：同一行正方形，间隔一个为对面；2. 异行隔列相对：上下行错位排列，间隔一列的面为对面；3. Z字两端相对：Z型结构首尾两个面互为相对面；4. 核心原则：相邻面绝对不是相对面，一组展开图仅有3组相对面。 【典例9】．“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．复 B．兴 C．有 D．我 【答案】D 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，异行字形，进行判断即可． 【详解】解：由展开图可得，“国”字所在面相对的面上的汉字是“兴”； “复”字所在面相对的面上的汉字是“有”； “强”字所在面相对的面上的汉字是“我”． 【变式1】．“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【答案】B 【分析】利用正方体展开图的特点，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者通过“Z”字形两端判断相对面． 【详解】解：“者”与“竟”相对，“有”与“事”相对，“志”与“成”相对． 【变式2】．下图是一个正方体的展开图，在相应的正方形内填上一个适当的数，使得正方体相对的面上的两数互为相反数，则__________． 【答案】 【分析】先找出正方体相对的面，再根据相反数的定义求出，即可求出代数式的值． 【详解】∵由题可知，与、与、与是相对面， 又∵正方体相对的面上的两数互为相反数， ∴，，， ∴． 【变式3】．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 【答案】 们 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可知，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形， 所以“中”与“们”是对面． 题型10 含图案的正方体展开图 解题技巧：1. 先定相对面：通过相对面规律排除图案矛盾选项；2. 再看相邻面：折叠后相邻图案的位置、朝向、角度保持不变；3. 锁定特殊图案：以阴影、圆点、斜线等特殊图形为参照，比对立体图与展开图；4. 杜绝图案翻转、错位，严格匹配相邻关系。 【典例10】．把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 【变式1】．如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 【变式2】．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【详解】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 【变式3】．如图是一个无盖的正方体纸盒的展开图．“”所在的位置是________面． 【答案】 后 【详解】解：正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者呈现“”字型两端， 观察图形可知，第一行右侧的面与第三行的面是相对面，即“前”字所在的面与“☆”所在的面是相对面， 因为“前”字所在的面是前面， 所以“☆”所在的位置是后面． 题型11 求展开图上两点折叠后的距离 解题技巧：1. 分类判断：折叠后两点距离分为棱长、面对角线、体对角线三类；2. 空间转化：将展开图平面两点，转化为正方体立体空间线段；3. 公式计算：棱长直接取值，对角线利用勾股定理求解；4. 结合棱长统一数值，精准计算折叠后最短距离。 【典例11】．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【变式1】．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【变式2】．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 【变式3】．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 题型12 补一个面使图形围成正方体 解题技巧：1. 分类判断：折叠后两点距离分为棱长、面对角线、体对角线三类；2. 空间转化：将展开图平面两点，转化为正方体立体空间线段；3. 公式计算：棱长直接取值，对角线利用勾股定理求解；4. 结合棱长统一数值，精准计算折叠后最短距离。 【典例12】．如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 【变式1】．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 【变式2】．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 【变式3】．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 题型13 平面图形形状的识别 解题技巧：1. 核心判定：所有线条、图形在同一平面内，无空间厚度即为平面图形；2. 熟记常见图形：多边形、圆、扇形、线段、角均为平面图形；3. 排除立体图形：带空间结构、曲面立体造型直接排除；4. 简洁判断：仅看轮廓平面形态，不脑补立体结构。 【典例13】．下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形的定义 ，立体图形的定义，理解平面图形和立体图形的定义是解题的关键．根据平面图形的定义回答即可． 【详解】解：选项A是长方形，长方形是平面图形； 选项B是球体，球是立体图形； 选项C是长方体，长方体是立体图形； 选项D是三棱柱，三棱柱是立体图形； 故选：A． 【变式1】．在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体和平面图形．根据几何体和平面图形进行甄别即可． 【详解】解：选项中前三个是立体图形，分别是球，长方体，四棱锥； 只有D选项是圆，是平面图形， 故选：D． 【变式2】．把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号) 立体图形{ …}； 平面图形{ …}． 【答案】立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 【分析】本题考查了几何图形的分类：立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度；平面图形是二维图形，只存在于一个平面内． 【详解】解：③圆锥是立体图形，因为它是由圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑤圆柱是立体图形，因为它是由两个平行圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑦球是立体图形，因为它是所有点与中心点距离相等的三维图形． ⑨正方体是立体图形，因为它是由六个正方形面围成的三维图形． ①长方形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ②三角形是平面图形，因为它是三条边组成的二维图形． ④直线是平面图形，因为它是无限延伸的一维图形，但存在于平面内． ⑥平行四边形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ⑧圆是平面图形，因为它是所有点与中心点距离相等的二维图形． 立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 【变式3】．如图所示的是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有________． 【答案】等腰直角三角形、平行四边形、正方形. 【分析】本题考查了七巧板，认识平面图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据图形判断即可． 【详解】解：如图：这个图形由5个等腰直角三角形，1个正方形，1个平行四边形组成． 故答案为：等腰直角三角形，平行四边形，正方形． 题型14 用七巧板拼图形 解题技巧：1. 核心判定：所有线条、图形在同一平面内，无空间厚度即为平面图形；2. 熟记常见图形：多边形、圆、扇形、线段、角均为平面图形；3. 排除立体图形：带空间结构、曲面立体造型直接排除；4. 简洁判断：仅看轮廓平面形态，不脑补立体结构。 【典例14】．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 【变式1】．如图，用图①的一副七巧板拼成图②小鱼的图案，若七巧板面积为32，则图②中阴影部分的面积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了七巧板拼图形问题，一元一次方程的应用，设，根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 设， ∵七巧板面积为32， ∴， ∴， ∴， ∴图②中阴影部分的面积是． 故选：D． 【变式2】．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各块图形面积占总面积的比例，识别图中阴影部分由哪些图形组成，利用总面积计算各部分面积之和即可． 【详解】解：设图大正方形的面积为， ∴， 根据七巧板的性质，平行四边形的面积为，小正方形的面积为，小等腰直角三角形的面积为 观察图可知，阴影部分由一个平行四边形、一个正方形和两个小等腰直角三角形组成， ∴阴影部分的面积为： ． 【变式3】．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【答案】/ 【分析】阴影部分的面积等于边长为1的正方形面积减去一个直角边的长为1的等腰直角三角形的面积，再减去一个直角边的长为的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可 【详解】解：， ∴阴影部分的面积为． 题型15 平面图形旋转后所得的立体图形 解题技巧（固定模型秒杀）：1. 长方形/正方形绕边旋转→圆柱；2. 直角三角形绕直角边旋转→圆锥；3. 半圆绕直径旋转→球；4. 组合图形旋转：拆分基础图形，分别判断旋转产物，再整合整体立体造型。 【典例15】．将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：原图形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是． 【变式1】．如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过直角顶点B作于点D，根据直角三角形绕直角边所在的直线旋转得到圆锥即可判断． 【详解】解：过直角顶点B作于点D，如图， 则绕直线旋转一周后得到两个圆锥，且这两个圆锥共底面， 故得到选项D的几何体． 【变式2】．如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 【答案】④ 【分析】当长方形绕其自身的一条边旋转一周时，会形成实心圆柱，而当矩形绕一条与自身边平行且保持一定距离的直线旋转时，因内外侧旋转半径不同，会形成空心圆柱，二者均具备两个平行且全等的圆形底面和曲面侧面． 【详解】解：图形①是直角三角形，绕直线旋转一周后得到圆锥； 图形②是半圆，绕直线旋转一周后得到球； 图形③是一边与直线重合的长方形，绕直线旋转一周后得到实心圆柱； 图形④是与直线平行且有一定距离的长方形，绕直线旋转一周后，形成两个同轴的圆柱面，中间为空心，即空心圆柱； 综上，能得到空心圆柱的是图形④． 【变式3】．如图，将一个长是、宽是的长方形，绕长所在的直线旋转一周，得到的立体图形的侧面积是______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积公式是解题的关键；由题意可得以所在的边进行旋转，然后根据圆柱的侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：以所在的边进行旋转，则形成的图形为圆柱， 此时圆柱的侧面积为． 故答案为：． 题型16 截一个几何体 解题技巧：1. 平面截正方体：可截出三角形、四边形、五边形、六边形，无法截出直角三角形、七边形；2. 平面截圆柱：横截圆、竖截长方形、斜截椭圆；3. 平面截圆锥：横截圆、斜截椭圆、竖截三角形；4. 核心逻辑：截面边数=平面与几何体相交的面数，相交面越多、截面边数越多。 【典例16】．用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截的正方体，可以得到三角形，正方形，矩形， ∴截面形状不可能是圆 ． 【变式1】．用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：长方体是由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，用一个平面去截长方体，其截面边缘是由直线段组成的，因此截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故A不符合题意； 选项B：该几何体是由两个三角形底面和三个长方形侧面围成的立体图形，用一个平面去截三棱柱，其截面边缘也是由直线段组成的，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形），不可能是圆形，故B不符合题意； 选项C：圆锥是由一个扇形侧面和一个圆形底面围成的立体图形，当用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥时，截面是一个圆，故C符合题意； 选项D：正方体是由六个正方形围成的立体图形，用一个平面去截正方体，其截面边缘由直线段组成，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故D不符合题意． 【变式2】．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 【答案】 1、3、4 1、2、3、4 5 3、5、6 【分析】截面的形状既与被截得几何体的形状有关，还与截面的角度和方向有关，此题需要展开空间想象力分别分析，最好的话还可以动手操作一下即可做出判断． 【详解】解：B几何体为三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形； C几何体为正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形； D几何体为球体，截面只可能是圆； E几何体为圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形， 因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）． 【变式3】．用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 【答案】③ 【分析】圆柱、圆锥、球体含有曲面，截面可能是圆；正方体由平面围成，截面只能是多边形． 【详解】解：①圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ②圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ③正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆； ④球，用任意平面去截，截面都是圆． 综上所述，截面不可能是圆的几何体是③． 1．把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】展开图中有两个相同的三角形，是几何体的底面；三个长方形，连接在三角形的边上，是侧面；据此分析判断几何体的形状即可． 【详解】解：根据展开图，可知该几何体有两个平行的三角形面，且侧面是三个长方形，所以这个几何体是三棱柱． 2．下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的分类．柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：正方体是四棱柱，棱柱和圆柱都是柱体，则属于柱体的有3个， 3．如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由图可知，从上面看的形状图是． 4．下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，C，D都不能折叠成长方体盒子，选项B可以折叠成长方体盒子． 5．如图，将一个长方形纸片的四个角剪去个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，认真观察图形，得出等量关系是解题关键．根据长方体盒子的表面积纸片的面积个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：这个长方体盒子的表面积为． 故选：A． 6．将一张边长为的正方形纸片的四个角各减去一个同样大小的边长为的小正方形，把剩余的纸片沿如图所示的虚线折叠后，可得到一个无盖长方体，用含有和的代数式表示该无盖长方体的容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 先表示出长方体的长，宽，高，再根据体积公式得出答案． 【详解】解：根据题意可知长方体的长为，宽也为，高为h，根据题意，得 ． 故选：C． 7．在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（   ） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面 【答案】A 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此得与①号面相对是空的，即可作答． 【详解】解：∵正方体表面展开图“141”型中，与①号面相对是空的， ∴贴在桌子上的底面对应的是展开图的①号面． 8．如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据题意，阴影正方形面为上面，圆圈正方形面为右面，黑白三角形面为前面，展开图中只有④符合要求； 【详解】解：④符合要求； 9．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 10．下列说法正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B．如图是正方体的展开图形，正方体的对面数字相等，则 C．圆锥的侧面展开图是一个圆 D．用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 【答案】B 【分析】本题考查立体图形的基本性质与正方体展开图，掌握各类立体图形的展开图是解题关键． 根据各类立体图形的基本特征，结合选项逐一分析． 【详解】解： A．五棱柱上下底面各有5个顶点，共10个顶点；棱包括上下底面的棱和侧棱，上下底面各5条棱，侧棱有5条，共15条棱；面包括上下2个底面和5个侧面，共7个面，选项说法错误，不符合题意； B．据题图可知，正方体中所对数字是，所对数字是4，故，选项说法正确，符合题意； C．圆锥的侧面展开图是一个扇形，而不是圆，选项说法错误，不符合题意； D．用平面去截一个正方体，最多与6个面相交，得到六边形，不可能得到七边形，选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 11．用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 【答案】 【分析】根据从不同方向看到几何体的形状，判断底层小立方块的个数，再判断上层最多有几个小立方块，即可求解． 【详解】解：根据从上面看的形状可知该几何体底层有5个小立方块，根据从正面看的形状可知该几何体左侧上层至多有3个小立方块， 该几何体最多是用8个小立方块搭成的． 故答案为：． 12．下列各硬纸片分别沿虚线折叠，得不到长方体纸盒的是_____．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】此题考查了展开图折叠成长方体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 由平面图形的折叠及展开图解题． 【详解】解∶①和②可以折叠成，③和④有重叠的面不可以折成， 故答案为：③④． 13．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的表面积．根据圆柱的切割特点可知，沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了4个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积和4个圆柱的底面的面积，由此即可求出增加的表面积． 【详解】解：（平方厘米）， 故表面积增加了平方厘米． 故答案为：． 14．如图，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是正方体的平面展开图，以及平面展开图与立体图之间的对应关系，掌握以上知识点是做题的关键．根据正方体的平面展开图与立体图之间的对应关系，将其还原为正方体，即可解答． 【详解】解：根据正方体的平面展开图与立体图之间的对应关系，将正方体的平面展开图（图乙）还原为正方体（图甲）时，通过观察可得，黑点所在的位置与点在正方体中的位置是对应的， 即图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是． 故答案为：． 15．如图，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形的体积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的特征和体积公式的综合应用，关键是明确旋转后得到的圆锥的底面半径和高的值．以4的直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，且底面半径为3，高为4，然后根据圆锥体积公式求解即可． 【详解】解：根据题意，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形为圆锥， 且底面半径为3，高为4， ∴该圆锥的体积为． 故答案为：． 16．已知，，，，，是一个正方体的六个面，其展开图如图所示．若上的式子为，上的式子为，上的式子为，上的式子为，上的式子为，且相对两个面上的式子的和都相等． (1)求的值； (2)求上式子的值． 【答案】(1) (2)上式子的值为． 【分析】本题主要考查一元一次方程： （1）由展开图可知，与相对，与相对，和相对，可得． （2）分别求出，，上式子的值，结合相对两个面上的式子的和都相等，即可求得答案． 【详解】（1）由展开图可知，与相对，与相对，和相对． 根据题意，得 ． 解得． （2）由得． 上式子的值为，C上式子的值为，D上式子的值为． 相对两个面上的式子的和都相等， 上式子的值为． 17．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示， (1)这个几何体至少需用多少个小正方体搭成的？至多需用多少个小正方体搭成的？ (2)并画出所有从左面看该几何体得到的形状图． 【答案】(1)7；9 (2)见解析 【分析】（1）根据从正面看和从上面看的形状图可确定几何体有两层，第一层有5个小正方体，然后再根据从正面看的形状图确定第二层小正方体的摆放情况即可解答； （2）根据第（1）题的第二层的小正方体的摆放情况，确定从左面看到的形状图即可． 【详解】（1）解：根据从正面看和从上面看的形状图可知，该几何体有两层，第一层有5个小正方体；总共三列，从左到右数的第三列只在第一层有1个小正方体； ∴如图所示，这个几何体至少需要用7个小正方体搭成（从上面看）， 或或或 至多需要用9个小正方体搭成（从上面看）， （2）解：如图所示，所有从左面看该几何体得到的形状图： 18．如图是用9块完全相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出这个几何体从三个方向看得到的形状图． 【答案】图见解析 【详解】解：由题意，画出图形如下： 19．（问题背景） 小明准备仿照图制作一个上顶面封闭、下底面不封闭的灯罩，抽象出几何模型是一个顶面为正五边形的直五棱柱（如图），运用、两种型号硬纸板进行裁剪，已知一张型号硬纸板可剪成个小长方形侧面，一张型号硬纸板可剪成个与之配套的正五边形顶面．裁剪后剩余角料不再利用．现有两种型号的硬纸板共计张，且裁剪出的侧面和顶面恰好满足组装完整，问：每种型号的硬纸板各多少张？ （理解问题） （1）每个灯罩由__________个形状、大小完全相同的小长方形侧面和__________个形状、大小完全相同的正五边形底面组成． （2）分析问题： 设其中张硬纸板是型号，其余的都是型号，请将下表补充完整（用含的代数式表示） 型号 型号 硬纸板数量 __________ 小长方形侧面数量 __________ 正五边形顶面数量 __________ （解决问题） （3）每种型号的硬纸板各多少张？能制成多少个灯罩？列出方程并求解． 【答案】（），；（）；；；（）有张硬纸板是型号，张硬纸板是型号，能制成个灯罩． 【分析】本题考查了直五棱柱，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （）根据直五棱柱的特点求解即可； （）根据题意进行填表即可； （）根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：（）每个灯罩由个形状、大小完全相同的小长方形侧面和个形状、大小完全相同的正五边形底面组成， 故答案为：，； （）设其中张硬纸板是型号，其余的都是型号，填表如下： 型号 型号 硬纸板数量 小长方形侧面数量 正五边形顶面数量 故答案为：；；； （）由（）得，设其中张硬纸板是型号，则张硬纸板是型号， 根据题意得：， 解得：， ∴有张硬纸板是型号，张硬纸板是型号，能制成个灯罩． 20．【问题情境】某实践小组开展“长方体纸盒制作”的活动． 【提出问题】 (1)如图1，将边长为的正方形纸板剪去4个边长为的小正方形（阴影部分），再沿虚线折成无盖长方体纸盒，与点重合的是点_____． (2)如图2，一长方形纸板，长是宽的2倍，将其四周剪去2个边长为的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形（阴影部分），然后沿虚线折合成一个有盖的长方体盒子．设长方形纸板的宽是． ①则长方体盒子底面的长为_____；（用含的代数式表示） ②若长方体盒子底面的长是宽的倍，求该长方体盒子的体积． (3)先将（2）中折成的长方体盒子装满水，再倒入（1）中折成的长方体盒子中，请直接写出（1）中长方体盒中水面的高度．（两个盒子都不漏水） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了长方体及其体积，列代数式，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据长方体图形进行求解即可； （2）①根据图形列出代数式即可； ②根据图形表示出长方体盒子底面的宽，然后根据长和宽的数量关系，列出方程求解即可； （3）求出第一个长方体的底面积，然后求高度即可． 【详解】（1）解：与点重合的是点， 故答案为：； （2）解：①设长方形纸板的宽是，则长为， ∴长方体盒子底面的长为， 故答案为：； ②长方体盒子底面的宽为， ∴， 解得， ∴长方体盒子底面的长为， 长方体盒子底面的宽为， ∴长方体盒子的体积为 （3）解：第一个长方体盒子的底面面积为， ∴， ∴（1）中长方体盒中水面的高度为． 21．综合与探究 数学课上小婷想用一块边长a为正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，希望所制作的盒子能够收纳尽可能多的物品． (1)如图1，在正方形硬纸板上画小正方形网格，纸板经过适当裁剪，可以折成一个类似图2所示的无盖长方体盒子．请你在网格中画出裁剪线； (2)通过裁剪、折叠后可以发现：盒子的体积V与硬纸板边长a以及盒子的高度h有关．用含h的代数式表示盒子的体积V． (3)若盒子的高度h都是取整数，则h取何值时，盒子的体积最大？最大值是多少？你是怎样解决这个问题的？在解决问题的过程中，思考并回答：h的值逐渐增大，相应的V值怎样变化？ (4)如果盒子的高度h不是整数，你又如何解决（3）中的最大体积问题？（h精确到，V精确到）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，的最大值为200；的值逐渐增大，相应的值先变大后变小 (4)见解析 【分析】本题主要考查平面图形，立体图形的特点，代数式的代入求值． （1）根据立体图形的特点，结合平面图形的特点进行裁剪即可； （2）结合图形，根据体积面积的计算即可求解； （3）根据代数式，代入求值即可； （4）代入求值，比较大小即可． 【详解】（1）解：裁剪线如图所示， （2）解：硬纸板边长a，盒子的高度h， ∴； （3）解：当，取正整数时，的对应值列表如下， 1 2 3 4 5 6 144 200 192 144 80 24 根据表格可知，当时，的最大值为200， 的值逐渐增大，相应的值先变大后变小； （4）解：在之间取数时，有最大值， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 时，的最大值是． 22．综合与实践 生活中很多物品的包装盒都可以近似看作长方体，小华在学习了数学活动“制作包装盒”这节课时，用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子，按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，做成了一个无盖的长方体盒子并进行如下探究： (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为______cm，底面积为______，请你用含的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长单位：cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积（单位：） 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (4)现在需要对无盖长方体盒子的所有外表面(包括底面)进行涂色，当时，需要涂色的面积是多少？ 【答案】(1)，，； (2)，； (3)C； (4) 【分析】本题考查长方体的展开图、表面积计算及代数式的实际应用，核心是理解折叠后长方体的长、宽、高与原正方形边长的数量关系． （1）根据长方体的展开图，直接推导盒子的高、底面边长，进而得到底面积和容积的代数式； （2）将给定的和的值代入容积公式，通过有理数运算得出结果； （3）观察表格中容积随剪去正方形边长的变化数据，总结变化趋势； （4）涂色面积可通过“原正方形面积减去4个剪去的小正方形面积”快速计算，或直接计算长方体各外表面的面积之和． 【详解】（1）解：由折叠过程可知，无盖长方体盒子的高等于剪去的正方形边长，即； 底面为正方形，其边长为原正方形边长减去2个剪去正方形的边长，即，故底面积为； 容积为底面积与高的乘积，即； 故答案为：，，； （2）解：当，时，容积； 当，时，容积； 故表格中依次填，； （3）解：观察表格数据：剪去正方形边长从1到3时，容积逐渐增大；从3到时，容积逐渐减小，因此容积随剪去正方形边长的增大先增大后减小， 故选：C； （4）解：原正方形纸片的面积为， 剪去的4个小正方形的总面积为， 需要涂色的面积． 答：需要涂色的面积是． 23．小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据． 正多面体 F n V E r 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 (1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________． (2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示） ②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示） (3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形． 【答案】(1) (2)①；② (3)三角形 【分析】本题主要考查了多面体的顶点、面、棱之间的关系、一元一次方程的应用等知识点，观察并发现规律是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为，又因为正F面体的两个面共用一条边，所以正F面体的棱数为；②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为，又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为； （3）运算上述公式列出关于F的方程可得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：根据观察可得． 故答案为：． （2）解：①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为， 又∵正F面体的两个面共用一条边， ∴正F面体的棱数为． 故答案为：． ②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为， 又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为． 故答案为：． （3）解：由题意可得：， ∴, ∴， 根据（1）中公式可得，可得，解得：， ∴这个正多面体的面数为20． ∵， ∴. ∴这个正多面体的一个面是三角形． 24．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 25．【项目式学习】——制作正方体祝福盒． 新年来临之际，文创社的同学们拟用卡纸制作若干个正方体祝福盒． 剪裁说明 素材一 一卷卡纸规格：宽为，长度足够． 素材二 如图1所示，卡纸有两种剪裁方式（展开图1）和展开图2），可围成的祝福盒如图2所示（不考虑接缝和损耗），每个祝福盒的棱长均为．       素材三 为了最大化的利用卡纸尽量减少浪费，小明先剪出一块大小的卡纸，如图3所示，用于研究卡纸的剪裁方案和利用率． 卡纸利用率公式为：卡纸利用率 问题解决 理解问题 （1）按展开图2可以围成祝福盒_____（填“”或“”）； （2）①在图3的卡纸中，最多可以剪裁出_____个祝福盒，卡纸的利用率为_____； ②若想尽可能多的剪裁出祝福盒B，请你在图3中画出设计示意图（其展开图在卡纸上的分布情况），要求：剪裁部分打阴影，外轮廓用尺子画实线描出，不用写作图结论． 并回答：最多可剪裁出_____个祝福盒，卡纸的利用率为_____． 开展研究 （3）想要剪裁出个祝福盒，卡纸的总长度最少为_____（用含的代数式表示）． 成果应用 （4）若这卷卡纸全部用于制作祝福盒，并采用了利用率最高的方案制作，完成后发现卡纸恰好用完．经过同学们的计算，发现卡纸利用率高达，请问他们一共制作了多少个祝福盒？（卡纸的总面积利用率卡纸剪裁部分面积，请使用一元一次方程求解） 【答案】（1）B；（2）①2，；②设计示意图见解析；3，；（3）；（4）一共制作了33个祝福盒． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）根据图2展开图即可解答； （2）①根据祝福盒A的展开图解答即可；②根据祝福盒B的展开图解答即可； （3）观察裁剪方式得：剪出1个祝福盒B时，卡纸长度为；剪出2个祝福盒B时，卡纸长度为；即可解答； （4）根据题意得：卡纸的总长度为，宽度为，可得卡纸的总面积为，再由m个祝福盒的总面积为，卡纸利用率达，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）按展开图2可以围成祝福盒B； 故答案为：B （2）①在图3的卡纸中，最多可以剪裁出2个祝福盒，如图： 卡纸的利用率为； 故答案为：2； ②设计示意图如图； 最多可剪裁出3个祝福盒， 卡纸的利用率为； 故答案为：3； （3）根据题意得： 观察裁剪方式得：剪出1个祝福盒B时，卡纸长度为；剪出2个祝福盒B时，卡纸长度为； 以此类推，剪出m个祝福盒B时，卡纸的总长度为； （4）解：根据题意得：卡纸的总长度为，宽度为， 所以卡纸的总面积为， ∵m个祝福盒的总面积为，卡纸利用率达， ∴ 解得：， 答：一共制作了33个祝福盒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲几何图形 目录 知识点1 平面图形与立体图形 2 知识点2 几何体分类标准 3 知识点3 点、棱、面、体的关系 3 知识点4 三视图基础 3 知识点5 常见几何体展开图 4 知识点6 正方体展开图核心规律 4 知识点7 几何体表面积与体积公式 5 知识点8 旋转与截面规律 5 知识点9 七巧板基础 6 题型1 常见的几何体 6 题型2 立体图形的分类 7 题型3 几何体中的点、棱、面 7 题型4 从不同方向看几何体 8 题型5 几何体展开图的认识 9 题型6 由展开图计算几何体的表面积 10 题型7 由展开图计算几何体的体积 11 题型8 正方体几种展开图的识别 12 题型9 正方体相对两面上的字 13 题型10 含图案的正方体展开图 14 题型11 求展开图上两点折叠后的距离 16 题型12 补一个面使图形围成正方体 17 题型13 平面图形形状的识别 18 题型14 用七巧板拼图形 18 题型15 平面图形旋转后所得的立体图形 20 题型16 截一个几何体 21 1. 知识目标：区分平面图形与立体图形，掌握常见几何体的特征、分类及点、棱、面的基本关系；熟练掌握几何体三视图、展开图、截面、旋转体、七巧板等核心基础知识点。 2. 能力目标：能精准识别各类几何体、判断立体图形三视图；熟练掌握正方体11种展开图规律、相对面判定方法；会利用展开图计算几何体表面积与体积，掌握折叠距离、补面、图案匹配、旋转成像、截面判断等全题型解题方法。 3. 素养目标：建立空间几何思维，提升图形观察、空间折叠、数形转化与逻辑推理能力，夯实初中几何入门基础。 知识点1 平面图形与立体图形 1. 平面图形：所有部分在同一平面内，只有长、宽，无厚度。常见：线段、三角形、长方形、正方形、圆、平行四边形等。 2. 立体图形：各部分不都在同一平面内，占有空间，有长宽高。常见：正方体、长方体、棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球。 知识点2 几何体分类标准 1. 按形态分：柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体； 2. 按面的特征分：全平面几何体（正方体、长方体、棱柱）、含曲面几何体（圆柱、圆锥、球）。 正方体 长方体 直棱柱（棱柱 ） 斜棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 球 知识点3 点、棱、面、体的关系 1. 几何构成：图形由点、线、面组成；线与线相交成点，面与面相交成线； 2. 动态规律：点动成线，线动成面，面动成体； 3. n棱柱固定公式：n个侧面+2个底面（共n+2个面）、3n条棱、2n个顶点。 知识点4 三视图基础 1. 主视图：从正面观察几何体得到的平面图形； 2. 左视图：从左面观察几何体得到的平面图形； 3. 俯视图：从上面观察几何体得到的平面图形； 4. 绘图规则：可见轮廓画实线，不可见轮廓画虚线。 知识点5 常见几何体展开图 1. 正方体/长方体：全正方形、长方形组合； 2. 圆柱：1个长方形侧面+2个圆形底面； 3. 圆锥：1个扇形侧面+1个圆形底面； 4. 棱柱：多个长方形侧面+2个全等多边形底面。 圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面） 圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） 棱柱的表面展开图是两个完全相同多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）。下图为三棱柱的表面展开图。 知识点6 正方体展开图核心规律 1. 合法11种类型：一四一型、一三二型、二二二型、三三型； 2. 禁止类型：含“田字形、凹字形、长条形五连方”均无法折叠成正方体； 3. 相对面判定：同行隔一个、异行隔一列、Z字两端为相对面，相对面永不相邻。 可围成正方体的平面展开图有以下11种。 一类：1、4、1型 二类：2、3、1型 三类：2、2、2型 四类：3、3型 不可围成的图形有：（出现“田”，“凹”形也不行） 知识点7 几何体表面积与体积公式 1. 正方体（棱长a）：表面积，体积； 2. 长方体（长a、宽b、高h）：表面积，体积； 3. 圆柱（半径r、高h）：表面积，体积； 4. 圆锥（半径r、高h）：体积。 知识点8 旋转与截面规律 1. 旋转成体：长方形绕边旋转成圆柱、直角三角形绕直角边旋转成圆锥、半圆绕直径旋转成球； 2. 截面：平面截几何体得到的平面图形，截面形状由几何体类型、截取角度与位置决定。 知识点9 七巧板基础 由7块平面图形组成：5个等腰直角三角形、1个正方形、1个平行四边形，可拼接各类规则与创意平面图形。 题型1 常见的几何体 解题技巧：1. 熟记六大基础几何体：正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球；2. 快速区分特征：全平面几何体有棱有顶点，曲面几何体无棱无直边；3. 结合生活实物匹配几何体，规避概念混淆；4. 明确特殊几何体：球只有曲面、无棱无顶点，圆锥仅有一个底面。 【典例1】．下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【变式1】．下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图所示，图形的名称是________． 【变式3】．如图所示的几何体，这个几何体的名称是______． 题型2 立体图形的分类 解题技巧（双标准分类法）：1. 按形态分类：柱体（上下等粗）、锥体（上尖下宽）、球体；2. 按面分类：全平面立体图形、含曲面立体图形；3. 严格按照题干指定标准分类，不混用分类逻辑；4. 排除平面图形，只针对占有空间的立体图形归类。 【典例2】．下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【变式3】．下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 题型3 几何体中的点、棱、面 解题技巧：1. 套用n棱柱万能公式：面数n+2、棱数3n、顶点数2n，快速计数；2. 牢记动态口诀：点动成线、线动成面、面动成体；3. 计数分层进行，区分平面与曲面、直线与曲线，避免漏数、重复数；4. 明确相交规律：面面相交得线、线线相交得点。 【典例3】．有一个棱柱由5个面围成，那么它有（     ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 【变式1】．如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到的两个立体图形的棱数之差为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式2】．一个直棱柱共有18条棱，所有侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长是_________厘米 ． 【变式3】．如果一个棱柱共有18条棱，那么它是_____棱柱． 题型4 从不同方向看几何体 解题技巧（三视图三步法）：1. 主视图：看左右列数、上下层数，反映几何体长与高；2. 左视图：看前后层数、上下层数，反映几何体宽与高；3. 俯视图：看左右、前后布局，确定底层结构；4. 遮挡规则：看得见画实线，看不见画虚线，堆叠图形分层判断。 【典例4】．如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个． 【变式2】．一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 【变式3】．如图所示几何体均是由棱长为的小正方体摆成的．第1个几何体中，共有1个小正方体，从正面看有1个小正方形，表面积为；第2个几何体中，共有5个小正方体，从正面看有4个小正方形，表面积为…… (1)第3个几何体中，共有______个小正方体，从正面看有______个小正方形，表面积为______； (2)按图中摆放方法类推，第8个几何体中，小正方体的个数是______个，从正面看有______个小正方形，表面积为______； (3)若摆出的几何体从正面看有13个小正方形，求此时摆出的几何体的表面积． 题型5 几何体展开图的认识 解题技巧：1. 特征匹配：棱柱展开图为长方形+多边形、圆柱为长方形+双圆、圆锥为扇形+单圆；2. 折叠验证：脑补向内折叠过程，判断各面能否封闭贴合；3. 数量排除：面的数量、形状不匹配直接排除错误选项；4. 区分侧面与底面，杜绝混淆几何体展开结构。 【典例5】．如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图是一个几何体的展开图，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是________． 【变式3】．如图，下列图形中，①能折叠成______，②能折叠成______，③能折叠成______，④能折叠成______． 题型6 由展开图计算几何体的表面积 解题技巧：1. 拆分图形：将展开图拆解为正方形、长方形、圆形、扇形等基础平面图形；2. 分块计算：逐一算出每个面的面积，求和得到总面积；3. 区分定义：表面积包含所有底面与侧面，侧面积仅算侧面；4. 审题避坑：看清题目是否需要保留底面，圆柱、圆锥题型高频考查。 【典例6】．已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【变式1】．一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【变式2】．如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【变式3】．如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 题型7 由展开图计算几何体的体积 解题技巧：1. 提取数据：从展开图中精准找出棱长、底面半径、几何体的高；2. 匹配公式：根据几何体类型套用对应体积公式；3. 统一单位：保证所有长度单位一致，再代入计算；4. 区分概念：面积是平面量、体积是空间量，不混淆两类公式。 【典例7】．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【变式1】．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图是一个长方体铁皮盒的一部分，它的体积是( )立方分米．（单位：分米） 【变式3】．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 题型8 正方体几种展开图的识别 解题技巧（秒杀判定法）：1. 熟记合法4类11种展开图：一四一、一三二、二二二、三三型；2. 直接排除禁忌图形：出现田字形、凹字形、五连方，一律无法折成正方体；3. 快速校验：每行正方形数量不超过4个，无封闭重叠区域；4. 不规则零散方块布局，优先判定为非法展开图。 【典例8】．图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【变式3】．下列图形可以折成一个正方体的有______．（填序号） 题型9 正方体相对两面上的字 解题技巧（三大核心规律）：1. 同行隔一相对：同一行正方形，间隔一个为对面；2. 异行隔列相对：上下行错位排列，间隔一列的面为对面；3. Z字两端相对：Z型结构首尾两个面互为相对面；4. 核心原则：相邻面绝对不是相对面，一组展开图仅有3组相对面。 【典例9】．“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．复 B．兴 C．有 D．我 【变式1】．“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【变式2】．下图是一个正方体的展开图，在相应的正方形内填上一个适当的数，使得正方体相对的面上的两数互为相反数，则__________． 【变式3】．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 题型10 含图案的正方体展开图 解题技巧：1. 先定相对面：通过相对面规律排除图案矛盾选项；2. 再看相邻面：折叠后相邻图案的位置、朝向、角度保持不变；3. 锁定特殊图案：以阴影、圆点、斜线等特殊图形为参照，比对立体图与展开图；4. 杜绝图案翻转、错位，严格匹配相邻关系。 【典例10】．把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 【变式3】．如图是一个无盖的正方体纸盒的展开图．“”所在的位置是________面． 题型11 求展开图上两点折叠后的距离 解题技巧：1. 分类判断：折叠后两点距离分为棱长、面对角线、体对角线三类；2. 空间转化：将展开图平面两点，转化为正方体立体空间线段；3. 公式计算：棱长直接取值，对角线利用勾股定理求解；4. 结合棱长统一数值，精准计算折叠后最短距离。 【典例11】．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式2】．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【变式3】．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 题型12 补一个面使图形围成正方体 解题技巧：1. 分类判断：折叠后两点距离分为棱长、面对角线、体对角线三类；2. 空间转化：将展开图平面两点，转化为正方体立体空间线段；3. 公式计算：棱长直接取值，对角线利用勾股定理求解；4. 结合棱长统一数值，精准计算折叠后最短距离。 【典例12】．如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【变式1】．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【变式3】．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 题型13 平面图形形状的识别 解题技巧：1. 核心判定：所有线条、图形在同一平面内，无空间厚度即为平面图形；2. 熟记常见图形：多边形、圆、扇形、线段、角均为平面图形；3. 排除立体图形：带空间结构、曲面立体造型直接排除；4. 简洁判断：仅看轮廓平面形态，不脑补立体结构。 【典例13】．下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号) 立体图形{ …}； 平面图形{ …}． 【变式3】．如图所示的是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有________． 题型14 用七巧板拼图形 解题技巧：1. 核心判定：所有线条、图形在同一平面内，无空间厚度即为平面图形；2. 熟记常见图形：多边形、圆、扇形、线段、角均为平面图形；3. 排除立体图形：带空间结构、曲面立体造型直接排除；4. 简洁判断：仅看轮廓平面形态，不脑补立体结构。 【典例14】．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，用图①的一副七巧板拼成图②小鱼的图案，若七巧板面积为32，则图②中阴影部分的面积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 【变式3】．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 题型15 平面图形旋转后所得的立体图形 解题技巧（固定模型秒杀）：1. 长方形/正方形绕边旋转→圆柱；2. 直角三角形绕直角边旋转→圆锥；3. 半圆绕直径旋转→球；4. 组合图形旋转：拆分基础图形，分别判断旋转产物，再整合整体立体造型。 【典例15】．将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】．如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 【变式3】．如图，将一个长是、宽是的长方形，绕长所在的直线旋转一周，得到的立体图形的侧面积是______．（结果保留） 题型16 截一个几何体 解题技巧：1. 平面截正方体：可截出三角形、四边形、五边形、六边形，无法截出直角三角形、七边形；2. 平面截圆柱：横截圆、竖截长方形、斜截椭圆；3. 平面截圆锥：横截圆、斜截椭圆、竖截三角形；4. 核心逻辑：截面边数=平面与几何体相交的面数，相交面越多、截面边数越多。 【典例16】．用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 【变式1】．用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 【变式3】．用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 1．把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 2．下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（     ） A． B． C． D． 4．下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将一个长方形纸片的四个角剪去个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．将一张边长为的正方形纸片的四个角各减去一个同样大小的边长为的小正方形，把剩余的纸片沿如图所示的虚线折叠后，可得到一个无盖长方体，用含有和的代数式表示该无盖长方体的容积为（   ） A． B． C． D． 7．在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（   ） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面 8．如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 9．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 10．下列说法正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B．如图是正方体的展开图形，正方体的对面数字相等，则 C．圆锥的侧面展开图是一个圆 D．用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 11．用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 12．下列各硬纸片分别沿虚线折叠，得不到长方体纸盒的是_____．（请填写序号） 13．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 14．如图，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是_______． 15．如图，将直角三角形绕着边长为4的直角边旋转一周，得到的立体图形的体积为______． 16．已知，，，，，是一个正方体的六个面，其展开图如图所示．若上的式子为，上的式子为，上的式子为，上的式子为，上的式子为，且相对两个面上的式子的和都相等． (1)求的值； (2)求上式子的值． 17．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示， (1)这个几何体至少需用多少个小正方体搭成的？至多需用多少个小正方体搭成的？ (2)并画出所有从左面看该几何体得到的形状图． 18．如图是用9块完全相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出这个几何体从三个方向看得到的形状图． 19．（问题背景） 小明准备仿照图制作一个上顶面封闭、下底面不封闭的灯罩，抽象出几何模型是一个顶面为正五边形的直五棱柱（如图），运用、两种型号硬纸板进行裁剪，已知一张型号硬纸板可剪成个小长方形侧面，一张型号硬纸板可剪成个与之配套的正五边形顶面．裁剪后剩余角料不再利用．现有两种型号的硬纸板共计张，且裁剪出的侧面和顶面恰好满足组装完整，问：每种型号的硬纸板各多少张？ （理解问题） （1）每个灯罩由__________个形状、大小完全相同的小长方形侧面和__________个形状、大小完全相同的正五边形底面组成． （2）分析问题： 设其中张硬纸板是型号，其余的都是型号，请将下表补充完整（用含的代数式表示） 型号 型号 硬纸板数量 __________ 小长方形侧面数量 __________ 正五边形顶面数量 __________ （解决问题） （3）每种型号的硬纸板各多少张？能制成多少个灯罩？列出方程并求解． 20．【问题情境】某实践小组开展“长方体纸盒制作”的活动． 【提出问题】 (1)如图1，将边长为的正方形纸板剪去4个边长为的小正方形（阴影部分），再沿虚线折成无盖长方体纸盒，与点重合的是点_____． (2)如图2，一长方形纸板，长是宽的2倍，将其四周剪去2个边长为的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形（阴影部分），然后沿虚线折合成一个有盖的长方体盒子．设长方形纸板的宽是． ①则长方体盒子底面的长为_____；（用含的代数式表示） ②若长方体盒子底面的长是宽的倍，求该长方体盒子的体积． (3)先将（2）中折成的长方体盒子装满水，再倒入（1）中折成的长方体盒子中，请直接写出（1）中长方体盒中水面的高度．（两个盒子都不漏水） 21．综合与探究 数学课上小婷想用一块边长a为正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，希望所制作的盒子能够收纳尽可能多的物品． (1)如图1，在正方形硬纸板上画小正方形网格，纸板经过适当裁剪，可以折成一个类似图2所示的无盖长方体盒子．请你在网格中画出裁剪线； (2)通过裁剪、折叠后可以发现：盒子的体积V与硬纸板边长a以及盒子的高度h有关．用含h的代数式表示盒子的体积V． (3)若盒子的高度h都是取整数，则h取何值时，盒子的体积最大？最大值是多少？你是怎样解决这个问题的？在解决问题的过程中，思考并回答：h的值逐渐增大，相应的V值怎样变化？ (4)如果盒子的高度h不是整数，你又如何解决（3）中的最大体积问题？（h精确到，V精确到）． 22．综合与实践 生活中很多物品的包装盒都可以近似看作长方体，小华在学习了数学活动“制作包装盒”这节课时，用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子，按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，做成了一个无盖的长方体盒子并进行如下探究： (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为______cm，底面积为______，请你用含的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长单位：cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积（单位：） 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (4)现在需要对无盖长方体盒子的所有外表面(包括底面)进行涂色，当时，需要涂色的面积是多少？ 23．小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据． 正多面体 F n V E r 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 (1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________． (2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示） ②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示） (3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形． 24．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 25．【项目式学习】——制作正方体祝福盒． 新年来临之际，文创社的同学们拟用卡纸制作若干个正方体祝福盒． 剪裁说明 素材一 一卷卡纸规格：宽为，长度足够． 素材二 如图1所示，卡纸有两种剪裁方式（展开图1）和展开图2），可围成的祝福盒如图2所示（不考虑接缝和损耗），每个祝福盒的棱长均为．       素材三 为了最大化的利用卡纸尽量减少浪费，小明先剪出一块大小的卡纸，如图3所示，用于研究卡纸的剪裁方案和利用率． 卡纸利用率公式为：卡纸利用率 问题解决 理解问题 （1）按展开图2可以围成祝福盒_____（填“”或“”）； （2）①在图3的卡纸中，最多可以剪裁出_____个祝福盒，卡纸的利用率为_____； ②若想尽可能多的剪裁出祝福盒B，请你在图3中画出设计示意图（其展开图在卡纸上的分布情况），要求：剪裁部分打阴影，外轮廓用尺子画实线描出，不用写作图结论． 并回答：最多可剪裁出_____个祝福盒，卡纸的利用率为_____． 开展研究 （3）想要剪裁出个祝福盒，卡纸的总长度最少为_____（用含的代数式表示）． 成果应用 （4）若这卷卡纸全部用于制作祝福盒，并采用了利用率最高的方案制作，完成后发现卡纸恰好用完．经过同学们的计算，发现卡纸利用率高达，请问他们一共制作了多少个祝福盒？（卡纸的总面积利用率卡纸剪裁部分面积，请使用一元一次方程求解） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $