1.5.1 等腰三角形的性质与判定 专项练习 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质与判定，通过选择、填空、解答题梯度覆盖周长计算、角度推理、分类讨论等核心考法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|含多解分类（第1题）、性质应用（第2题）、网格作图（第3题）|从性质理解（等边对等角）到判定应用（等角对等边），渗透分类讨论思想| |填空|7题|涉及中线分周长（第11题）、高与夹角（第14题）、垂直平分线（第15题）|结合三线合一性质，强化边角关系转化，衔接轴对称知识| |解答|3题|含垂直平分线应用（第18题）、角平分线综合（第19题）、实际建模（第20题）|从基础计算到综合证明，体现性质与判定的逻辑推导，培养应用意识|

1.5.1等腰三角形的性质与判定 专项练习 一、选择题 1、已知等腰三角形的周长为 24，且一边长为 4，则腰长为（ ） A．4 B．20 C．10 D．4 或 10 2、如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是角平分线，点 P 是 AD 上一点，下列结论错误的是（ ） A．BD=CD B．AD=BC C．△ABP≌△ACP D．∠PBD=∠PCD 3、在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知 A，B 是两个格点，如果点 C 也是图中的格点，且使△ABC 为等腰直角三角形，那么点 C 的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 4、已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，斜边长为 5．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A．16 B．18 C．16 或 18 D．14 或 16 5、若△ABC 的周长为 24，一边长为 6，则此等腰三角形的底边长是 ( ) A．6 B．12 C．6 或 9 D．6 或 12 6、一个等腰三角形的顶角是 50° , 则它的底角是 ( ) A ．50° B ． 65° C ．75° D ．80° 7、如果△ABC 是等腰三角形，∠A=50°，那么∠C 的度数不可能是 （ ） A．50° B．65° C．75° D．80° 8、如图，△ABC 中 AB=AC，点 D 在 BC 边上，AD=BD，AC=CD，则∠B 的度数为（ ） A．36° B．40° C．45° D．30° 9、如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD。其中正确的是（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D. ①③ 10、如图，在 ΔABC 中，∠ACB=90°,∠BAC=30°, 在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得 ΔPAB 为等腰三角形，这样的点 P 共有 ( ) A ．3 个 B ．4 个 C ．5 个 D ．6 个 二、填空题 11、在等腰△ABC 中，AB=AC，一边上的中线将这个三角形的周长分为 15 或 12 两个部分，则该等腰三角形的底边长等于 ． 12、等腰三角形的底角是顶角的 2 倍，则该三角形的底角度数为 。 13、等腰三角形的周长为 24cm，其中一边长为 6cm，该三角形的腰长为 cm。 14、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 35°，则该三角形的顶角度数为 。 15、已知△ABC 中，AB=AC，∠BAC=40°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，连接 BD，则∠DBC 的度数为 。 16、如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高，点 E、F 是 AD 的三等分点，若△ABC 的面积为 12cm²，则图中阴影部分的面积为 cm²。 17、如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 F，过 F 作 DE∥BC，交 AB 于点 D，交 AC 于 E，那么下列结论中：①△BDF，△CEF 都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③△ADE 的周长等于 AB+AC；④BF＝CF．其中正确的是 。 三、解答题 18、如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB 的垂直平分线 DE 分别交 AC,AB 于点 D,E. (1)若∠A=50∘,求∠CBD的度数; (2)若AB=7,BC=5,求△CBD的周长 19、 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB 的角平分线交于点 O． （1）△OBC 是等腰三角形吗？为什么？ （2）连接 AO，AO 是 BC 的垂直平分线吗？为什么？ 20、 图 1 所示的是某超市入口的双翼闸门，如图 2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 8cm，双翼的边缘 AC＝BD＝50cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.1等腰三角形的性质与判定专项练习答案解析 一、选择题 1、答案：C 解析： 分情况讨论： 若边长为 4 的边是腰，则底边长为 ，此时 ，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去。 若边长为 4 的边是底边，则腰长为 ，此时 ，满足三边关系。 因此腰长为 10。 2、答案：B 解析： 已知 ，AD 是角平分线，根据等腰三角形 "三线合一" 的性质： AD 是 BC 的中线，因此 ，A 选项正确； AD 是 BC 的高，即 ，但无法推出 ，B 选项错误； 在和中，，，，因此，C 选项正确； 由全等可得 ，因此，D 选项正确。 3、答案：C 解析： 结合网格特点，分两种情况讨论： 当 AB 为等腰直角三角形的腰时，可找到 4 个符合条件的 C 点； 当 AB 为等腰直角三角形的底边时，可找到 4 个符合条件的 C 点； 总计满足条件的点 C 共有 8 个。 4、答案：C 解析： 两个全等的直角三角形（3,4,5）拼接等腰三角形，有两种拼接方式： 将长度为 3 的直角边重合拼接，得到的等腰三角形三边长为 5、5、8，周长为 ； 将长度为 4 的直角边重合拼接，得到的等腰三角形三边长为 5、5、6，周长为 ；因此周长为 16 或 18。 5、答案：A 解析： 分情况讨论： 若边长为 6 的边是腰，则底边长为 ，此时 ，不满足三角形三边关系，舍去。 若边长为 6 的边是底边，则腰长为 ，满足三边关系。 因此底边长为 6。 6、答案：B 解析： 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为 180°，因此底角度数为 。 7、答案：C 解析： 分情况讨论的角色： 若是顶角，则； 若是底角，则：当是顶角时，； 当是底角时，； 因此的可能值为 50°、65°、80°，不可能是 75°。 8、答案：A 解析： 设： 由得； 由得，因此； 由得； 根据三角形内角和：，解得 ，，即。 9、答案：A 解析： 过 E 作于 F： 因为 AE 平分，，，所以； 因为 E 是 BC 中点，所以，因此，可证 DE 平分，即，②正确； 可证，，因此，，所以，④正确； 由全等可得，，因此，①正确； 在中，DE 是斜边，，因此，③错误。 综上，正确的是①②④。 10、答案：D 解析： 分三种情况寻找满足为等腰三角形的点 P： 以 A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线 AC、BC 各有 1 个交点，共 2 个点； 以 B 为圆心，AB 为半径作圆，与直线 AC、BC 各有 1 个交点，共 2 个点； 作 AB 的垂直平分线，与直线 AC、BC 各有 1 个交点，共 2 个点； 总计满足条件的点 P 共有 6 个。 二、填空题 11、答案：7 或 11 解析： 设腰长为，底边长为，中线将周长分为两部分，分两种情况： 若，，解得，，此时三边长为 10、10、7， 满足三边关系； 若，，解得，，此时三边长为 8、8、11， 满足三边关系；因此底边长为 7 或 11。 12、答案：72° 解析： 设顶角为，则底角为，根据内角和： ，解得，因此底角为。 13、答案：9 解析： 分情况讨论： 若边长为 6cm 的边是腰，则底边长为，此时，不满足三边关系，舍去； 若边长为 6cm 的边是底边，则腰长为，满足三边关系。 因此腰长为 9cm。 14、答案：55° 或 125° 解析： 分锐角三角形和钝角三角形两种情况： 若为锐角三角形，一腰上的高在三角形内部，此时顶角为； 若为钝角三角形，一腰上的高在三角形外部，此时顶角的补角为，因此顶角为。 15、答案：30° 解析：已知，，因此底角； AB 的垂直平分线交 AC 于 D，因此，所以； 因此。 16、答案：6 解析： 因为，AD 是 BC 边上的高，所以 AD 是的对称轴。 根据对称性，阴影部分的面积等于面积的一半，即。 17、答案：①②③ 解析： 因为 BF 平分，，所以，因此，同理，所以、都是等腰三角形，①正确； ，②正确； 的周长为，③正确； 只有当时，才有，进而，题目未说明是等腰三角形，因此④错误。 三、解答题 18、解答： (1) 求的度数： 已知，，因此； DE 是 AB 的垂直平分线，因此，所以； 因此。 (2) 求的周长： 由垂直平分线的性质，，因此的周长为： 因为，，因此周长为。 19、解答： (1) 是等腰三角形，理由如下： 已知，因此； 因为 BO 平分，CO 平分，所以，； 因此，根据 "等角对等边"，可得，所以是等腰三角形。 (2) AO 是 BC 的垂直平分线，理由如下： 已知，因此点 A 在 BC 的垂直平分线上； 由 (1) 可知，因此点 O 也在 BC 的垂直平分线上； 两点确定一条直线，因此 AO 是 BC 的垂直平分线。 20、解答： 过点 A 作于点 E，过点 B 作于点 F。 在中，，，因此； 同理，在中，，，因此； 已知端点 A 与 B 之间的距离为 8cm，因此当双翼收起时，可通过的最大宽度为： 学科网（北京）股份有限公司 $