1.5《等腰三角形》同步练习2026-2027学年八年级数学上册苏科版

**基本信息** 以等腰三角形性质与判定为核心，通过基础巩固、中档综合到提高探究的三层设计，实现从单一知识点到动态综合应用的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|周长计算、三线合一、简单性质应用|单选题1-2、填空题6-7，直接应用概念，强化基础认知| |中档层|性质与平行线/外角结合、面积计算、分类讨论|单选题3-4、填空题8-9，融入图形变换，培养推理意识| |提高层|多结论判断、旋转综合、动态探究|单选题5、填空题10、解答题，涉及动态问题与跨知识综合，发展创新意识|

1.5《等腰三角形》同步练习 一、单选题 1.已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为() A.25 B.25或20 C.20 D.15 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，已知∠B=62°，则∠BAD的度数为 A.62° B.54° C.38° D.28 3.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=9O°，过点C作CD‖AB,连接AD交BC于点E,若 ∠D=23 ，则的度数为() D E B A.63° B.67 C.68° D.70° 4.如图，在△ABC中，∠A=90,AB=AC=6,D为边BC的中点，点E,F分别在边AB,AC上， AE=CF ,则四边形4EDF的面积为(） B D A.18 B.9V2 C.9 D.6V2 5.如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P,BE=BC,D在AC延长 线上，PG∥AD交BC于F,交AB于G,连接CP.下列结论：①∠ACB=3∠APB;② S.PAC S.PAB AC:AB ③BP垂直平分CE,④∠PCF=∠CPF;⑤GF+FC=G1.其中正确的有 D G B A.①②③④ B.②③⑤ C.②③④⑤ D.①②③④⑤ 二、填空题 6.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=2,若∠B=15°，则腰AC上的高为一· B 7,某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC (如图2)，若AB=AC=26,AD1BC于点D,∠ABC=30°，则AD的长为 B D 图1 图2 8.如图，在等腰直角△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC,P是BC上一点，BP=AB.若 AP=1 0,则点C到1P的距离为 9.如图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，点D在BC边上，且BA=BD,点E是线段AC上的一个 动点（不与点A,点C重合），若△ADE为等腰三角形，则∠AED的度数为」 10.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,E点为射线CB上一动点，连接AE,将AE 绕点A逆时针旋转90°至AF.当E点在射线CB上运动时，连接BF与射线AC交于D点， CE 6 CD BE5,则AD 三、解答题 11.已知，如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在边AC、AB上，且BE=CD,BD与CE 相交于点O. A E D (1)求证：OB=OC: (2)连接直线OA,证明直线OA垂直平分BC. 12.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，BD=CE. D (1)求证：△ABD≌△ACE: (2)试判断△ADE的形状，并说明理由. 13.在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠CAB,交边BC于点D,点A与点E关于BC 所在直线对称，连接BE,CE,延长AD交BE于点F求证： (1)△BDF是等腰三角形； (2)AB+BD=2AC. 14.在ABC中，∠B=∠C,点D在BC边上，∠BAD=50°（如图1）. B B D D 图1 备用图 备用图 (1)若E在△ABC的AC边上，且∠ADE=∠B,求∠EDC的度数： (2)若∠B=30°，E在△ABC的AC边上，△ADE是等腰三角形，求∠EDC的度数；（简写主要解 答过程即可) 15.已知△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD,连接BD与EC相交于点F, BD与AC G 相交点. B B 图1 图2 图3 (1)猜想：如图1所示，当∠BAC=60°时，则∠BFC=; (2)探究：如图2所示，当∠BAC=90°时，请求出∠BFC的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当AB/CE,AB=5,EC=8,请求出DF的长度. 16.如图，△ABC中，AB=AC,D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作 FGLBC于点G,并交M于点E. E B 20 GD (1)求证：△AFE为等腰三角形. (2)若E为AB的中点，求证：EF=2EG. 17.如图，在RteABD中，∠ADB=90°，点C在△ABD的右侧，连接AC、DC,AD平分LBAC, 过点D作DE‖AC交AB于点E. E B D (1)求证：△ADE是等腰三角形； (2)若AB=18,求ED的长. 18.如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D. 图1 图2 (1)求证：△BCD为等腰三角形. (2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2，求证：BD+AD=AB+BE (3)若△ABC的外角平分线AE交CB的延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立. 若成立，请证明；若不成立，直接写出正确的结论， 19.综合与实践 【问题发现】 (I)如图1，在△ABC与△CED中，∠B=∠E=∠ACD=90°，AC=CD,B,C,E三点在同一直 线上，AB=4,ED=5,则BE= 【问题提出】 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,过点C作CD⊥AC,且CD=AC,求△BCD的 面积； 【问题解决】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，△ACD的面积为12，CD的长为 6,求△BCD的面积. D D C B B 图1 图2 图3 参考答案策 一、单选题 1.A 解：分两种情况讨论： ①若腰长为5，底边长为10，三边长为5,5,10， 5+5=10,不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ②若腰长为10，底边长为5，三边长为10,10,5， .10+5>10,满足三角形三边关系，可以构成三角形， .周长为10+10+5=25， 即该等腰三角形的周长为25. 2.D 解：，AB=AC,AD是BC边上的中线， .AD⊥BC, .∠ADB=90°， .∠B=62°， ∴.∠BAD=90°-∠B=28°. 3.C 解：Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°， .∠B=45°， .CDIl AB ∴.∠BCD=∠B=45°. ∠I是△CDE的外角， ∴.∠1=∠BCD+∠D=68°. 4.C 解：连接AD,如图： E B ∠BAC=90°，AB=AC=6,点D是BC中点， :∠BAD=∠CAD=)∠BAC=45,∠B=∠C=45 ∴.△ABD,△ACD都是等腰直角三角形， ∴BD=AD=CD, 又，AE=CF,∠DAE=∠DCF=45°， ,△ADE≌ACDF(SAS) SAADE =SACDF Ssanun 又：S4c=4B-4C=6x6x18 2 2 S边形nr=2S,c-9 故选：C 5.C 解：，∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P, .∠BAC=2LBAP,∠CBE=2LPBE ∴.∠ACB=∠CBE-∠CAB=2∠PBE-2∠PAB=2∠APB,故①错误； .AP平分∠BAC, ∴，点P到AC,AB边的距离相等， .SPMc:SPB=AC:AB,故②正确： BE=BC,BP平分∠EBC, ∴BP垂直平分CE,故③正确； ,∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P, ,点P到AC,AB边的距离相等，点P到BC,AB边的距离相等， ∴.点P到AC,BC边的距离相等， ∴.CP平分∠BCD, ∴.∠FCP=∠DCP, PG∥AD, .∠CPF=∠DCP, ∴.∠PCF=∠CPF,故④正确； ..CF=PF, ∴.PG=FG+PF=CF+FG, .PG∥AD, ∴.∠APG=∠CAP, .AP平分∠BAC, ∴.∠BAP=∠CAP, .∠BAP=∠APG, ∴.GA=PG, .GF+FC=GA,故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③④⑤ 二、填空题 6.1 解：AB=AC=2,∠B=15°， ∴.∠C=∠B=15°， 过点B作AC的垂线交CA的延长线于点D,如图， D 则∠BAD=∠ABC+∠C=30°， BD=14B=1 2 故腰AC上的高为1. 7.13 解：AD1BC,∠ABC=30°， 4D4-26=1. 8.5 解：过点C作CF⊥AP,交射线AP于点F,过点B作BD⊥AP于点D,BD的延长线交AC于点 E, 则∠PDE=∠E=90°， .在等腰直角△ABC中，∠BAC=90,AB=AC, .∠ABC=∠ACB=45°， .BP=AB, 4E=PE,∠BAP=∠BPA-=80-∠ABC)=675°， ∴.∠EAP=∠BAC-∠BAP=22.5°， ∴.∠EAP=∠EPA=22.5°， ∴.∠PEC=∠EAP+∠EPA=45°， ∴.PE=PC,∠CPE=90°， ∴.∠CPF+∠EPD=90°， .∠EPD+∠PED=90°， ∴.∠PED=∠CPF, PEDCPF(AAS) ∴CF=PD, .AP=10, PD=)4P=5 2 .CF=5. 9.75°或120° 解：在△ABC中，∠B=∠C=40°， ,∠BAC=180°-（∠B+∠C)=100° 在△BAD中，BA=BD, ∴.∠BAD=∠BDA, .∠BAD+∠BDA+∠B=180°， ∴.2∠BAD+40°=180°， ∴∠BAD=70°， ∴.∠DAC=∠BAC-∠BAD=30°， 在△ACD中，∠DAC=30°，∠C=40°， .∠C>∠DAC, .AD>CD, :点E是线段AC上的一个动点（不与点A,点C重合），且△ADE为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当AE=AD时，如图1所示： 图1 在△AED中，AE=AD, ∴.∠AED=∠ADE, .∠AED+∠ADE+∠DAC=180°， .2∠AED+30°=180°， .∠AED=75°： ②当AE=DE时，如图2所示： 图2 在△AED中，AE=DE, .∠EDA=∠DAC=30°， .∠EDA+∠DAC+∠AED=180°， ∴.30°+30°+∠AED=180°， .∠AED=120°， 综上所述：∠AED的度数为75°或120°. 55 10.7或7 解：当点E在线段CB上时， 过点F作FH⊥AC,垂足为点H, 将AE绕点A逆时针旋转90°至AF, .AE=AF∠FAE=90° ∴.∠FAH+∠CAE=90° :FH⊥AC .∠FAH+∠HFA=90°∠FHA=90° ∴.∠CAE=∠HFA :∠ACB=90° ∴.∠ACE=∠FHA=90° ∴.△FAH≌AAEC ∴AH=ECFH=AC ,∠FHD=∠BCD=90°∠FDH=∠BDC ∴.AFDH≌ABDC .DH=DC .CE 6 BE 5, 设CE=6r,BE=5r,则9 BC=AC=11x .∴.AH=EC=6x :CD=AC-AH_11x-6x 5x 2 2 2, 5 CD CD 5 AD-AC-CD 11x- x17. 2 C D E H B 当点E在射线CB上时， 过点F作FG⊥AC,垂足为点G, 将AE绕点A逆时针旋转90°至AF, .AE=AF∠FAE=90° .∠FAG+∠CAE=90 :FG⊥AC .∠FAG+∠GFA=90°∠FGA=90° ∴.∠CAE=∠GFA .·∠ACB=90° ∴.∠ACE=∠FGA=90° .AFAG≌AAEC 3 ..AG=EC FG=AC .AC=BC .∴.FG=BC :∠FGD=∠BCD=90°∠FDG=∠BDC .AFDG≌ABDC ..DG=DC .CE6 BE 5, 六设CE=6r B距=5x,则 BC=AC=x ∴.AG=EC=6x ..CD=AG-AC_6x-x_5x 2 22, .CD CD 2x 5 AD AC+CD x+ 2 4 G CD B E CD 5 CD 5 综上所述，AD17或AD7· 线段和差关系，解决本题的关键是根据点E的位置分类讨论. 三、解答题 11.(1)证明：'AB=AC,BE=CD ∴.AB-BE=AC-CD, .AE=AD, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠A=∠A AD=AE’ △ABD≌△ACE(SAS) .∠ABD=LACE, .AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, .∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE, .∠OBC=∠OCB, ..OB=OC; (2)证明：连接OA,延长AO交BC于点F, ..AB=AC, ∴.点A在BC的垂直平分线上， .OB=OC, ∴点O在BC的垂直平分线上， ∴直线OA垂直平分BC. O B 12.(1)证明：AB=AC, ∴.∠B=∠C, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠B=∠C BD=CE' △ABD≌△ACE(SAS) (2)解：△ADE为等腰三角形，理由如下： 由(1)知△ABD≌△ACE, .∴AD=AE, .△ADE为等腰三角形. 13.(1)证明：AC=BC,∠ACB=90°， ∴.∠CAB=∠CBA=45°， ,AD是∠CAB的平分线， ∴.∠CAD=∠BAD=22.5°， ∴.∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5°， ,点A与点E关于直线BC对称， ∴.∠EBC=∠CBA=45°， ∴.∠ABF=90°， ∴.∠AFB=90°-∠BAD=90°-22.5°=67.5°， ∴∠BDF=∠AFB, ∴.BF=BD; ∴△BDF是等腰三角形； (2)证明：过D作DK⊥AB于K,如图： C D .AD平分∠CAB, .∠CAD=∠KAD, DK⊥AB, ∴.∠AKD=90°=∠ACD, 在△ACD和△AKD中， [∠ACD=∠AKD ∠CAD=∠KAD AD=AD 、△ACD≌△AKD(AAS) ∴.AC=AK,CD=DK, AC=BC,∠ACB=90°， .∠KBD=45°， ∴△KBD是等腰直角三角形， .BK=DK ∴BK=CD, AB=AK+BK ∴.AB=AC+CD, .AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC, 14.(1)解：.∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC, .∴.∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD, .∠ADE=∠B,∠BAD=50°， ∴.∠EDC=∠BAD=50°； (2)解：∠B=∠C,∠B=30°， .∠BAC=180°-30°-30°=120°， ∠BAD=50°， ∴.∠DAE=120°-50°=70°，∠ADC=∠BAD+∠B=80°， 分三种情况讨论： 如图，当EA=ED时， D ∠EDA=∠EAD=70° ∴.∠EDC=∠ADC-∠EDA=80°-70°=10° 如图，当AE=AD时， E B D ∠4DE=5080°-70）=5°， ∴.∠EDC=80°-55°=25°， 如图，当AD=ED时， B D C∠DEA=∠DAE=70° .∴∠ADE=180°-70°-70°=40°， ∴.∠EDC=80°-40°=40°， 综上所述，∠EDC的度数为10°，25°或40°. 15.（1)解：，∠BAC=∠EAD, .∴.∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ∴.∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△BAD≌ACAE(SAS) ∴.∠ABD=∠ACE 在△BAG和△CFG中，∠AGB=∠FGC,∠ABD=∠ACE, .∴.∠BFC=∠BAC .∠BAC=60°， .∠BFC=60°， (2)解：，∠BAC=∠EAD ∴.∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD .∴.∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .△BAD≌△CAE(SAS) ∴.∠ABD=∠ACE 在△BAG和△CFG中 :∠AGB=∠FGC∠ABD=∠ACE ∴.∠BFC=∠BAC '∠BAC=90° .∠BFC=90° (3)解：由(1)得△BAD≌△CAE,∠BFC=∠BAC, ∴.BD=CE .AB∥CE, ∴.∠ACE=∠BAC∠BFC=∠ABF .'∠BFC=∠BAC .∴.∠ACE=∠BAC=∠BFC=∠ABF ∴.GF=GCAG=BG .∴.AG+GC=BG+GF .BF=AC=AB .·AB=5EC=8 .DF =BD-BF=EC-AB=3 16.(1)证明：，AB=AC,D为BC边的中点， .AD⊥BC,∠CAD=∠BAD, .FG⊥BC, .AD∥FG, ∴.∠F=∠CAD,∠AEF=∠BAD, ∴.∠AEF=∠F, ∴.AE=AF, ∴.△AFE为等腰三角形. (2)证明：过点A作AH⊥FG,如图所示： B GD 则∠AHE=90°， .'AF =AE, EH-FHEF FG⊥BC, ∴.∠BGE=90°， ∴.∠AHE=∠BGE, 点E为AB的中点， .'AE=BE, .∠AEH=∠BEG, ,△AEH≌△BEG(AAS) .EG=EH, 即EF=2EG 17.(1)证明：DE‖AC, .∠CAD=∠ADE AD ∠BAC 平分 ∴.∠CAD=∠EAD .∴.∠EAD=∠ADE, △ADE 是等腰三角形. (2)解：∠ADB=90°， .∠BAD+∠B=90°∠ADE+∠BDE=90° ,∠BAD=∠EAD=∠ADE ∴.AE=DE∠B=∠BDE ∴.BE=DE=AE .DE=14B=1x18=9 1 2 2 18.(1)证明：△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°， ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-60°-40°=80° BD是 ABC 的平分线， ∠DBC=5∠ABC=40° ∴.∠DBC=∠ACB ∴△BCD 为等腰三角形； (2)解：如图，在AC上截取AF=AB,连接EF, ,△BCD为等腰三角形， ∴BD=CD, .BD+AD=CD+AD=AC, .AE平分∠BAC, ∴.∠EAB=∠EAF, ..AE=AE, △ABE≌△AFE(SAS) ∴BE=EF,∠ABE=∠AFE=80°， ∴.∠FEC=∠AFE-∠ACB=40°， ∴.∠FEC=∠ACB, ∴.EF=FC, .'AB+BE=AF+FC=AC, .'BD+AD=AB+BE: (3)解：探究(2)中的结论不成立，正确结论：BD+AD=BE-AB,理由如下： 如图，在BE上截取BF=AB,连接AF, B .∠ABC=80°，∠AFB+∠BAF=∠ABC, ∠AFB=∠BAF=)x80=40° 2 .∠BAC=60°， .∠HAB=180°-∠BAC=120°， .AE平分∠HAB, .∠EAB=∠HAB=x120°=60° 2 .∠EAF=∠EAB-∠BAF=60°-40°=20°， ,∠AEF=∠ABC-∠EAB=20°， ∴.∠EAF=∠AEF, ∴.AF=EF, ,∠AFC=∠ACB=40°， .'AF=AC=EF, .BE-AB=BE-BF=EF AD+CD=AD+BD, 即BD+AD=BE-AB. 19.（1)解：∠ACD=∠E=90° :∠ACB=90°-∠DCE=∠D ∠B=∠E ∠ACB=∠D 在 和 ABC'△CE 中， AC=CD ∴.△ABC≌aCED(AAS) ∴.AB=CE=4BC=ED=5 ∴.BE=BC+CE=9 (2)解：如图1，过D作DE⊥BC交BC延长线于点E. 0 A B 图1 :DE⊥BCCD⊥AC ∴.∠E=∠ACD=90° ∴.∠ACB=90°-∠DCE=∠CDE ∠ABC=∠E=90 ∠ACB=∠CDE 在和 △ABC△CE 中， AC=CD .∴△ABC≌△CED(AAS) ∴.BC=ED=6 .S.CD=BC.DE=18 (3)解：如图2，过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥DC交DC的延长线于点F. B 图2 :△ACD 12 CD, 6 的面积为，的长为， *6s北=12 .AE=4 :∠ADC=45°AE⊥CD ∴.△ADE 是等腰直角三角形， ∴.DE=AE=4 ∴.CE=CD-DE=2 ,:∠ABC=∠CAB=45° .∠ACB=90°AC=BC ∴.∠ACE=90°-∠BCF=∠CBF ∠AEC=∠F ∠ACE=∠CBF 和 △ACE·△CBF 中， AC=BC ∴.△ACE≌△CBF(AAS) ∴.BF=CE=2 CDBF6