3.1.2　第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 聚焦椭圆标准方程及性质应用，通过基础判断、中档运算到综合应用的三层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的递进，培养数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|椭圆位置关系判断|以选择为主（1-4题），直接应用定义判断点/直线与椭圆位置，强化概念理解| |中档|几何量计算与中点弦问题|结合点差法（5题）、离心率公式（7题），通过填空与选择（5-9题）深化运算能力| |拔高|轨迹方程与综合证明|解答题（10、14题）及多选题（6、13题），综合考查逻辑推理与模型构建，如弦长计算与焦点三角形分析|

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 1.点P（4cos α，2sin α）（α∈R）与椭圆C：＋＝1的位置关系是（　　） A.点P在椭圆C上 B.点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外 2. (2026·彭州市校级一模) 直线与椭圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 3. 直线被椭圆截得的线段长为（　　） A.  B.  C.  D.  4. (2025秋·重庆期末) 过点的直线与椭圆交点个数有（　　） A. 个 B. 个 C. 个或个 D. 个 5.椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P（3，2），以P为中心的弦所在直线的斜率为（　　） A.－ B.－ C.－ D.－ 6.（多选）已知椭圆的左，右焦点分别为，为上的动点，则（　　） A. 的离心率为 B. 的最大值为5 C. 存在四个不同的点，使得的面积为1 D. 存在四个不同的点，使得为等腰三角形 7. 已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为　　　　. 8.（2024·福州月考）设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A是椭圆E的上顶点，△AF1F2为等腰直角三角形，延长AF1交椭圆E于点B，则直线BF2的斜率为　　　　. 9. (2024·高二上·浙江期中) 直线被椭圆截得的弦长为　　　　. 10. 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上. (1) 求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值. 11.已知椭圆＋y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为（　　） A.x＋4y＝0 B.x＋4y＝0（－＜x＜） C.4x＋y＝0 D.4x＋y＝0（－＜x＜） 12. (2025秋·南江县校级期末) 若椭圆：上一点与焦点的距离为，则点与另一个焦点的距离是（　　） A. 2 B.3 C.4 D.5 13.（多选）设椭圆的方程为, 斜率为的直线不经过原点, 而且与椭圆相交于两点, 为线段的中点, 下列结论正确的是（　　） A. 直线与垂直 B. 若点坐标为 (  ) , 则直线的方程为 C. 若直线的方程为, 则点坐标为 (  ) D. 若直线过椭圆焦点, 则 14.椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，P（，）是椭圆上一点. （1）求椭圆的标准方程； （2）F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过焦点F1的弦AB的中点为E（－，t），求线段EF2的长. 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 1.D　把P（4cos α，2sin α）（α∈R）代入椭圆方程的左边，得＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4＞1，因此点P在椭圆C外. 2.A　直线可化为，所以直线恒过点,在椭圆的内部, 直线与椭圆的位置关系是相交. 3.B　由方程组，得，所以，所以．故直线被椭圆截得的线段长为．故选：B． 4.C　因为，所以点在椭圆上，则过点的直线与椭圆交点个数有个或个. 5.A　设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则4＋9＝144，4＋9＝144，两式相减，得4（x1＋x2）（x1－x2）＋9（y1＋y2）（y1－y2）＝0.又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，所以k＝－. 6.AC　由题可知，，，，则，A正确；由于，B错误；由于，则，则这样的点有四个，C正确；由于，，则当时，可得正三角形，点在椭圆的上下顶点；当时，同理可得正三角形，点在椭圆的上下顶点；当时，仍可得正三角形，点在椭圆的上下顶点.于是这样的点只有两个，D错误. 7. 　解析：因为，解得，则长轴长与短轴长的比值为，故答案为：． 8.　解析：∵△AF1F2为等腰直角三角形，∴b＝c，则a2＝b2＋c2＝2b2，易知直线AF1的方程为y＝x＋b，代入椭圆方程可得3x2＋4bx＝0，解得x＝0或x＝－b，则B（－b，－b），又F2（b，0），∴＝＝. 9. 　解析：由，得，解得或，则或，所以直线被椭圆截得的弦长为． 10.解： （1）由题意得：，所以，点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：. （2）直线的方程为：,联立，消去后，得关于的一元二次方程，化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即， 经检验符合题意. 11.B　设斜率为2的直线与椭圆＋y2＝1交于点A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），由点差法可知，k＝2＝＝－×＝－×，即x＋4y＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，∴＋（－）2＜1，解得－＜x＜.∴所求的轨迹方程为x＋4y＝0（－＜x＜）. 12.D　椭圆：上一点与焦点的距离为，则.. 13.BD　由椭圆方程, 得. 对于, 设, 则, 两式作差可得, , 则, 故错误; 对于, 若点坐标为 (  ) , 则, 则直线方程为, 即, 故正确; 对于, 若直线的方程为, 点坐标为 (  ) , 则, 故错误; 对于, 椭圆的通径最短, 为, 最长为长轴, 又由直线有斜率且不过原点, , 故正确. 故选: . 14.解：（1）由题意可得解得 故椭圆的标准方程为＋＝1. （2）由题意知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝k（x＋1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立椭圆与直线AB的方程得 消去y得（3＋4k2）x2＋8k2x＋4k2－12＝0， 故Δ＝（8k2）2－4（3＋4k2）（4k2－12）＞0， x1＋x2＝－＝－1，解得k2＝， 将x＝－代入y＝k（x＋1）得y＝， 故E（－，），又F2（1，0）， 所以｜EF2｜＝＝＝＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $