3.1.2　第3课时　分段函数 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 聚焦分段函数核心概念，通过基础巩固、情境应用、综合创新三层设计，构建从概念理解到动态建模的递进式知识巩固路径，培养数学抽象与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义域、值域、多层求值|选择题（1-4）直接考查概念辨析，填空题（7-9）强化运算能力| |中档|图像识别、实际应用|解答题（10）结合图像绘制与不等式求解，应用题（14）分析距离-时间关系，培养应用意识| |拔高|含参问题、动态几何|探究题（16）以正方形运动为情境构建分段函数模型，提升创新思维与数学表达能力|

第3课时　分段函数 1.函数y＝的值域是（　　） A.R　　　　　　　 　 B.[0，＋∞） C.[0，3] D.{y｜0≤y≤2或y＝3} 2.设x∈R，定义符号函数sgn x＝则（　　） A.｜x｜＝x｜sgn x｜ B.｜x｜＝xsgn ｜x｜ C.｜x｜＝｜x｜sgn x D.｜x｜＝xsgn x 3.函数f（x）＝则f（f（2））＝（　　） A.－3 B.0 C.－1 D.2 4.已知函数f（x）＝若f（a）＋f（1）＝0，则实数a＝（　　） A.－3 B.－1 C.1 D.3 5.（多选）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝－｜x｜＋1 D.f（x）＝｜x＋1｜ 6.（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y与打车里程x的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案省钱 B.当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可 C.当打车距离为3 km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D.甲方案打车距离在3 km内（含3 km）付费5元，大于3 km每增加1千米费用增加0.7元 7.已知f（x）＝则f＋f＝　　　　. 8.设函数f（x）＝若f（m）＞m，则实数m的取值范围是　　　　. 9.某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元.某单位购买x件（x∈N*，x≤15），设总购买费用是f（x）元，则f（x）的解析式是　　　　. 10.已知函数f（x）＝ （1）画出函数f（x）的图象； （2）求f（a2＋1）（a∈R），f（f（3））的值； （3）当f（x）≥2时，求x的取值范围. 11.已知f（x）＝｜x｜，g（x）＝x2，设h（x）＝则函数h（x）的大致图象是（　　） 12.（多选）已知狄利克雷函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的值域为[0，1] B.f（x）的定义域为R C.f（x＋1）＝f（x） D.f（x）的图象经过点 13.已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是　　　　. 14.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回到家.根据这个曲线图，请你回答下列问题： （1）最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）何时开始第一次休息？休息多长时间？ （3）第一次休息时，离家多远？ （4）11：00到12：00他骑了多少千米？ （5）他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ （6）他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？ 15.已知λ∈R，函数f（x）＝当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是　　　　；若函数f（x）的图象与x轴恰有2个交点，则λ的取值范围是　　　　. 16.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t（单位：秒），△AMN的面积为f（t）（规定A，M，N三点共线时其面积为零），求点M第一次到达点A前，y＝f（t）的解析式，并画出y＝f（t）的图象. 第3课时　分段函数 1.D　值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y｜0≤y≤2或y＝3}. 2.D　法一　取特殊值进行判断，不妨令x＝－5，可知选项A、B、C都不正确，可排除，选D. 法二　对于选项A，右边＝x｜sgn x｜＝而左边＝｜x｜＝所以不正确.易判断选项B、C不正确.对于选项D，右边＝xsgn x＝而左边＝｜x｜＝所以正确. 3.A　因为f（x）＝所以f（2）＝f（2－1）＝f（1）＝1－2＝－1，所以f（f（2））＝f（－1）＝－1－2＝－3.故选A. 4.A　∵f（a）＋f（1）＝0，∴f（a）＝－f（1）＝－2，当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3. 5.AC　通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验证，可知选A、C. 6.ABC　对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案省钱，故A正确；对于B，当打车距离为10 km时，由题图可知，甲、乙均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；对于C，当打车距离为3 km以上时，甲每千米增加的费用为＝1元，乙每千米增加的费用为＝元，故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；对于D，由题图可知，甲方案打车距离在3 km内（含3 km）付费5元，大于3 km每增加1千米费用增加1元，故D错误. 7.4　解析：∵f（x）＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4. 8.（－∞，－1）　解析：由题意，得或解得m＜－1. 9.f（x）＝ 解析：当x≤5，x∈N*时，f（x）＝5 000x；当5＜x≤10，x∈N*时，f（x）＝（5 000－500）x＝4 500x；当10＜x≤15，x∈N*时，f（x）＝（5 000－1 000）x＝4 000x. 10.解：（1）图象如图.作图时应注意定义域中区间的端点函数值及是否包含端点. （2）因为a2＋1≥1， 所以f（a2＋1）＝3－（a2＋1）2＝－a4－2a2＋2. f（f（3））＝f（－6）＝1－2×（－6）＝13. （3）当x＞0时，3－x2≥2，解得0＜x≤1. 当x＝0时，2≥2，符合题意. 当x＜0时，1－2x≥2，解得x≤－. 综上可知，当f（x）≥2时，x的取值范围为. 11.D　当f（x）≤g（x）时，即｜x｜≤x2时，解得x≤－1或x≥1或x＝0，∴h（x）＝故图象为D. 12.BC　对于A，f（x）的值域为{0，1}，故A错误；对于B，f（x）的定义域为R，故B正确；对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f（x＋1）＝f（x）成立，故C正确；对于D，因为f＝1，所以f（x）的图象经过点，故D错误.故选B、C. 13.[－8，3）　解析：当x≥4时，f（x）＝＋2≥4.因为函数f（x）＝的值域为R，所以当x＜4时，f（x）＝（3－a）x＋5a满足解得－8≤a＜3.故实数a的取值范围是[－8，3）. 14.解：（1）最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米. （2）10：30开始第一次休息，休息了半小时. （3）第一次休息时，离家17千米. （4）11：00至12：00他骑了13千米. （5）9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时. （6）从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形. 15.（1，4）　（1，3]∪（4，＋∞）　解析：当λ＝2时，不等式f（x）＜0等价于或即2≤x＜4或1＜x＜2，所以1＜x＜4.故不等式f（x）＜0的解集为（1，4）.易知函数y＝x－4（x∈R）的图象与x轴交点的横坐标为4，函数y＝x2－4x＋3（x∈R）的图象与x轴交点的横坐标分别为1，3.在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象（图略），要使函数f（x）的图象与x轴恰有2个交点，则只能有以下两种情形：①两个交点的横坐标分别为1，3，此时λ＞4；②两个交点的横坐标分别为1，4，此时1＜λ≤3.综上，λ的取值范围为（1，3]∪（4，＋∞）. 16.解：根据题意，当0≤t≤1时，△AMN的面积为f（t）＝·2t·t＝t2； 当1＜t≤2时，△AMN的面积为f（t）＝×2×[t－（2t－2）]＝2－t； 当2＜t≤3时，△AMN的面积为f（t）＝×2×[（2t－4）－（t－2）]＝t－2； 当3＜t≤4时，△AMN的面积为f（t）＝×[2－（2t－6）][2－（t－2）]＝（4－t）2； 所以f（t）＝ 其图象如图所示. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $