3.1.2函数的表示法同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数表示法，通过基础巩固、中档深化、提升拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一次函数解析式、函数值计算|以单选题（如1题求解析式）、填空题（如12题待定系数法）为主，强化抽象能力与运算能力| |中档层|分段函数性质、函数图象识别|结合分段函数（如5题阶梯水价）、函数图象选择（如6题），培养几何直观与推理意识| |提升层|实际问题建模、综合应用|通过解答题（如20题十字形地域造价）体现模型意识，综合题（如21题分段函数图象与不等式）发展应用意识|

3.1.2 函数的表示法 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 2．定义在上的函数满足，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 4．若函数则（    ） A． B． C． D． 5．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 6．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数则的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 9．定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 10．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   三、多选题 11．已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的值域为(－∞，4) B．f(1)＝3 C．若f(x)＝3，则x的值是 D．f(x)<1的解集为(－1,1) 二、填空题 12．已知函数是一次函数，若，则______． 13．已知，则_____________. 14．已知函数，则__________. 15．已知函数，若，则______. 16．已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为_________． 17．已知函数满足，则__________． 三、解答题 18.（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 19．若函数，且. (1)求的值； (2)求的值. 20．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个全等的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为（单位：m） (1)设长为（单位：m），求出关于的函数解析式； (2)设总造价为（单位：元），求出关于的函数关系式； (3)当为何值时，总造价最小，并求出这个最小值． 21．已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 《3.1.2 函数的表示法 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A C B D B B A 1．B 【知识点】已知函数类型求解析式、求函数值 【分析】先求出函数的解析式，再计算. 【详解】设，则，解得， 所以，. 故选：B. 2．D 【知识点】解析法表示函数 【分析】根据题设条件，将选项中涉及的自变量值代入分析即可. 【详解】对于A，B选项：将10和0分别代入和得：，即， 因为，所以，故A，B错误. 对于C，D选项：将20和0分别代入和得：，即， 因为，所以，故C错误，D正确. 故选：D. 3．B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值、求函数值 【详解】， ． 4．A 【知识点】分段函数的性质及应用 【分析】结合一次函数的单调性求解即可. 【详解】当时，，则； 当时，，则， 所以函数的值域为. 故选：A. 5．C 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用 【分析】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断. 【详解】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 6．B 【知识点】具体函数的定义域、根据函数图象选择解析式 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 7．D 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 8．B 【知识点】求分段函数值 【详解】由已知， 所以. 9．B 【知识点】求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式、求函数值 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 10．A 【知识点】根据实际问题作函数图象 【分析】根据开始时即时价格与平均价格的关系以及买卖过程中即时价格与平均价格的变化情况进行分析. 【详解】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C； 买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B； 买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D； 故选：A. 11.【答案】AC　 【解析】当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)， 因此f(x)的值域为(－∞，4)，故A正确； 当x＝1时，f(1)＝12＝1，故B错误； 当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)， 当－1<x<2时，由x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确； 当x≤－1时，由x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，由x2<1， 解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误．故选AC.] 12．或 【知识点】待定系数法、已知函数类型求解析式 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 13． 【知识点】求函数值、解析法表示函数 【分析】根据题意，，求得，结合，即可求解. 【详解】由，令，即，解得， 所以. 故答案为：. 14．1 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【分析】根据分段函数的性质求解即可. 【详解】. 15．或/或 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的性质及应用、求分段函数值 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 16． 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据函数的最小值列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于的最小值是，所以在上单调递减， 所以，此时单调递增， 则，整理得， 解得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 17． 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 18．（1）；（2）；（3）. 【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 19．(1) (2) 【知识点】求二次函数的解析式、求函数值 【详解】（1）由题可知 解得 （2）由题可得函数 20．(1) (2) (3)当时，取得最小值为. 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用、解析法表示函数 【分析】（1）利用十字形地域的面积表达式，可求得关于的函数解析式； （2）分别求出三部分造价并相加即可得出关于的函数表达式； （3）利用基本不等式可求得当时，取得最小值为. 【详解】（1）根据题意可知十字形地域的面积为4个阴影部分面积加上一个正方形的面积， 因此，即，因为，所以； 可知. （2）由题意可知正方形的造价为元， 花岗岩地坪造价为， 草坪造价为； 所以总造价. 因此关于的函数关系式为； （3）易知; 当且仅当时，即时，等号成立； 因此当时，取得最小值为. 21．(1)，最大值为4 (2) (3)或 【知识点】解分段函数不等式、画出具体函数图象、求分段函数值、分段函数的值域或最值 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $