第三十章直线与圆的位置关系单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系单元，覆盖切线性质、内心外心、圆与直线位置关系等核心知识点，适配单元复习，助力数学思维与几何直观培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|切线性质、内切圆半径计算|基础巩固，如第2题圆与斜边位置关系判断| |填空题|6/18|内心外心角度、正六边形面积|能力提升，如14题外心内心角度计算| |解答题|8/72|切线证明、动态几何综合|创新应用，如17题结合切线与平行四边形，24题动态圆培养空间观念|

第三十章直线与圆的位置关系单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，PA与⊙0相切于点A,连接PO并延长交⊙0于点B,连接AB.若∠B=24°， 则∠P的度数是() A.42° B.48° C.56° D.66° 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3.以点C为圆心，T为半径作圆. 若⊙C与斜边AB所在直线有且只有一个公共点，则r的值为() D 2 A.5 B.3 C.4 D.5 3.△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,则△ABC内切圆的半径等于() 6 A.1 B.5 D.2 4.如图，A是⊙0外一点，连接A0并延长，交⊙0于点B,AC与⊙0相切于点C,D是 BC上一点，连接CD,BD.若∠4=40°，则∠BDC 度数为() B A.100° B.115 C.120° D.130° 试卷第1页，共3页 5.如图，AB是⊙0的直径，过⊙0上一点C作⊙0的切线，所作切线与BA的延长线交于 点P,∠B=20°，则∠P=() A.20° B.25° C.40° D.50° 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点D、E分别是AC、BC的中点， 以DE为直径的⊙O交AB于点F、G,则FG的长度为() G B 7 6 c > A.10 B.1 D. 7.在平面直角坐标系中，已知 M(0,-2)若以M为圆心，，为半径的圆上到直线 y=3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则圆的半径r的取值范围是（） A.r>0 B.0<r<1 C.1<r<3 D.r>3 8.如图所示，在Rt△ABC中，己知∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,则其内心0O和外 心M之间的距离是() O A 10cm B 5cm C.5em D 2cm 9.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB,IA.若 试卷第2页，共3页 ∠CA=36°，则∠0BC的度数为() A.16° B.18° C.20° D.36° 10.在△ABC中，∠A=50°，⊙0是△ABC的内切圆，连接OB、OC,则∠BOC的度数为 () A.105° B.110° C.115° D.125° 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与CD相切 于点E.若AD=1,BC=2.则CD的长为 12.如图，△ABC,AC=6,BC=8,∠C=90°，⊙0为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为 D、E、F,则⊙O的面积为」 (结果保留π) 试卷第3页，共3页 D 2 13.如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个正六边形地基的面积 是 m2(计算结果保留根号). 14.己知0，I分别是△ABC的外心和内心，∠B0C=148°，则∠BIC的大小是 15.己知O,I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC=140°，则∠BIC的大小是 16.如图，点O是△ABC的内心，以O为圆心作半径为3的圆，分别交△ABC的边于D, E F G H,I EC和DG,者2DG6=30, FG= 点，连接心和 ,则 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图1，点A为⊙0上一点，且PA⊥OA于点A. 试卷第4页，共3页 A D 图1 图2 (1)下列说法正确的是() A.PA与⊙O相离 B.PA与⊙O相切 C.PA与⊙O相交D.以上说法均不正确 (2)过点P作⊙O的切线PB,切点为B，且点B与点A不重合（保留作图痕迹，简单写出作 图方法)： (3)如图2，在图1的基础上，连接PO并延长交⊙O于点F和点C.过点C作CD⊥PA,交 PA的延长线于点D,交⊙O于点E,连接AE.若四边形AECO是平行四边形，且 PA=4V ,求DE的长」 和 中， △APO△BPO AP=BP OP=OP OA=OB' △APO≌△BPO(SSS) .∠OBP=∠OAP=90°， .OB⊥BP, 又，OB为半径， .PB为⊙O的切线. 试卷第5页，共3页 ,四边形 是平行四边形， AECO OA=OC ∴四边形AECO是菱形， ..OA=OC=AE=CE. .OC=OE=CE. “.△OCE是等边三角形， .∠0CE=60°， CD⊥PA, ∠P=30°， PA⊥OA, :.OP=20A, 0p=0A+P4,即(20A}=0A+(45. .OA=4,OP=8, .0C=0E=0A=4,CP=0P+C0=12, :CD-2CP=6, .DE=CD-CE=6-4=2」 18如图，0是00的直径，弦01，垂足为”.E为 上一点，连接1E交CD 于 点F,EF的垂直平分线交CD的延长线于点G,连接GE. B D (1)若⊙0的半径为3，AH=2,求CD的长： 试卷第6页，共3页 (2)求证：EG是⊙0的切线. 19.如图，△ABC中，AB=AC (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作△ABC的外接圆O;(保留作图痕迹) (2)若AB=10,BC=16,求△ABC的内切圆半径. 20.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O,且与小圆相交于A,与大圆 相交于点B,小圆的切线AC与大圆相交于D,OC平分∠ACB. B (1)证明：直线BC是小圆的切线： (2)试证明：AC+AD=BC: (3)若AB=8cm,BC=10cm,求大圆与小圆形成的圆环的面积. 21.如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F, ∠DOE=120°，∠EOF=150°， (1)求△ABC的三个内角的大小： (2)设⊙0的半径为1，求AB+AC-BC的值. 22.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙0上一点，OE⊥BC交⊙O于点E,AE与BC交 于点H, 试卷第7页，共3页 CE2=EH·EA (1)求证： (2②)若©0的直径为5，c0s4= 5,求BH的长. 23.如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的OO交AB于点D,弦DF⊥BC,垂足 为E. (I)求证：AD=BD: (2)若AB=10,DF=8,求⊙0的半径. 24.如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=10.动点E在AB边上，以点E为圆心，以BE 为半径作弧，点G是弧上一动点. D D 图1 图2 (I)如图1，若点E与点A重合，且点F在BC上，当DF与弧相切于点G时，则BF的值是 (2)如图2，若AE=1连结CG,DG,分别取CG,DG,的中点P、Q,连接PO,M为 试卷第8页，共3页 P巴的中点，则CM的最小值为 试卷第9页，共3页 第三十章直线与圆的位置关系单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 3．中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选：A． 4．如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，利用切线的性质求解，可得，进一步利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 6．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 7．在平面直角坐标系中，已知点若以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则圆的半径r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算圆心M到给定直线的距离，再根据圆上满足距离为1的点仅有2个的条件，结合直线与圆的位置关系推导半径r的取值范围． 【详解】解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，如图，过M作于N， 当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有1个；当时，以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，如图， ∴以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个时，圆的半径r的取值范围是． 8．如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 9．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 10．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 12．如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理等知识，根据面积法求出半径r是解题的关键． 连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 【详解】解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故答案为：． 13．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 14．已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外心和内心的性质．外心是三角形外接圆的圆心，给定，根据点的位置不同，有两种可能值；内心是三角形角平分线的交点，利用公式计算即可． 【详解】解：∵是的外心，， ∴当点在优弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴； 当点在劣弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴． 故答案为：或． 15．已知分别是的外心和内心，，则的大小是___________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的内心和外心的性质，熟练掌握三角形内心和外心的性质是解题的关键，利用外心性质确定的两种可能值，再根据内心性质计算． 【详解】解：∵O是的外心，， ∴当点A在优弧上时， ， 当点A在劣弧上时， . ∵I是的内心， ∴. 当时，； 当时，. 故答案为：或. 16．如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________ 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内心的性质，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据已知得出是等边三角形，，证明，，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点是的内心， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图1，点为上一点，且于点． (1)下列说法正确的是（    ） A．与相离        B．与相切 C．与相交        D．以上说法均不正确 (2)过点作的切线，切点为，且点与点不重合（保留作图痕迹，简单写出作图方法）； (3)如图2，在图1的基础上，连接并延长交于点和点．过点作，交的延长线于点，交于点，连接．若四边形是平行四边形，且，求的长． 【答案】(1)B (2)见解析； (3)的长为． 【分析】（1）根据切线的定义进行判断即可； （2）以点为圆心，的长为半径作圆交于点，证明得，即可得为的切线； （3）连接，证明四边形是菱形，进而可得是等边三角形，则，，根据含30度角的直角三角形的性质得，由勾股定理求出，则，，再根据含30度角的直角三角形的性质得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵点为上一点，且于点， ∴是半径，是的切线， ∴与相切， 故选：B． （2）解：以点P为圆心，的长为半径作圆交于点B，点B即为所求； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴为的切线． （3）解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的定义及切线的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含角的直角三角形． 18．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 19．如图，中，． (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） (2)若，，求的内切圆半径． 【答案】(1) 如图所示即为的外接圆， (2) 【分析】本题主要考查三角形外接圆，内切圆，勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键． （1）用尺规作边和的垂直平分线，两线相交于点O进而作出的外接圆； （2）根据勾股定理和等面积法即可求出内切圆的半径． 【详解】（1）解：如图所示即为的外接圆， （2）解：连接、，设交于点， ∵， ， 根据垂径定理，得，， ， 设内切圆半径为， ， 内切圆半径． 20．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)． 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定、全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）只要证明垂直即可得出是小圆的切线； （2）利用全等三角形的判定得出，从而得出，从而得到，从而证明； （3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积． 【详解】（1）解：连接，过O作，垂足为E， 是小圆的切线，经过圆心O， ， 平分，， ，，， ， ， 是小圆的半径， 是小圆的切线； （2）切小圆于点A，切小圆于点E， ，，， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）， ，， ， ， ， 又， 圆环的面积为：． 21．如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，切线长定理等知识，掌握切线长定理是关键． （1）根据相切的性质得到，再根据四边形内角和，三角形内角和定理的计算即可求解； （2）根据题意得到四边形是正方形，由切线长定理得到，设，则，结合含30度角的三角形的性质得到，由此即可得到，则得到的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵相切， ∴， 在四边形中，， ∴， 同理，， 在中，， ∴； （2）解：∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 22．如图，是的直径，点为上一点，交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的直径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理和圆周角定理的推论可证明，进而证明，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）连接，解直角三角形可得，再根据勾股定理可求出，根据，求出即，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ． 又， ， ，即； （2）解：连接． 是的直径， ． 的直径为5，， ． 在中，由勾股定理得，， ，， ，即． 在中，． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质定理、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 23．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 24．如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点． (1)如图1，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 　 　； (2)如图2，若连结，，分别取，，的中点P、Q，连接，M为的中点，则的最小值为 　． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）连接，则，勾股定理得，由切线长定理得，设，由勾股定理得，求解即可； （2）连接、，取的中点H，连接，由中位线性质得，，连接，取的中点I，连接，证四边形是平行四边形，得，取的中点J，可证四边形是平行四边形，得，确定点M在以J为圆心，为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C，M，J三点共线时，最短，延长，，交，于点K，L，求得，由勾股定理计算即可． 【详解】（1）连接，则，， ， ， 与弧相切于点B， ， 设，则， 中，， 即， 解得，即， 故答案为：2； （2）如图，连接、，取的中点H，连接，则， ， 连接，取的中点I，连接，同理， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， ∵P、Q是、的中点， ， ， 取的中点J，由， ∴四边形是平行四边形， ，即点M在以J为圆心，为半径的圆弧上， ∴当C，M，J三点共线时，最短，即最小值， 延长，，交，于点K，L，则， ∴点K，点L分别是，的中点， ，，， ，， 中， ， ∴最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点与圆上点距离的最值问题，勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，结合题设条件确定动点的轨迹是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $