第三十章 直线与圆的位置关系 单元测试卷 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 第三十章圆单元测试，覆盖圆的位置关系、切线、中心角等核心知识，通过基础题与探究题结合，培养几何直观、推理能力，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|圆与直线位置关系（第1题）、切线判定（第4题）|基础概念辨析，注重空间观念| |填空题|6/24|实际情境（自行车轮胎与直线位置关系）、动态旋转（OB旋转角度）|联系生活，体现应用意识| |解答题|7/90|切线证明（19题）、内心与外接圆（20题）、分层探究（25题）|综合推理与创新，发展理性精神|

第三十章 单元测试 班级：________　　　姓名：________　　　分数：________ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．) 1．若半径为3 cm的⊙O与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是( D )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 2．正十边形的中心角度数是( B ) A．72° B．36° C．30° D．18° 3．如图，AB切⊙O于点B，∠A＝30°，AB＝2，则半径OB的长为( C ) A．1 B. C．2 D．4 第3题图　第4题图 4．如图，已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P(点E，F在点P的两旁)，下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是( D ) A．OP＝5 B．OE＝OF C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF 5．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB的长度为( B ) A. B．2 C．2 D．3 第5题图　　　第6题图 6．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B ) A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心 7．如图，点A在⊙O外，连接OA，作线段OA的中点B，以B为圆心，BO为半径作⊙B，与⊙O交于两点C，D，连接AC，AD，OC，OD，则∠OCA，∠ODA均为直角，直线AC，AD是⊙O的两条切线．得到∠OCA，∠ODA均为直角的依据是( C ) A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 第7题图　　　　第8题图 8．如图，⊙O为正五边形的外接圆，过C点的切线交AB的延长线于点F，则∠F的度数为( D ) A．60° B．54° C．66° D．72° 9．设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R ，则下列结论不正确的是( C ) A．h＝R＋r B．R＝2r C．r＝a D．R＝a 10．如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为( A ) A.π B.π C．π D.π 第10题图　　　　第11题图 11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE.若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为( D ) A. B. C．3 D．3 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB于点O，以点O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点E，连接BE交OC于点F.若∠A＝40°，有下列结论：①CE＝CF；②∠CEF＝75°；③∠EBC＝25°；④CE＝BE.其中正确的个数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 第12题图　第14题图 　　　　第15题图 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．) 13．初中生小明日常骑自行车上下学，某日小明沿地面一条直线骑行，自行车轮胎与直线的位置关系是相切． 14．如图，OA⊥OB于点O，OA＝4，⊙A的半径是2，将OB绕点O按顺时针旋转，当OB与⊙A相切时，OB旋转的角度为60°或120°. 15．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD.若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是3. 16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB＝1，CD＝3 ，则AD的长为. 第16题图第17题图　　　　　　　 第18题图 17．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则的值为2. 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是30. 三、解答题(本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．(14分)如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC.求证：CE是⊙O的切线． 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°，∵BC＝BC，∴∠A＝∠D， 又∵∠DEC＝∠ABC，∴∠D＋∠DEC＝90°， ∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE，∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线． 20．(11分)如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E，BE与AC交于点F，连接AE.求证：AE＝DE. 证明：连接AD， ∵点D是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE， ∵∠EAD＝∠EAC＋∠CAD， ∠ADE＝∠ABE＋∠BAD， ∠EAC＝∠CBE， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE. 21.(11分)欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书，他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，⊙O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接OP，分别以点O，P为圆心，大于OP的长为半径作弧，在OP上方交于点M，在OP下方交于点N，连接MN，交OP于点A； ②以点A为圆心，AO长为半径作⊙A，与⊙O交于Q，R两点； ③连接PQ，PR，则PQ，PR是⊙O的切线． (1)按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹； (2)若⊙O的半径是2，⊙A的半径是2.5，求PQ的长． 解：(1)如图所示． (2)连接OQ， ∵OP为⊙A的直径， ∴OP＝2×2.5＝5，∠OQP＝90°， 又∵OQ＝2， ∴PQ＝＝. 22.(12分)如图，P是直线y＝2x上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，设点P的坐标为(x，y)． (1)求当x为何值时，⊙P与直线y＝3相切，并求点P的坐标； (2)直接写出当x为何值时，⊙P与直线y＝3相交、相离． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， ∵P是y＝2x上的一点， ∴y＝2x， 当点P在直线y＝3下方时， ∵⊙P与直线y＝3相切， ∴P点纵坐标为2， ∴P点横坐标为1； 当点P在直线y＝3上方时， ∵⊙P与直线y＝3相切， ∴P点纵坐标为4， ∴P点横坐标为2， ∴点P的坐标为(1，2)或(2，4)． (2)当1＜x＜2时，⊙P与直线y＝3相交， 当x＞2或x＜1时，⊙P与直线y＝3相离． 23.(13分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径画圆． (1)求证：AC是⊙D的切线； (2)若AB＝6，AC＝10时，求线段AE的长． (1)证明：过点D作DF⊥AC于点F， ∵AD平分∠BAC.BD⊥AB，DF⊥AC，∴BD＝DF. ∴DF是⊙D的半径， ∴AC是⊙D的切线． (2)解：在Rt△ABD和Rt△AFD中， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)，∴AB＝AF＝6， ∵AC＝10，∴FC＝4. 在Rt△EBD和Rt△CFD中， ∴Rt△EBD≌△Rt△CFD(HL)， ∴EB＝FC＝4，∴AE＝AB－EB＝6－4＝2. 24．(14分)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD. (1)求证：OP⊥CD； (2)连接AD，BC，若∠A＝50°，∠B＝70°，DC＝3，求⊙O的半径． (1)证明：连接OC，OD，则OC＝OD. ∵PD，PC是⊙O的切线， ∴PD＝PC. ∴PO是线段CD的垂直平分线．∴OP⊥CD. (2)解：∵OA＝OD，OB＝OC， ∴∠ADO＝∠A＝50°，∠BCO＝∠B＝70°. ∴∠AOD＝180°－∠A－∠ADO＝180°－50°－50°＝80°， ∠BOC＝180°－∠B－∠BCO＝180°－70°－70°＝40°. ∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝180°－80°－40°＝60°. ∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形． ∴OD＝DC＝3，∴⊙O的半径为3. 25.(15分)问题情境：如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线CE，过点A作AD⊥CE于点D，连接OC. (1)探究发现：求证：无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上； (2)探究引申：如图②，小明同学继续探究发现，若△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D时，CD与AB存在什么数量关系？请给予证明； (3)探究规律：如图③，小亮同学继续探究发现，当△AOC为等边三角形时，CD与AB存在什么数量关系？请给予证明． (1)证明：∵DE为⊙O的切线， ∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC， ∴无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上． (2)解：CD＝AB. 证明：∵△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D， ∴DA＝DC，∵AD⊥CE，∴∠DCA＝45°， ∵DE为⊙O的切线， ∴OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∴∠OCA＝45°，∴∠COA＝90°， ∵∠ADC＝∠AOC＝∠OCD＝90°， ∴四边形AOCD为矩形，∴CD＝AO，∴CD＝AB. (3)解：CD＝AB， 证明：∵△AOC为等边三角形， ∴OA＝AC，∠OCA＝60°，∵∠OCD＝90°，∴∠ACD＝30°， ∴AD＝AC，∴CD＝AC， 而AC＝OA＝AB，∴CD＝AB. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 单元测试 班级：________　　　姓名：________　　　分数：________ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．) 1．若半径为3 cm的⊙O与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 2．正十边形的中心角度数是( ) A．72° B．36° C．30° D．18° 3．如图，AB切⊙O于点B，∠A＝30°，AB＝2，则半径OB的长为( ) A．1 B. C．2 D．4 第3题图　第4题图 4．如图，已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P(点E，F在点P的两旁)，下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是( ) A．OP＝5 B．OE＝OF C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF 5．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB的长度为( ) A. B．2 C．2 D．3 第5题图　　　第6题图 6．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( ) A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心 7．如图，点A在⊙O外，连接OA，作线段OA的中点B，以B为圆心，BO为半径作⊙B，与⊙O交于两点C，D，连接AC，AD，OC，OD，则∠OCA，∠ODA均为直角，直线AC，AD是⊙O的两条切线．得到∠OCA，∠ODA均为直角的依据是( ) A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 第7题图　　　　第8题图 8．如图，⊙O为正五边形的外接圆，过C点的切线交AB的延长线于点F，则∠F的度数为( ) A．60° B．54° C．66° D．72° 9．设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R ，则下列结论不正确的是( ) A．h＝R＋r B．R＝2r C．r＝a D．R＝a 10．如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为( ) A.π B.π C．π D.π 第10题图　　　　第11题图 11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE.若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为( ) A. B. C．3 D．3 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB于点O，以点O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点E，连接BE交OC于点F.若∠A＝40°，有下列结论：①CE＝CF；②∠CEF＝75°；③∠EBC＝25°；④CE＝BE.其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 第12题图　第14题图 　　　　第15题图 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．) 13．初中生小明日常骑自行车上下学，某日小明沿地面一条直线骑行，自行车轮胎与直线的位置关系是_________． 14．如图，OA⊥OB于点O，OA＝4，⊙A的半径是2，将OB绕点O按顺时针旋转，当OB与⊙A相切时，OB旋转的角度为_________. 15．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD.若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是_________. 16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB＝1，CD＝3 ，则AD的长为_________. 第16题图第17题图　　　　　　　 第18题图 17．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则的值为_________. 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是_________. 三、解答题(本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．(14分)如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC.求证：CE是⊙O的切线． 20．(11分)如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E，BE与AC交于点F，连接AE.求证：AE＝DE. 证明：连接AD， 21.(11分)欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书，他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，⊙O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接OP，分别以点O，P为圆心，大于OP的长为半径作弧，在OP上方交于点M，在OP下方交于点N，连接MN，交OP于点A； ②以点A为圆心，AO长为半径作⊙A，与⊙O交于Q，R两点； ③连接PQ，PR，则PQ，PR是⊙O的切线． (1)按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹； (2)若⊙O的半径是2，⊙A的半径是2.5，求PQ的长． 22.(12分)如图，P是直线y＝2x上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，设点P的坐标为(x，y)． (1)求当x为何值时，⊙P与直线y＝3相切，并求点P的坐标； (2)直接写出当x为何值时，⊙P与直线y＝3相交、相离． 23.(13分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径画圆． (1)求证：AC是⊙D的切线； (2)若AB＝6，AC＝10时，求线段AE的长． 24．(14分)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD. (1)求证：OP⊥CD； (2)连接AD，BC，若∠A＝50°，∠B＝70°，DC＝3，求⊙O的半径． 25.(15分)问题情境：如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线CE，过点A作AD⊥CE于点D，连接OC. (1)探究发现：求证：无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上； (2)探究引申：如图②，小明同学继续探究发现，若△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D时，CD与AB存在什么数量关系？请给予证明； (3)探究规律：如图③，小亮同学继续探究发现，当△AOC为等边三角形时，CD与AB存在什么数量关系？请给予证明． 学科网（北京）股份有限公司 $