第21讲 分式方程（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第21讲 分式方程 （3大考点10大题型） 学习目标 1.理解分式方程的定义，能够根据已知条件列出分式方程。 2.熟练掌握解分式方程的步骤，验算。(重点） 3.能够应用分式方程解决实际问题.(难点） 考点整理 一、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 三、分式方程的实际应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 题型归纳 【题型1 分式方程的定义】 1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 4．请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【题型2 解分式方程（化为一元一次）】 5．方程的解为________． 6．代数式与代数式的值相等，则_______． 7．解答下列各题： (1)解方程：. (2)先化简，再求值：，其中． 8．解方程： (1) (2) 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 9．若关于的分式方程有增根，则_______． 10．若关于的分式方程有增根，则_____________． 11．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 12．我们规定：如果两个实数，使得关于的分式方程的解为，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解为，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”： ①（ ）②（ ） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【题型4 分式方程无解问题】 13．若关于x的分式方程无解，则a的值是_________． 14．若关于的分式方程无解，则的值为______． 15．美美在学习电路图时，通过实验探究，得出了并联电路的总电阻，通过变形可知，而这一变形在研究数学问题时经常遇到；例如，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，请利用以上方法解决下列问题： (1)______． (2)解方程：； (3)若分式方程有增根，求m的值． 16．下面是小亮同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程① 方程两边都乘以，得：② 解得： 是原方程的根． 任务： (1)小明分析：不是原方程的根，而是方程 （填序号）的根；因为它使原分式方程的分母为零，所以它是原方程的 ． (2)请根据小明的分析，就分式方程解法的过程需要注意的事项给其他同学提一条建议． (3)根据总结的解题经验，解方程：． 【题型5 列分式方程】 17．2026年“闽超”联赛火爆开赛，某文创厂接到8000件闽超主题文化衫的定制订单，印有“福聚八闽，爱拼会赢”的赛事口号．为赶在泉州队主场赛前交付，实际每天生产量是原计划的1.6倍，结果比原计划提前6天完成任务．设原计划每天生产件文化衫，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 18．每年七月份济南都会在大明湖景区举办“荷花艺术节”，为保障荷塘水质清澈、荷花长势良好，某团队承接了荷塘的清淤任务．若该团队实际每日清淤量比原计划提高，将提前天完成全部任务．设该团队原计划每日清淤量为，根据题意可列分式方程（     ） A． B． C． D． 19．古代民间有“碾米筹量”的数学趣题，改编如下：某农户用石碾碾稻谷，若单独用甲碾，若干小时可碾完；若单独用乙碾，完成的时间比单独用甲碾多3小时．已知甲碾每小时碾米量是乙碾的倍，若设单独用甲碾碾完需小时，则可列方程为_________________． 20．请认真阅读并解决相应的问题．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，题目：暑假小卢和小吴相约各自开车到武夷山游玩，小卢家到武夷山的距离为，小吴家到武夷山的距离为，小卢比小吴每小时多行驶，两人从家里同时出发，同时到达，求小卢和小吴的行驶速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：小卢速度小吴速度 解法二 设小卢车速度为 等量关系：小卢用时小吴用时 ___________ (1)解法一所列方程中的表示________（填序号）； ①小卢行驶速度为；②小吴行驶速度为；③小卢和小吴行驶时间为； (2)请根据解法二列出方程，并求出小卢和小吴行驶速度． 【题型6 分式方程的行程问题】 21． 小亮乘出租车去体育馆，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均速度比走路线一时的平均速度能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达．求小亮走路线二时的平均速度． 22．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 23．甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 24．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【题型7 分式方程的工程问题】 25． 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．求乙程序员每小时输入多少名学生的成绩？ 26．工程分式应用题 某工程队承接一项工程，原计划每天施工米，天完成；实际每天比原计划多施工米，提前天完工． (1)列分式方程求原计划每天施工长度； (2)若施工总费用元，求实际每天施工费用． 27．松桃卤鸭作为铜仁非遗美食，被誉为“南方烤鸭”．已知甲店加工200只卤鸭和乙店加工180只卤鸭所用时间相同，甲店每小时比乙店多加工2只． (1)求甲店、乙店每小时各加工多少只卤鸭； (2)若某批订单需要300只卤鸭，要求甲店和乙店分别加工，所用时间之和不超过16小时，则甲店至少要加工多少只？ 28．低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种． (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元． (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩． 【题型8 分式方程的经济问题】 29． 随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来了商机．某自行车行经营的A型电动自行车去年前半年的销售总额为90000元，由于受原材料涨价影响，进价上涨，今年该种电动自行车每辆售价比去年增加200元，今年前半年该型号电动自行车销售量与去年相同，而销售总额比去年同期增加10000元．求A型电动自行车今年的售价为每辆多少元？ 30．为了促进学生的身心健康发展，体育组老师们准备购买一批呼啦圈．合适的呼啦圈有A和B两款，且A款比B款的单价贵10元，已知用450元购买的A款呼啦圈数与用350元购买的B款呼啦圈数相等，现准备同时购买A，B两款呼啦圈． (1)请问A款、B款呼啦圈单价各多少元？（用方程解决问题） (2)若准备同时购进A，B两款呼啦圈共计20个（两款呼啦圈都要买），总费用不超过720元，请问有哪些购买方案？ 31．2026年5月，科大讯飞公司在澳门举办了AI眼镜发布会，新产品再次推进了翻译行业的巨大变革，“AI眼镜”也成为了网络热词．请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某科技商店被授权出售“灵眸X”和“智视Pro”这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视Pro”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视Pro”的数量相同． 素材2 甲公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元． 素材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走进千家万户，商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视Pro”比原价优惠50元． 任务1 (1)求每副“灵眸X”和“智视Pro”眼镜的标价； 任务2 (2)在促销活动中，甲公司最多能购买多少副“灵眸X”？ 32．绍兴黄酒历史悠久，明清时期经浙东运河转运至沿海港口，进而依托海上丝绸之路远销南洋（东南亚）与日本．越越家在鲁迅故里景区内开设了一家绍兴黄酒专卖店，一天在店里发现进货单上的一个信息是：款黄酒每坛的进货单价比款黄酒每坛的进货单价多30元，花900元购进款黄酒的数量与花720元购进款黄酒的数量相同． (1)问，款黄酒每坛的进货单价分别是多少元？ (2)若越越家计划用2100元购进，两款黄酒若干坛销售，要求每款黄酒至少购进1坛且刚好用完2100元，则有哪几种进货方案？ 【题型9分式方程的和差倍分问题】 33．重庆正加速打造“低空之城”，无人机作为低空经济的核心技术载体，在物流领域已实现规模化应用．某企业为布局无人机物流配送领域，购进工业级多旋翼无人机与固定翼无人机两种，购买多旋翼无人机花费240万元，购买固定翼无人机花费150万元，且购买多旋翼无人机的数量是购买固定翼无人机数量的2倍，已知购买一架固定翼无人机比购买一架多旋翼无人机多花3万元． (1)求购买一架多旋翼无人机与一架固定翼无人机各需要多少万元？（列方程解决问题） (2)该企业决定再次购进两种无人机共30架，恰逢市场对无人机售价进行调整，多旋翼无人机的售价比第一次购买时提高了10%．固定翼无人机按第一次购买时售价的9折出售．如果该企业此次购买两种无人机的总费用不超过400万元，那么最多可购买多少架固定翼无人机？ 34．学校计划购买，两种书架，已知购买个种书架比个种书架的价格高，用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个．每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ 35．《九章算术》中有这样一个问题：“今有出钱三百八十四，买大竹；出钱一百六十八，买小竹，其数半之；欲其大小率之，问大、小竹各几何？”原文大意为：今花384钱，买大竹，花168钱，买小竹，买小竹的数量是买大竹数量的一半，每个大、小竹的价格相差1钱，求大、小竹各买多少个？ 36．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 【题型10 分式方程的其他实际问题】 37．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 解决下列问题： (1)若k为任意实数，求证：一定为非负数． (2)若，求x的值． (3)若，请直接写出x的值． 38．“这么近，那么美，周末到河北．”河北省某地旅游景点为方便游客游览，现提供免费的观光车，观光车分为两种类型，分别为电瓶车和小火车，每辆小火车的座位比电瓶车多20个．某旅游团有120人，此旅游团成员全部乘坐观光车游览，若每一辆观光车都坐满乘客，且该旅游团全部乘坐电瓶车所需的数量是全部乘坐小火车所需数量的2倍．设乘坐的电瓶车每辆车的座位数为x个． (1)若旅游团成员全部乘坐电瓶车，则需 辆电瓶车；若旅游团成员全部乘坐小火车，则需 辆小火车．（都用含x的式子表示） (2)求x的值． 39．科技改变世界，随着无人驾驶技术的高速发展，在我们县城也能看到快递公司无人投递车的身影了．某快递公司为提高配送的准确性和工作效率，分别投入A型无人投递车与B型无人投递车承担快递运送任务．已知A型车运送720件快递所用的时间与B型车运送600件快递所用的时间相等，且A型车每小时比B型车多运送20件． (1)求A型无人投递车每小时可运送的快递数量； (2)快递公司计划再购进A，B两种型号的无人投递车共20台．若要保证购进的这批无人投递车每小时的运送量不少于2200件，求至少应购进多少辆A型无人投递车． 40．宿迁市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加人，结果在规定时间内不仅完成了该小区人的检测任务而且还帮助临近小区完成了人核酸检测任务．问实际每小时检测多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 分式方程 （3大考点10大题型） 学习目标 1.理解分式方程的定义，能够根据已知条件列出分式方程。 2.熟练掌握解分式方程的步骤，验算。(重点） 3.能够应用分式方程解决实际问题.(难点） 考点整理 一、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 三、分式方程的实际应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 题型归纳 【题型1 分式方程的定义】 1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A.是一元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； B.分母中含有未知数，是分式方程，符合要求； C.分母为常数和，不含未知数，是一元一次整式方程，不符合要求； D.是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求． 2．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 3．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 4．请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【答案】（或，，） 【分析】分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造分母含未知数的分式方程即可． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，． 【题型2 解分式方程（化为一元一次）】 5．方程的解为________． 【答案】 【详解】解： 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 6．代数式与代数式的值相等，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，， 解得； 经检验，是原方程的解. 7．解答下列各题： (1)解方程：. (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)分式方程无解 (2)， 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， ∴分式方程无解． （2）解： ， 当时，原式． 8．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘，得 ， 去括号，得 ， 解得： ， 经检验，是原分式方程的解， ∴分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘，得 ， 解得 ， 经检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 9．若关于的分式方程有增根，则_______． 【答案】 【分析】根据分式方程增根的定义得到使分母为的根，再将分式方程化为整式方程，进而求出参数的值． 【详解】解：令，得增根， 方程两边同乘最简公分母得：， 将代入，得， ， 验证：当时，原方程为， 去分母得， 解得， 让分母，是增根，符合题意． 10．若关于的分式方程有增根，则_____________． 【答案】1 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根， 所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 11．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4或或 【分析】（1）利用分式方程增根的意义解答即可； （2）分式方程无解包括两种情况：一是化为整式方程后，整式方程的解是原方程的增根；二是化为整式方程后，该整式方程本身无解，据此分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 把代入中可得： ， ∴， ∴m的值为； （2）解：当方程有增根时，， ∴或， 把代入中可得： ， ∴， 把代入中可得： ， ∴， 当时，该方程无解，即； ∴综上所述：m的值为4或或． 12．我们规定：如果两个实数，使得关于的分式方程的解为，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解为，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”： ①（ ）②（ ） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)①√②× (2)4 【分析】（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解，再根据“关联数对”的定义列等式，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①当，时，分式方程为， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴是“关联数对”； ②当，时，分式方程为， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴不是“关联数对”； （2）解：∵是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， 解得， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 【题型4 分式方程无解问题】 13．若关于x的分式方程无解，则a的值是_________． 【答案】1或4 【分析】分式方程无解的情况包括化简后的整式方程无解或解出的根为增根，据此解答即可． 【详解】解：， ，即 ， 整理得：， 当时，即时，方程无解； 当时，， 若，则，解得，此时为增根，方程无解； 综上，或． 14．若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或 【分析】分式方程无解分两种情况：去分母后得到的整式方程本身无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况计算即可得到的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理得． 当，即时，方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解； 当时，整式方程有解，若原分式方程无解，则整式方程的解是原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足分母，即， 把代入，得， 解得； 因此的值为或． 15．美美在学习电路图时，通过实验探究，得出了并联电路的总电阻，通过变形可知，而这一变形在研究数学问题时经常遇到；例如，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，请利用以上方法解决下列问题： (1)______． (2)解方程：； (3)若分式方程有增根，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3)或18． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， ， ， ； 经检验，是原方程的解； （3）解：， ， ， ， ， ， ∵方程有增根， ∴或或， 当时，； 当时，，； 当时，（不符合题意，舍去） 综上：或18． 16．下面是小亮同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程① 方程两边都乘以，得：② 解得： 是原方程的根． 任务： (1)小明分析：不是原方程的根，而是方程 （填序号）的根；因为它使原分式方程的分母为零，所以它是原方程的 ． (2)请根据小明的分析，就分式方程解法的过程需要注意的事项给其他同学提一条建议． (3)根据总结的解题经验，解方程：． 【答案】(1)②；增根 (2)解分式方程必须检验 (3) 【分析】（1）由分式方程的解法步骤分析题中解答，再结合分式方程增根定义求解即可； （2）解分式方程最关键的步骤是验根，据此提出一条即可； （3）由分式方程的解法步骤求解即可． 【详解】（1）解：由阅读材料中的分式方程解法步骤知不是原方程的根，而是去分母后所得整式方程②的根；由增根定义可知是原分式方程的增根； （2）略 （3）解：， 整理得， 方程的两边同乘，得：， 解得， 检验：将代入原方程，得左边，右边，左边右边， 是原分式方程的根． 【题型5 列分式方程】 17．2026年“闽超”联赛火爆开赛，某文创厂接到8000件闽超主题文化衫的定制订单，印有“福聚八闽，爱拼会赢”的赛事口号．为赶在泉州队主场赛前交付，实际每天生产量是原计划的1.6倍，结果比原计划提前6天完成任务．设原计划每天生产件文化衫，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实际每天生产量是原计划的1.6倍，结果比原计划提前6天完成任务，列出分式方程即可. 【详解】解：∵设原计划每天生产件文化衫，实际每天生产量是原计划的倍， ∴实际每天生产件， ∴原计划完成任务的时间为 天，实际完成任务的时间为天， 由题意，. 18．每年七月份济南都会在大明湖景区举办“荷花艺术节”，为保障荷塘水质清澈、荷花长势良好，某团队承接了荷塘的清淤任务．若该团队实际每日清淤量比原计划提高，将提前天完成全部任务．设该团队原计划每日清淤量为，根据题意可列分式方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用工作时间工作总量工作效率，分别求出原计划和实际的完成天数，根据“原计划天数实际天数提前的3天”列分式方程即可． 【详解】解：设原计划每日清淤量为，实际每日清淤量比原计划提高， 实际每日清淤量为，总清淤量为， 原计划完成天数为，实际完成天数为， 实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天， 可列方程：． 19．古代民间有“碾米筹量”的数学趣题，改编如下：某农户用石碾碾稻谷，若单独用甲碾，若干小时可碾完；若单独用乙碾，完成的时间比单独用甲碾多3小时．已知甲碾每小时碾米量是乙碾的倍，若设单独用甲碾碾完需小时，则可列方程为_________________． 【答案】 【分析】将总工作量看作单位，根据题意表示出甲、乙的工作时间与工作效率，根据甲、乙工作效率的倍数关系列出方程即可． 【详解】解：∵设单独用甲碾完需小时，乙完成时间比甲多小时， ∴乙单独完成需要小时； 将总工作量看作单位，可得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵甲每小时碾米量是乙的倍，即甲的工作效率乙的工作效率， ∴，整理得． 20．请认真阅读并解决相应的问题．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，题目：暑假小卢和小吴相约各自开车到武夷山游玩，小卢家到武夷山的距离为，小吴家到武夷山的距离为，小卢比小吴每小时多行驶，两人从家里同时出发，同时到达，求小卢和小吴的行驶速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：小卢速度小吴速度 解法二 设小卢车速度为 等量关系：小卢用时小吴用时 ___________ (1)解法一所列方程中的表示________（填序号）； ①小卢行驶速度为；②小吴行驶速度为；③小卢和小吴行驶时间为； (2)请根据解法二列出方程，并求出小卢和小吴行驶速度． 【答案】(1)③ (2)；小卢和小吴行驶速度分别为和． 【分析】（1）根据路程除以时间等于速度，结合可得答案； （2）设小卢车速度为，利用小卢用时小吴用时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的表示小卢和小吴行驶时间； （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：小卢和小吴行驶速度分别为和． 【题型6 分式方程的行程问题】 21．小亮乘出租车去体育馆，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均速度比走路线一时的平均速度能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达．求小亮走路线二时的平均速度． 【答案】90千米/小时 【分析】设小亮走路线一的平均速度为千米/小时，可得路线二的平均速度为千米/小时，根据路线二比路线一少用10分钟到达，结合时间=路程÷速度建立等量关系，列出分式方程求解，检验后即可计算得到路线二的平均速度． 【详解】解：10分钟小时， 设小亮走路线一的平均速度是千米/小时，则走路线二的平均速度是千米/小时， 根据题意列方程得 ， 两边同乘得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 小亮走路线二的平均速度为（千米/小时）， 答：小亮走路线二的平均速度是90千米/小时． 22．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 【答案】(1)甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒 (2)乙无人机单个航段距离为米 (3)完成本次配送任务的时间是或秒 【分析】（1）设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）由（2）可得甲无人机单个航段距离为米，设甲飞行个航段，乙飞行个航段，由题意得，整理得，求出或，再分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒， 由题意可得， 解得， ∴甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒； （2）解：设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴乙无人机单个航段距离为米； （3）解：由（2）可得甲无人机单个航段距离为米， 设甲飞行个航段，乙飞行个航段， 由题意得， 整理得， ∵，为正整数， ∴或， 当时，（秒）， 当时，（秒）， ∴完成本次配送任务的时间是或秒． 23．甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 【答案】(1)甲走前半段步道的速度为千米/时； (2)，乙先到达终点． 【分析】（1）设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时，根据题意列得分式方程，据此求解即可； （2）根据题意分别求得，，计算得到，据此分析求得，即可判断乙先到达终点． 【详解】（1）解：设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解； 答：甲走前半段步道的速度为千米/时； （2）解：甲前千米速度为千米/时，后千米速度为千米/时， ∴， 乙把总时间小时分成两半，每段小时，总路程千米， ∴， 整理得， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴乙先到达终点． 24．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)48千米/时 【分析】（1）根据“时间路程速度”分别列出无人机和传统车辆的配送速度的代数式，再根据两者之间的时间关系列式求解即可； （2）根据“时间路程速度”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， , 解得， 经检验，是原分式方程的根，符合题意， （千米/时）， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）解：设无人机的速度提高到千米/时， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 【题型7 分式方程的工程问题】 25．某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．求乙程序员每小时输入多少名学生的成绩？ 【答案】乙每小时输660名学生成绩 【分析】设乙每小时输x名学生成绩，根据“甲比乙少用2小时输完”列分式方程求解． 【详解】解：设乙每小时输x名学生成绩， 根据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：乙每小时输660名学生成绩． 26．工程分式应用题 某工程队承接一项工程，原计划每天施工米，天完成；实际每天比原计划多施工米，提前天完工． (1)列分式方程求原计划每天施工长度； (2)若施工总费用元，求实际每天施工费用． 【答案】(1)原计划每天施工米 (2)实际每天施工费用为元 【分析】（1）根据施工总长度实际每天施工的长度实际施工的天数，列分式方程并解方程，再经检验后即可得出答案． （2）先计算实际施工的天数，再用总费用除以计算得到的天数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可列方程：， 解得：， 检验：是原方程的解， 答：原计划每天施工米； （2）解：实际施工天数：（天）， ∴实际每天施工费用：（元）． 答：实际每天施工费用为元. 27．松桃卤鸭作为铜仁非遗美食，被誉为“南方烤鸭”．已知甲店加工200只卤鸭和乙店加工180只卤鸭所用时间相同，甲店每小时比乙店多加工2只． (1)求甲店、乙店每小时各加工多少只卤鸭； (2)若某批订单需要300只卤鸭，要求甲店和乙店分别加工，所用时间之和不超过16小时，则甲店至少要加工多少只？ 【答案】(1)甲店每小时加工20只卤鸭，乙店每小时加工18只卤鸭 (2)甲店至少要加工120只卤鸭 【分析】（1）设乙店每小时加工只卤鸭，利用“工作时间=工作总量÷工作效率”，根据两店工作时间相等的关系列分式方程，求解检验后得到结果； （2）设甲店加工只卤鸭，根据总时间不超过16小时列一元一次不等式，求解得到甲店加工数量的最小值． 【详解】（1）解：设乙店每小时加工只卤鸭，则甲店每小时加工只卤鸭． 由题意得， 去分母得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲店每小时加工20只卤鸭，乙店每小时加工18只卤鸭； （2）解：设甲店加工只卤鸭，则乙店加工只卤鸭． 由题意得， 不等式两边同乘180得， 整理得， 解得， 答：甲店至少要加工120只卤鸭． 28．低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种． (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元． (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩． 【答案】(1)A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元． (2)A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 【详解】（1）解：设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元； （2）解：设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种亩，则 ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 【题型8 分式方程的经济问题】 29．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来了商机．某自行车行经营的A型电动自行车去年前半年的销售总额为90000元，由于受原材料涨价影响，进价上涨，今年该种电动自行车每辆售价比去年增加200元，今年前半年该型号电动自行车销售量与去年相同，而销售总额比去年同期增加10000元．求A型电动自行车今年的售价为每辆多少元？ 【答案】2000元 【分析】设A型电动自行车今年的售价为每辆元，结合今年前半年该型号电动自行车销售量与去年相同，再建立分式方程求解即可． 【详解】解：设A型电动自行车今年的售价为每辆元，依题意，得 ， 解得，     经检验是原方程的解，且符合实际意义     答：A型电动自行车今年的售价为每辆2000元． 30．为了促进学生的身心健康发展，体育组老师们准备购买一批呼啦圈．合适的呼啦圈有A和B两款，且A款比B款的单价贵10元，已知用450元购买的A款呼啦圈数与用350元购买的B款呼啦圈数相等，现准备同时购买A，B两款呼啦圈． (1)请问A款、B款呼啦圈单价各多少元？（用方程解决问题） (2)若准备同时购进A，B两款呼啦圈共计20个（两款呼啦圈都要买），总费用不超过720元，请问有哪些购买方案？ 【答案】(1)A款呼啦圈单价为元，B款呼啦圈单价为元． (2)共有两种购买方案：①购买A款呼啦圈个，B款呼啦圈个；②购买A款呼啦圈个，B款呼啦圈个． 【分析】（1）根据两款呼啦圈的单价关系设未知数，利用“450元购买的A款数量与350元购买的B款数量相等”的等量关系列分式方程，求解后检验得到结果． （2）设购买A款呼啦圈的数量，根据总数量表示出B款数量，结合“两款都要买”和“总费用不超过720元”列出不等式，求出符合条件的正整数解，即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设B款呼啦圈单价为元，则A款呼啦圈单价为元． 根据题意得： ， 解得： ， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则A款单价为（元） 答：A款呼啦圈单价为45元，B款呼啦圈单价为35元． （2）解：设购买A款呼啦圈个，则购买B款呼啦圈个． 根据题意得： 解得 ， 又∵为正整数， ∴或． 故共有两种购买方案：①购买A款呼啦圈个，B款呼啦圈个；②购买A款呼啦圈个，B款呼啦圈个． 31．2026年5月，科大讯飞公司在澳门举办了AI眼镜发布会，新产品再次推进了翻译行业的巨大变革，“AI眼镜”也成为了网络热词．请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某科技商店被授权出售“灵眸X”和“智视Pro”这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视Pro”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视Pro”的数量相同． 素材2 甲公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元． 素材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走进千家万户，商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视Pro”比原价优惠50元． 任务1 (1)求每副“灵眸X”和“智视Pro”眼镜的标价； 任务2 (2)在促销活动中，甲公司最多能购买多少副“灵眸X”？ 【答案】(1)每副“灵眸X”的标价为1500元，每副“智视Pro”的标价为800元 (2)甲公司最多能购买11副“灵眸X” 【分析】（1）设“灵眸X”的标价为元，则“智视Pro”的标价元，根据题意列方程，解方程即可； （2）设甲公司计划购买“灵眸X”副，则计划购买“智视Pro”副，根据题意列出不等式，，解不等式再取值即可解决． 【详解】（1）解：设“灵眸X”的标价为元，则“智视Pro”的标价为元， 由题意得，， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：每副“灵眸X”的标价为1500元，每副“智视Pro”的标价为800元； （2）解：设甲公司计划购买“灵眸X”副，则计划购买“智视Pro”副， 由题意得，， 化简，得， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴甲公司最多能购买11副“灵眸X”． 32．绍兴黄酒历史悠久，明清时期经浙东运河转运至沿海港口，进而依托海上丝绸之路远销南洋（东南亚）与日本．越越家在鲁迅故里景区内开设了一家绍兴黄酒专卖店，一天在店里发现进货单上的一个信息是：款黄酒每坛的进货单价比款黄酒每坛的进货单价多30元，花900元购进款黄酒的数量与花720元购进款黄酒的数量相同． (1)问，款黄酒每坛的进货单价分别是多少元？ (2)若越越家计划用2100元购进，两款黄酒若干坛销售，要求每款黄酒至少购进1坛且刚好用完2100元，则有哪几种进货方案？ 【答案】(1)A款黄酒每坛进货单价为150元，B款黄酒每坛进货单价为120元． (2)共有3种进货方案，分别为：方案1：购进A款黄酒2坛，B款黄酒15坛；方案2：购进A款黄酒6坛，B款黄酒10坛；方案3：购进A款黄酒10坛，B款黄酒5坛． 【分析】（1）根据“花900元购进A款黄酒的数量与花720元购进B款黄酒的数量相同”这一等量关系，设未知数后列分式方程求解，检验后得到单价． （2）根据刚好用完2100元列出二元一次方程，结合两款都至少购进1坛、坛数为正整数的条件，求出所有符合要求的正整数解，即可得到所有进货方案． 【详解】（1）解：设B款黄酒每坛进货单价为元，则A款黄酒每坛进货单价为元． 根据题意，得 ， ， ， 解得 ， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则， 答：A款黄酒每坛进货单价为150元，B款黄酒每坛进货单价为120元． （2）解：设购进A款黄酒坛，购进B款黄酒坛，均为正整数． 根据题意，得， 化简得， 变形得， ，，且为正整数，和4互质， 是4的倍数， ∴或或， 解得，，， 因此共有3种进货方案：方案1：购进A款黄酒2坛，B款黄酒15坛；方案2：购进A款黄酒6坛，B款黄酒10坛；方案3：购进A款黄酒10坛，B款黄酒5坛． 【题型9分式方程的和差倍分问题】 33．重庆正加速打造“低空之城”，无人机作为低空经济的核心技术载体，在物流领域已实现规模化应用．某企业为布局无人机物流配送领域，购进工业级多旋翼无人机与固定翼无人机两种，购买多旋翼无人机花费240万元，购买固定翼无人机花费150万元，且购买多旋翼无人机的数量是购买固定翼无人机数量的2倍，已知购买一架固定翼无人机比购买一架多旋翼无人机多花3万元． (1)求购买一架多旋翼无人机与一架固定翼无人机各需要多少万元？（列方程解决问题） (2)该企业决定再次购进两种无人机共30架，恰逢市场对无人机售价进行调整，多旋翼无人机的售价比第一次购买时提高了10%．固定翼无人机按第一次购买时售价的9折出售．如果该企业此次购买两种无人机的总费用不超过400万元，那么最多可购买多少架固定翼无人机？ 【答案】(1) 购买一架多旋翼无人机需要12万元，购买一架固定翼无人机需要15万元. (2) 最多可购买13架固定翼无人机. 【分析】（1）设两种无人机的单价，再根据“多旋翼无人机数量是固定翼无人机数量的2倍”的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果； （2）设固定翼无人机的购买数量，根据售价调整规则算出新单价，再根据“总费用不超过400万元”列出不等式，结合数量为正整数求出最大值即可． 【详解】（1）解：设购买一架多旋翼无人机需要万元，则购买一架固定翼无人机需要万元， 根据题意得：， 解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：购买一架多旋翼无人机需要12万元，购买一架固定翼无人机需要15万元． （2）解：设购买固定翼无人机架，则购买多旋翼无人机架， 调整价格后，多旋翼无人机单价为（万元），固定翼无人机单价为（万元）， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为13， 答：最多可购买13架固定翼无人机． 34．学校计划购买，两种书架，已知购买个种书架比个种书架的价格高，用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个．每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ 【答案】 每个种书架的价格是元，每个种书架的价格是元 【详解】解：设每个种书架的价格为元，则每个种书架的价格为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 每个种书架为元， 每个种书架为（元）． 答：每个种书架的价格是元，每个种书架的价格是元． 35．《九章算术》中有这样一个问题：“今有出钱三百八十四，买大竹；出钱一百六十八，买小竹，其数半之；欲其大小率之，问大、小竹各几何？”原文大意为：今花384钱，买大竹，花168钱，买小竹，买小竹的数量是买大竹数量的一半，每个大、小竹的价格相差1钱，求大、小竹各买多少个？ 【答案】买小竹24个，买大竹48个 【分析】设买小竹个，买大竹个，根据题意列分式方程求解． 【详解】解：设买小竹个，买大竹个， 由题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 故小竹买了24个， 则大竹买了：（个）． 答：买小竹24个，买大竹48个． 36．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 【答案】A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元 【分析】设A型号纪念品的单价为元，表示出B型号的单价后，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设A型号纪念品的单价为元，则B型号纪念品的单价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元． 【题型10 分式方程的其他实际问题】 37．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 解决下列问题： (1)若k为任意实数，求证：一定为非负数． (2)若，求x的值． (3)若，请直接写出x的值． 【答案】(1)证明：由题意得： ， ∵， ∴，即， ∴一定为非负数． (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的定义化简、结合完全平方公式即可得证； （2）根据材料中的定义可得或，分别求出的值，代入进行检验即可； （3）得出，则可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵， ∴或， ①当时，解得，经检验，是这个分式方程的解， 将代入得：， 此时，舍去； ②当时，解得，经检验，是这个分式方程的解， 将代入得：， 此时，符合题意； 综上，的值为． （3）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴． 38．“这么近，那么美，周末到河北．”河北省某地旅游景点为方便游客游览，现提供免费的观光车，观光车分为两种类型，分别为电瓶车和小火车，每辆小火车的座位比电瓶车多20个．某旅游团有120人，此旅游团成员全部乘坐观光车游览，若每一辆观光车都坐满乘客，且该旅游团全部乘坐电瓶车所需的数量是全部乘坐小火车所需数量的2倍．设乘坐的电瓶车每辆车的座位数为x个． (1)若旅游团成员全部乘坐电瓶车，则需 辆电瓶车；若旅游团成员全部乘坐小火车，则需 辆小火车．（都用含x的式子表示） (2)求x的值． 【答案】(1)； (2)x的值为20 【分析】（1）先明确电瓶车座位数为，因为每辆小火车座位比电瓶车多20个，所以小火车每辆座位数为，根据总人数除以单辆车座位数等于车辆数，即可分别表示出乘坐两种车的数量． （2）因为题目给出乘坐电瓶车的数量是小火车数量的2倍，所以可以根据第一问得到的两个车辆数表达式，建立分式方程．求解所得的分式方程，最后对解进行检验，判断是否符合实际意义． 【详解】（1）解：；． （2）解：由题意，得， 两边都乘以，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴x的值为20． 39．科技改变世界，随着无人驾驶技术的高速发展，在我们县城也能看到快递公司无人投递车的身影了．某快递公司为提高配送的准确性和工作效率，分别投入A型无人投递车与B型无人投递车承担快递运送任务．已知A型车运送720件快递所用的时间与B型车运送600件快递所用的时间相等，且A型车每小时比B型车多运送20件． (1)求A型无人投递车每小时可运送的快递数量； (2)快递公司计划再购进A，B两种型号的无人投递车共20台．若要保证购进的这批无人投递车每小时的运送量不少于2200件，求至少应购进多少辆A型无人投递车． 【答案】(1)件 (2)辆 【分析】（1）根据A型车运送720件与B型车运送600件所用时间相等的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果； （2）根据总每小时运送量不少于2200件的要求列不等式，求解得到最小购进数量． 【详解】（1）解：设B型无人投递车每小时运送件快递，则A型无人投递车每小时运送件快递．由题意得 ， 解得． 经检验，是原分式方程的解，符合实际意义． 则． 答：A型无人投递车每小时可运送120件快递． （2）解：设购进辆A型无人投递车，则购进辆B型无人投递车．由题意得， 整理得， 解得． 答：至少应购进10辆A型无人投递车． 40．宿迁市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加人，结果在规定时间内不仅完成了该小区人的检测任务而且还帮助临近小区完成了人核酸检测任务．问实际每小时检测多少人？ 【答案】 实际每小时检测人 【分析】本题根据规定时间相等建立等量关系，设实际每小时检测人数为，利用“时间=总检测人数÷每小时检测人数”，得到原计划检测人的时间等于实际检测人的时间，列分式方程求解即可． 【详解】解：设实际每小时检测人， ∴原计划每小时检测人 ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合题意， 答：实际每小时检测人． 学科网（北京）股份有限公司 $