暑期预习讲义 第2讲 全等三角形的性质与判定（知识梳理+题型精析+同步自测） 2026年暑假人教版八年级数学上册

暑期预习讲义（第2讲）——全等三角形的性质与判定（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】全等三角形定义及表示方法 1 【知识点二】全等三角形的性质 2 【知识点三】三角形全等判定 2 二.题型精析基础夯实 3 【题型 1】 利用全等三角形的性质求值 3 【题型 2】 全等三角形的判定（SAS） 5 【题型 3】 全等三角形的判定（ASA或AAS） 8 【题型 4】 全等三角形的判定（SSS） 10 【题型 5】 全等三角形的判定（HL） 14 三.题型精析综合提升 16 【题型 6】 综合运算三角形全等的判定进行证明 16 【题型 7】 全等三角形性质与判定综合求值证明 19 【题型 8】 运算两次以上全等三角形判定证明三角形全等 24 四.同步自测 28 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 28 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】全等三角形定义及表示方法 1、 全等图形： 在生活中，我们会看到完全一样的图形，如果把它们叠在一起，它们就能够完全重合。能够完全重合的两个图形称为全等图形。 2、 全等三角形及表示方法 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 图示 向右平移和完全重合，得到和是全等三角形。 基本元素 对应角：与，与，与; 对应边：与，与，与; 全等表示 全等用符号“”表示，如全等于，记作，读作三角形ABC全等于三角形DEF。 【知识点二】全等三角形的性质 性质 全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等。 数学 语言 =，=，=;=，=，=. 注意事项 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【知识点三】三角形全等判定 内容 图示 书写格式 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可简写为“边角边”或“SAS”）。 在和中 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可简写为“角边角”或“ASA”）。 在和中 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可简写为“角边角”或“ASA”）。 在和中 三边分别相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 在和中 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在和中 二.题型精析基础夯实 【题型 1】 利用全等三角形的性质求值 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，写出其中相等的角． 【答案】，，， 解：∵， ∴，，， ∴， ∴. 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质得出． 解：∵， ∴． ∵，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，已知，若，则的长是______________． 【答案】2 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 解：∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期末）如图．，点在边上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）4；（2） 【分析】（）根据全等三角形对应边相等求解即可； （）根据全等三角形对应角相等得，则可求，进而根据求解即可． 解：（1）解：， ， ； （2）解：， ， 又， ， ． 【题型 2】 全等三角形的判定（SAS） 【例题2】（22-23八年级上·全国·期末）如图，在和中，，连接，求证：． 【答案】见分析 【分析】先证，再根据“”证明即可． 解：证明：∵，即， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义得到，再由对顶角相等得到，则，可得，据此可得答案． 解：∵两根钢条的中点连在一起， 又∵， ， ， 故判定的理由是边角边． 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件__________，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定（）、全等三角形的性质及等腰三角形的判定定理，解题的关键是通过已知条件推导相等线段，利用证明三角形全等，再结合全等性质与等腰三角形判定定理推导第二问中线段相等的结论． （1）由两边同时加得，结合已知和，根据判定定理可证； （2）利用（1）中三角形全等的性质得对应角（即），再根据等角对等边可直接得出． 解：（1）证明：如图． ∵ ∴，即 在和中 ∴（） （2）证明：∵（已证） ∴（全等三角形对应角相等），即， ∴（等角对等边）． 【题型 3】 全等三角形的判定（ASA或AAS） 【例题3】（2026·云南德宏·一模）如图，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】证明：，， ， 在和中， ， ． 【分析】先由垂直条件推出两个直角相等，再结合题目给的角相等和公共边，用判定两个三角形全等． 解：略 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知，是和的公共边，即．结合全等三角形判定定理、，补充一组对应边相等或两边的夹角相等，即可证明． 解：由题意可知： 是两个三角形公共边， ， 又已知， 添加条件： 在和中： ， ； 添加条件： 在和中： ， ， 综上，可填：（答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，于点D，过点B作于点E，交于点F，．求证：． 【答案】∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先结合，得出，再结合对顶角相等以及角的等量代换，得，又因为，故，即可作答． 解：略 【题型 4】 全等三角形的判定（SSS） 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 解：证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 【变式1】（2026·山西运城·三模）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵角尺两边相同的刻度分别与点重合， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在与中，E在边上，，若，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】根据证明，可得再根据三角形内角和即可求出结果． 解：如图， 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． （1）在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 解：（1）解：如图，点M即为所求； （2）解：，， ． ． ， ． ． 【题型 5】 全等三角形的判定（HL） 【例题4】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． （1）求证：≌； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质证明即可． 解：（1）证明：由题意可得：， 在与中， ∴≌； （2）证明：∵≌； ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得到，，，再加上公共边，则可利用“”判断． 解：由作法可得，，， 则， 在和中 ， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 【答案】/15度 【分析】证明，得到，即可得出结果． 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，点E和点F分别为垂足，且．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，再根据得到，即可得到，即． 解：证明：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 三.题型精析综合提升 【题型 6】 综合运算三角形全等的判定进行证明 【例题6】（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， 在和中 ∴； ③； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴. 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等. 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可. 解：略. 【变式1】（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 解：在和中，，， A、添加，根据可以判定，选项A不符合题意； B、添加，无法证明三角形全等，选项B符合题意； C、添加，根据可以判定，选项C不符合题意； D、添加，根据可以判定，选项D不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 【变式3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， （1）你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） （2）请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） （3）请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）①②③（答案不唯一）；（3）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 解：（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【题型 7】 全等三角形性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，． （1）尺规作图：在延长线上截取，作交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）证明：． 证：∵， ∴______________（______________） ∵在中， 且 ∴（______________） 在与中 （______________） ∵ ∴． 【答案】（1）见详解；（2）（等量代换）；等式的性质；全等三角形的对应边相等 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点,则；以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则可证明,则； （2）根据三角形全等的判定和性质证明即可． 解：（1）根据题意可得，在延长线上截取，作交延长线于点 （2）证明：． 证：∵， ∴（等量代换） ∵在中， 且 ∴（等式的性质） 在与中 （全等三角形的对应边相等） ∵ ∴． 【变式1】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，然后可得，，进而根据全等三角形的性质进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）在中，，平分交边于点，，则____________°． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计算．已知，说明是等腰三角形，底角相等；由，可能通过截取线段（在上取一点，使，连接）构造全等三角形来转化等量关系，得到等腰，进而结合三角形内角和定理求解． 解：设， ∵， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和都是等腰直角三角形，． （1）求证：，． （2）试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】本题考查了手拉手模型，熟练掌握手拉手模型的结论是解题的关键； （1）通过证明三角形全等得到线段相等和角的关系，进而证明垂直； （2）作垂线，利用全等三角形面积相等得到线段相等，再根据角平分线的判定证明角相等． 解：（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ． 综上所述，，． （2）解：．证明如下： 过点分别作于点，于点，如图． 由（1）可知，，， ， ． ，， 平分， ． 【题型 8】 运算两次以上全等三角形判定证明三角形全等 【例题8】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，于点． （1）用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，作线段交射线于点，作，交于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：， ①_________； 在和中， ， ③_________； 在和中， ， ， ． 【答案】（1）；（2）①；②；③ 解：（1）解：以点C为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，此时；以点E为圆心，长为半径画弧，交射线于点F，此时；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点，保持半径不变，以点C为圆心画弧交于一点，进一步作图即可； （2）略 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 解：如图，过作交的延长线于，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在和中，，，于，于且．求证：． 【答案】证明：，， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】先证明，再证明，即可证得结论． 解：略 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 解：∵，，， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·期中）如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，根据对顶角相等可得一组对应角相等，利用即可判定三角形全等． 解：点是两根细木条的中点， ，． 与是对顶角， ． 在和中， ， ． 3．（2026·内蒙古乌海·二模）如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 解：， ， ， 由题可得，， ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 6．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本事实：进行分析判断即可． 解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明，故此选项不符合题意. 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，点D、E分别在、上，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，得出对应角相等，结合平角定义和三角形内角和定理即可求解． 解：在和中， ， ， ，， 点在上， ， ， ， ， 在中，． 8．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，，，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，再利用对应角相等及角度之间的等量代换求解即可． 解：在和中， ， ， ， ，， ， ． 9．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 10．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，平分，下列结论：①若，则；②若，，则；③若，垂足为，则；④若，则；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． ①证明与全等，即可得；②由角平分线的性质即可得；③证明与全等，即可得；④证明与全等，即可得． 解：①∵平分， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，且，， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 又， 在与中， ， ∴， ∴，故③正确； ④在与中， ∵， ， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的是①②③④． 故选：D ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，，则的度数是______． 【答案】/100度 解：∵， ∴， ∴． 12．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在边上，点E在边上，且，，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造，然后得到，，再根据等角对等边得到是解题的关键． 解：延长到点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先根据证明，则可得，，进而可解答． 解：∵、是的高， ， ，， ， ∵在和中， ， ， ，， ∴， ． 故答案为：7． 14．（25-26八年级上·江西上饶·期中）小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是__________． 【答案】 【分析】利用作图痕迹得到，，根据全等三角形的判定方法即可解答． 解：由作图痕迹得，， ． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． 连接，证明，即可求出的长度． 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）你一定玩过跷跷板吧如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．根据________判定，所以________． 【答案】 【分析】用数学方法解决生活中有关的实际问题，转化为全等三角形解决问题． 解：由题可知，,,, , 在和中， , , 17．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，等腰直角三角形的直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，在滑动的过程中，当点B的坐标为，点C的坐标为时，点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，写出平面直角坐标系中点的坐标，根据题意，，如图所示，过点作轴于点，证明，得，则，结合平面直角坐标系的特点即可求解． 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，则， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为： ． 18．（25-26八年级上·浙江温州·期中）小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则_____________°． 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理及三线合一等知识， 连接，过点M作于点H，先根据角平分线的判定定理得出，再根据垂直平分线的性质定理及三线合一得出，即可得出答案． 解：连接，过点M作于点H， 由题意可得：，， ， 点E，F对应的刻度分别为， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【答案】见分析 【分析】根据全等三角形的性质可知，进而得到，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 解：， ， ， ， ， ， ． 20．（本小题满分8分）（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 解：（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，点E和点F分别为垂足，且．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，再根据得到，即可得到，即． 解：证明：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，试求的面积． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法； （1）通过证明，即可证明； （2）先求出，进而求出，再根据三角形面积公式即可求解． 解：（1）证明： ， ， ，， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在与中，，，且，过点作，垂足为，交于点，延长交于点，连接． （1）①求证：；②求的度数； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见分析；②；（2），理由见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）①证明即可；②全等三角形的性质，得到，对顶角相等得到，进而得到即可； （2）作，证明，得到，再证明，得到，即可． 解：（1）解：①∵， ∴， 又∵，， ∴； ②∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，理由如下： 作，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； （3）如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）旋转的度数为，此时CN的长为 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，得到，再根据等腰三角形的内角和求解即可． （2）运用证明，即可解答． （3）在上截取，连接，延长交于点F，先推导出，得到，，继而证明，得到，，得到，，即可解答． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （3）解：如图，在上截取，连接，延长交于点F， ∵点N为BM的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 由旋转，得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 答：旋转的度数为，此时CN的长为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第2讲）——全等三角形的性质与判定（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】全等三角形定义及表示方法 1 【知识点二】全等三角形的性质 2 【知识点三】三角形全等的判定 2 二.题型精析基础夯实 3 【题型 1】 利用全等三角形的性质求值 3 【题型 2】 全等三角形的判定（SAS） 4 【题型 3】 全等三角形的判定（ASA或AAS） 5 【题型 4】 全等三角形的判定（SSS） 6 【题型 5】 全等三角形的判定（HL） 7 三.题型精析综合提升 8 【题型 6】 综合运算三角形全等的判定进行证明 8 【题型 7】 全等三角形性质与判定综合求值证明 10 【题型 8】 运算两次以上全等三角形判定证明三角形全等 11 四.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】全等三角形定义及表示方法 1、 全等图形： 在生活中，我们会看到完全一样的图形，如果把它们叠在一起，它们就能够完全重合。能够完全重合的两个图形称为全等图形。 2、 全等三角形及表示方法 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 图示 向右平移和完全重合，得到和是全等三角形。 基本元素 对应角：与，与，与; 对应边：与，与，与; 全等表示 全等用符号“”表示，如全等于，记作，读作三角形ABC全等于三角形DEF。 【知识点二】全等三角形的性质 性质 全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等。 数学 语言 =，=，=;=，=，=. 注意事项 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【知识点三】三角形全等的判定 内容 图示 书写格式 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可简写为“边角边”或“SAS”）。 在和中 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可简写为“角边角”或“ASA”）。 在和中 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可简写为“角边角”或“ASA”）。 在和中 三边分别相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 在和中 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在和中 二.题型精析基础夯实 【题型 1】 利用全等三角形的性质求值 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，写出其中相等的角． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，已知，若，则的长是______________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期末）如图．，点在边上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【题型 2】 全等三角形的判定（SAS） 【例题2】（22-23八年级上·全国·期末）如图，在和中，，连接，求证：． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件__________，可以根据“”得到． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）． 【题型 3】 全等三角形的判定（ASA或AAS） 【例题3】（2026·云南德宏·一模）如图，，，垂足分别为，，．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【变式3】（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，于点D，过点B作于点E，交于点F，．求证：． 【题型 4】 全等三角形的判定（SSS） 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【变式1】（2026·山西运城·三模）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在与中，E在边上，，若，则的度数为 ________． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． （1）在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求的度数． 【题型 5】 全等三角形的判定（HL） 【例题4】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． （1）求证：≌； （2）求证：． 【变式1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，点E和点F分别为垂足，且．求证：． 三.题型精析综合提升 【题型 6】 综合运算三角形全等的判定进行证明 【例题6】（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 【变式1】（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【变式3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， （1）你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） （2）请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） （3）请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【题型 7】 全等三角形性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，． （1）尺规作图：在延长线上截取，作交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）证明：． 证：∵， ∴______________（______________） ∵在中， 且 ∴（______________） 在与中 （______________） ∵ ∴． 【变式1】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）在中，，平分交边于点，，则____________°． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和都是等腰直角三角形，． （1）求证：，．（2）试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【题型 8】 运算两次以上全等三角形判定证明三角形全等 【例题8】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，于点． （1）用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，作线段交射线于点，作，交于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：， ①_________； 在和中， ， ③_________； 在和中， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在和中，，，于，于且．求证：． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·期中）如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·内蒙古乌海·二模）如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，点D、E分别在、上，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，，，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 10．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，平分，下列结论：①若，则；②若，，则；③若，垂足为，则；④若，则；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，，则的度数是______． 12．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在边上，点E在边上，且，，若，，则的长为________． 13．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为______． 14．（25-26八年级上·江西上饶·期中）小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是__________． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 16．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）你一定玩过跷跷板吧如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．根据________判定，所以________． 17．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，等腰直角三角形的直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，在滑动的过程中，当点B的坐标为，点C的坐标为时，点A的坐标为______． 18．（25-26八年级上·浙江温州·期中）小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则_____________°． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 20．（本小题满分8分）（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，点E和点F分别为垂足，且．求证：． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，试求的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在与中，，，且，过点作，垂足为，交于点，延长交于点，连接． （1）①求证：；②求的度数； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； （3）如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $