专题11一元一次方程的应用暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题11一元一次方程的应用暑假预习讲义 1. 掌握解题步骤：熟记列方程解应用题完整流程：审题意→找等量关系→设未知数→列一元一次方程→解方程→检验（方程解+实际意义）→作答。 2. 吃透高频题型等量关系：梳理课本核心题型公式逻辑，包含工程、配套调配、销售盈亏、行程、分段计费、积分、和差倍分问题，精准抓取各类题型内在等量关系。 3. 熟练设元技巧：会灵活选用直接设未知数、间接设未知数两种方式，简化方程列式难度。 4. 规范方程求解：结合上节课解方程知识，准确完成去分母、去括号、移项等运算，保证计算正确率。 5. 落实双重检验：解出方程后，既要检验数值是否为方程的解，还要结合现实场景舍去负数、不符合题意的解。 6. 方案决策能力：针对话费、出行、购物多方案题型，通过列方程求出临界点，对比选出最优方案。 7. 规避典型易错点：等量关系梳理错误、单位不统一、忘记检验实际意义、答句书写不完整。 8. 建立建模思想：把生活文字信息抽象为数学方程，完成算术思维向方程建模思维过渡，夯实初中应用题解题核心能力。 预习必备 知识梳理 1.解决实际问题的步骤 2.两种设元方法对比 3.分析问题中的等量关系 4.常见问题中的等量关系 5.检验的两大要求 6.寻找等量关系的4种方法 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.配套问题（常） 2.工程问题（重） 3.销售盈亏问题（常） 4.比赛积分问题（重） 5.方案问题（难） 6.数字问题 7.几何问题（难） 8.动点问题（难点） 9.和差倍分问题（常+重） 10.电费和水费问题（常考） 11.行程问题（重） 12.比例分配问题（难点） 13.日历问题 14.古代问题（难点） 15.其他实际问题 知识点 01 列一元一次方程解应用题通用标准流程 一、六大固定解题步骤（考试规范书写，缺一不可） 审：仔细读题，提取已知量、未知量，找准题目核心等量关系； 设：设未知数，分两种方式 直接设：问什么设什么（最常用）； 间接设：直接设不好列式时，设中间变量简化计算； ✨规范书写：设未知数必须带单位； 列：用含未知数的代数式表示所有相关量，根据等量关系列出一元一次方程； 解：按照去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1 五步解方程； 验：双重检验（两步都要写） 1 检验解是否满足所列方程； ② 检验解是否符合实际生活意义（人数、物品、速度、钱数不能为负数、小数，部分场景必须取整数）； 答：完整写出答句，对应题目问题，带上单位。 二、解题核心关键：找等量关系技巧 关键词法：看到 “一共、总和、比… 多、比… 少、倍数、剩余、相等、配套” 直接锁定等式； 公式法：行程、工程、利润、浓度固定公式直接作为等量关系； 图表法：列表格梳理数量，清晰直观，避免等量关系找错。 知识点 02 两种设元方法对比 设元类型 定义 适用场景 直接设元 题目求什么，就设什么为x 和差倍分、简单销售、基础行程 间接设元 设中间关联量为x，求出后再计算最终答案 比例、复杂数字、多步行程、配套问题 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 1.配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量 b=B种配件总数量a 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。 解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 5. 球赛积分问题 相等关系： （1） 比赛总场数=胜场数+平场数+负场数； （2） 比赛总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总得分。 6. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 7.利息问题 （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数）。 （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数)。 8.年龄问题 “年龄问题” 的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住 “年龄差” 是解答年龄问题的关键。 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点 07 高频易错汇总 易错板块 典型错误 标准正确做法 设未知数 设元不带单位，答题遗漏单位 设x标注单位，答案写完整单位 和差关系列式 甲比乙多 3，错写甲+3=乙 理清大小，甲 = 乙 + 3 流水航行 顺水逆水速度加减颠倒 顺水加水流速度，逆水减水流速度 工程总量 无具体总量不设单位 1 无总量统一设工作总量为 1 打折计算 直接标价 × 折扣数字 打n折 = 标价 × 数字表示 两位数直接写a+b 十位数字 ×10 再加个位数字 答题步骤 只解方程，不检验实际意义 计算完成必须检验是否符合生活逻辑 题型1.配套问题 【典例】在准备学校文化艺术节的社团展示时，数学社团的李老师组织社团学生做数学元素的帽子．社团共有学生45人，每名学生一节课能做帽身10个或装饰物30个．若每个帽身需要匹配2个装饰物，为了使本节课做的帽身和装饰物刚好配套，假设分配x名学生做帽身，可列方程为：________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设应该分配名学生做帽身，根据每个帽身需要匹配2个装饰物，得到装饰物的数量是帽身数量的2倍，列出方程即可． 【详解】解：设应该分配名学生做帽身，则名学生做装饰物， 由题意得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 【答案】A 【分析】根据题意将加工大齿轮的工人人数与加工小齿轮的工人人数表示出来，再根据“加工的小齿轮数量是加工的大齿轮数量的2倍”求解即可． 【详解】解：设每天加工大齿轮的工人有人，加工小齿轮的工人有人， 由题意列式为， 解得． 【跟踪专练2】某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． 【跟踪专练3】小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答） (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2），小敏和小强分别设计了自己的解决方案． 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【答案】(1)12个 (2)小敏方案不行，理由见解析；小强的方案可行，最多可做23个包装盒 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确寻找等量关系是解本题的关键． （1）设张白板纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果： （2）对于小敏，设张做盒身，根据题意列出方程，求出方程的解得到的 值；对于小强，设余下的白板纸张 做盒身，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，检验即可； 【详解】（1）解：设x张白板纸做盒身，则有张做盒盖， 根据题意，得， 解得， 所以． 答：最多可做12个包装盒． （2）解：小敏方案不行，设x张做盒身， 根据题意，得， 解得，不符合题意； 小强的方案可行，设余下的白板纸y张做盒身， 根据题意，得， 解得， 所以， 所以最多可做23个包装盒． 题型2.工程问题 【典例】某地为了打造沿河景观带，将一段长为的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时天，已知甲工程队每天整治，乙工程队每天整治．设甲队整治了天，则可列方程为____________． 【答案】（其他写法正确均可） 【分析】设甲队整治了天，根据总用时为天，得出乙队整治的天数为天；再依据“甲队整治的长度乙队整治的长度河道总长度”这一等量关系，列出方程． 【详解】解：设甲队整治了天，则乙队整治了天． 甲队每天整治，故甲队整治长度为； 乙队每天整治，故乙队整治长度为； 根据总长度为，可列方程为． 【跟踪专练1】甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【答案】C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． 【跟踪专练2】智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 【答案】机器人单独工作的时长为分钟 【分析】设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟，根据题意建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟， 由题意得：， 解得， 答：机器人单独工作的时长为分钟． 【跟踪专练3】一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 题型3.销售盈亏问题 【典例】暑假期间，渭宾眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告内容如下，请你为广告牌填上原价． 原价：_________元 暑假八折优惠，现价：100元 【答案】125 【分析】等量关系：现价原价折扣率，据此列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该款式眼镜的原价为元， 根据题意，得， 解得． 即该款式眼镜的原价为125元． 【跟踪专练1】某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系，利润售价进价，利润进价利润率，列方程即可． 【详解】解：设这种商品的标价为每件元， ∵商品按标价的9折销售， ∴实际售价为元， 根据题意列方程得：． 【跟踪专练2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”大好春光里，放风筝已成为孩子们的最爱.星星青少年活动中心为孩子们购买了8个大风筝和12个小风筝，共花费了272元．已知大风筝的单价比小风筝的单价高9元，求大风筝的单价． 【答案】大风筝的单价为19元 【分析】设大风筝的单价为x元，则小风筝的单价为元，由题意得，进而求解即可． 【详解】解：设大风筝的单价为x元，则小风筝的单价为元，由题意得： ， 解得：， 答：大风筝的单价为19元． 【跟踪专练3】某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【答案】(1)降价前每件衬衫的利润率为 (2)每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标 【分析】（1）根据利润率公式列式计算即可； （2）设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，根据销售收入进货成本利润，建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 答：降价前每件衬衫的利润率为． （2）解：设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标， 由题意得：， 解得， 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 题型4.比赛积分问题 【典例】第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护  共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 【答案】 42 【分析】设安安答错了道题，则答对了道题，根据总题数为50道建立等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设安安答错了道题，则答对了道题， 根据题意，得， 解得， 则答对题数为（题）． 【跟踪专练1】某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】根据“最终成绩答对的题得的分答错的题扣的分”列式求解． 【详解】解：设小华答对道题，则不答或答错道题， 由题意列式为： ， ， ， ， ； ∴小华答对道题． 【跟踪专练2】长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 【答案】小李答对17道题 【分析】设小李答对道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小李答对道题， 根据题意，得． 解得． 经检验，符合题意， 答：小李答对17道题． 【跟踪专练3】2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【答案】这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 【分析】设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场．根据总积分为18分列方程求解即可． 【详解】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场． 根据题意得： 解得： 答：这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 题型5.方案问题 【典例】根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________． 【答案】35 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，根据买2把暖瓶3个水杯共需94元列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，由题意可得： ， 解得： 故答案为：35． 【跟踪专练1】某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，关键是分别表示出两种优惠方案的费用，再根据费用相等建立等式． 【详解】解：方案①：全体打折，每个道具原价元，人共需个道具，因此费用为； 方案②：全场打九折(即原价的倍)，且赠送个道具，因此只需购买个道具，费用为． 因为两种方案费用一样，所以可得方程：． 故选：C． 【跟踪专练2】我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 【答案】(1)8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠 (2)学生14人，非学生游客16人 【分析】本题考查一次函数的实际应用，有理数的混合运算，利用方程解决问题是解题的关键； （1）让非学生游客享受8折优惠的同时，使尽量多的学生享受6折优惠即可； （2）设学生有x人，非学生游客有人，列方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知家长买团体票可以享受优惠， 因为团体购票需要10人以上（含10人）， 则方案一：8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案二：8位家长和3位学生购买团体票，剩余1位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案三：8位家长和4位学生购买团体票， 需付款（元）； ， 所以8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠； （2）解：设学生有x人，非学生游客有人， 即， 解得， ， 答：学生14人，非学生游客16人． 【跟踪专练3】某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 【答案】(1)方案一：120元 方案二：元； (2) (3)550或1050 【分析】（1）先判断打印张数是否超过对应方案的免费额度，因为方案一免费500张、方案二免费750张，800张均超过两者免费额度，所以分别按照“办卡费+超出部分×对应单价”的规则，列代数式计算两个方案的费用； （2）先判断支付费用对应的打印张数是否超过方案一免费额度，因为30元对应500张，66元大于30元，所以先计算超出免费额度的费用，再除以超出部分单价得到超出张数，最后加免费额度的张数得到总张数； （3）分区间讨论的取值：如果，比较两个方案的固定费用；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解，最后检验解是否符合即可． 【详解】（1）解：方案一：∵打印800张，超出免费500张的部分为 张 ， ∴总费用 元； 方案二：打印800张，超出免费750张的部分为 张 ， ∴总费用 （元）； （2）因为，说明打印张数超过500张， 设总张数为张， ∴ 解得：； 答：该老师打印的资料总张数为620张； （3） ① 当：方案一收费30元，方案二收费45元，收费不相等，无解； ② 当时， 根据题意可得， 解得，符合题意； ③ 当时， 根据题意得， 解得，符合题意； ∴或． 题型6.数字问题 【典例】为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 【答案】B 【分析】根据加密规则：“明文a，b，c对应的密文，，”，把7，18，15分别代入这三个式子，计算即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 【跟踪专练1】在数学小组探究活动中，小月请同学想一个数，然后将这个数按以下步骤操作．小月就能说出同学最初想的那个数，如果小红想了一个数，并告诉小月操作后的结果是3，那么小红所想的数是_______． 【答案】 【分析】先设这个数为x，然后根据运算步骤，结果等于3，即可得出一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：设小红所想的数是x， 由题意得：， 解得：． 【跟踪专练2】小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能；13，21，23，25，33 【分析】（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）设十字形框架中间的数为，根据这五个数的和等于列方程，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为； （2）解：能，理由： 设十字形框架中间的数为，则 ， 解得， 所以这五个数的和能等于115， 这五个数为13，21，23，25，33． 【跟踪专练3】阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 【答案】(1)①36；②3； (2)“灵动数”b为79 【分析】（1）①先明确“灵动数”判定条件：两位数的个位数字大于十位数字，用该条件逐个判断给出的数即可． ②计算时，先写出原“灵动数”的十位、个位数字，得到对调后的新两位数，计算两数差后除以9即可． （2）先将“灵动数”和对调后的新数用含的代数式表示，再根据的定义列出关于的方程，求解后代入即可得到． 【详解】（1）解：①三个数11，21，36中，“灵动数”为36；             ②； （2）解：依题意得：原两位数为，         新两位数为，             ，             ， ； ，             十位数字：，个位数字：， ∴“灵动数”b为79． 题型7.几何问题 【典例】一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长为，则这个正方形纸板的边长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设长方体的高为，则盒子的宽为，根据“正方形的边长相等”列方程求出长方体的高，再求出正方形的边长． 【详解】解：设长方体的高为，则盒子的宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴这个正方形纸板的边长为． 【跟踪专练1】如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形拼成的图形．线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为____． 【答案】6 【分析】将题干图补全为一个大长方形，由于是这个长方形的对角线，这条对角线把长方形分成了两个相同的直角三角形，不难看出，左下角补的两个长方形的面积等于右上角补的长方形的面积，设小长方形的长为x，进而列方程求解即可. 【详解】解：如图， 设小长方形的长为x． ， ， ， ， ， ， 答：小长方形的长是6． 【跟踪专练2】某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． (1)求正方形纸片的边长； (2)求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1)正方形纸片的边长为 (2) 【分析】（1）设正方形纸片的边长为．根据题意，得，解方程求解即可； （2）阴影部分的面积表示为，求解即可． 【详解】（1）解：设正方形纸片的边长为． 根据题意，得， 解得，经检验，符合题意． 故正方形纸片的边长为． （2）解：正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积为． 【跟踪专练3】如图，已知为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为． (1)求线段的中点对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点处相遇，求点对应的数； (3)若电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度时，求点对应的数． 【答案】(1)线段的中点对应的数为 (2)点表示的数为 (3)点对应的数为或 【分析】（1）设线段的中点对应的数为，根据列方程求解； （2）根据题意列方程求解即可； （3）利用“电子蚂蚁运动的路程电子蚂蚁运动的路程110或130”列方程求解，进而可得点对应的数． 【详解】（1）解：设线段的中点对应的数为， 由，得， 解得 ， 即线段的中点对应的数为． （2）解：由图可知：数轴上两点之间的距离为， 设电子蚂蚁和电子蚂蚁运动秒后在点处相遇， 依题意，得， 解得， 所以点表示的数为． （3）解：设电子蚂蚁和电子蚂蚁 运动秒后在数轴上相距个单位长度， 依题意，得或， 解得或， 或， ∴点对应的数为或． 题型8.动点问题 【典例】如图，正方形的边长为5，点E，F分别从点A，B出发，同时分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度逆时针移动．当点E，F首次重合时，运动时间________秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．根据点E，F首次重合时，点F运动的路程与点E运动路程之差为15，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可推出，据此分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线把长方形面积分成相等的两部分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为或5． 【跟踪专练2】如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是16，点在点，之间，且到点的距离与到点的距离相等． (1)点B表示的数是_____；点C表示的数是_____． (2)若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点相遇？ (3)在（2）的条件下，是否存在符合条件的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等知识点． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （2）先用t的代数式分别表示出秒后点表示的数，再由点与点相遇建立方程求解； （3）先用t的代数式分别表示出秒后点表示的数，再由数轴上两点之间的距离公式建立方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，点B表示的数是， 点C表示的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， ∴当时，点与点相遇； （3）解：存在， 由题意得，， 解得或． 【跟踪专练3】对于数轴上的三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点所表示的数分别为1，3，4，此时点是点的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别为，，，其中是点，的“联盟点”的是_____； (2)点表示数，点表示的数30，为数轴上一个动点，若点在点的左侧，且点是点的“联盟点”直接写出此时点表示的数为__________． 【答案】(1)或 (2)或或； 【分析】（1）分别求得到点的距离，根据“联盟点”的定义即可得到答案； （2）根据“联盟点”的定义，分类讨论点的位置，设点对应的数为，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点表示数，点表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为， ∴，， ∴不是的“联盟点”； ∵， ∴是的“联盟点”； ∵， ∴是的“联盟点”； 故答案为：或． （2）解：设点在数轴上所表示的数为， 当点在线段上时， 若，则，解得， 若时，则，解得， 当点在点的左侧时，由可得，解得， 综上所述，点表示的数为或或； 题型9.和差倍分问题 【典例】实验小学六年级（1）班分成两个活动小组，第一小组30人，第二小组36人．现将第一小组人数调整为第二小组人数的一半，则应从第一小组调________人到第二小组． 【答案】8 【分析】设出未知数，再根据倍数关系列一元一次方程求解即可 ． 【详解】解：设应从第一小组调x人到第二小组， 则有，解得， 则应从第一小组调8人到第二小组． 【跟踪专练1】数量关系不能用表达的是（    ）． A．公园里有一条长方形的甬道，长x米，宽米．如果宽增加到米，面积则增加20平方米． B．三个同学跳绳，小明跳了x个，小强跳的个数是小明的，小亮跳的个数是小明的，小亮比小强少跳了20个． C．商店售卖x件服装，第一周卖了全部的，第二周卖了余下的，第一周比第二周多卖了20件． D．从A地到B地，有甲、乙、丙三条路，甲路长x千米，乙是甲的，丙是甲的，乙比丙长20千米． 【答案】C 【分析】根据题意列出对应选项中的方程即可得到答案． 【详解】解：A、根据题意列方程，展开得，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； B、根据题意列方程，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； C、根据题意列方程，展开得，不符合题干数量关系，故此选项符合题意； D、根据题意列方程，符合题干数量关系，故此选项不符合题意； 【跟踪专练2】（找等量关系）在读书节期间某校六年级（1）班购买了一箱《童年》，第一组拿走了一半多1本，第二组拿走了剩下的一半多2本，箱子里还剩10本．这箱《童年》共有多少本？ 【答案】本 【分析】根据拿书的流程表示出剩余书本数量，利用剩余10本的等量关系列一元一次方程求解． 【详解】解：设这箱《童年》共有本． 第一组拿走本，剩余书本数量为：， 第二组拿走剩下的一半多2本，拿走的数量为， 根据最终剩余10本，列方程得：， 整理得， 解得， 答：这箱《童年》共有本． 【跟踪专练3】2026年，安徽省深入推进全民义务植树行动，创新开展“互联网＋全民义务植树”线上线下融合活动．植树节期间，某校组织学生参加植树活动．如果每个小组植树12棵，还剩下20棵树苗没有种植；如果大家提高效率，每个小组植树17棵，则树苗数量不足，还缺10棵．求该植树活动一共分成了多少个小组？ 【答案】 该植树活动一共分成了个小组. 【分析】设该植树活动一共分成了个小组，根据树苗总数量不变建立等量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该植树活动一共分成了个小组． 根据树苗总数量不变，可得方程， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 答：该植树活动一共分成了6个小组． 题型10.电费和水费问题 【典例】某市自来水公司为了限制单位用水，每月只给某单位计划内用水，计划内用水每吨收费元，超过计划部分每吨按元收费．若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水________吨． 【答案】3050吨 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该单位该月用水x吨，可证明该单位该月的用水量大于，分别求出用水的费用和超过部分的费用，二者的和为1540，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设该单位该月用水x吨， ∵， ∴该单位该月的用水量大于， ∴， 解得， ∴该单位该月用水3050吨， 故答案为：3050． 【跟踪专练1】收费标准如下：每月用水不超过，按0.8元/收费，如果超过，超过部分按1.2元/收费．已知某用户某月的水费平均0.88元/，那么这个用户这个月应交水费为（     ）． A．6.6元 B．7.5元 C．7.8元 D．7.2元 【答案】A 【分析】首先由平均水费高于0.8元/判断用水量超过，再根据总水费的等量关系列方程求解即可． 【详解】， 该用户这个月用水量超过， 设该用户这个月用水量为，根据总水费相等列方程： ， 化简得 ， 移项合并得 ， 解得 ， 这个月应交水费为 元． 【跟踪专练2】某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量； (1)当时，水费为________元； 当时，水费为________元；（用含x的式子表示） (2) 月份 10月 11月 12月 用水量 15 22 a 小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？ 【答案】(1)当时，水费为34元；当时，水费为元 (2)小花家12月份用水 【分析】（1）根据收费方式，求出水费，列出代数式即可； （2）根据题意和收费方式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：当时，水费为元； 当时，水费元； （2）解：由题意得，小花家10月份，11月份共交水费（元）， 则12月份水费为（元） ， ∴， ∴小花家12月份的用水量为，超过20吨的部分为， ， 解得：． 答：小花家12月份用水量为． 【跟踪专练3】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 题型11.行程问题 【典例】跑步是学校常见的体育锻炼方式，有利于提高学生的身体素质．小悦每秒跑2.4米，小秦每秒跑2.6米，两人绕操场跑道同时同地反向而行，第一次相遇时小秦比小悦多跑16米，第一次相遇他们用了________秒． 【答案】 【分析】本题考查行程问题中的反向相遇问题，解题的核心是利用路程差与速度差的关系建立方程求解．两人同时同地反向而行，到第一次相遇时所用时间相同；已知两人的速度和路程差，根据“路程差＝速度差×相遇时间”这一关系，即可求出相遇时间． 【详解】解：设第一次相遇的时间为秒， 由题意，第一次相遇时小秦比小悦多跑了16米， 可得：， 解得：． 即第一次相遇的时间为秒． 【跟踪专练1】小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明家到学校距离为，规定到校时间固定，由于速度为时迟到2分钟，说明走完全程的时间比规定时间多小时，故规定到校时间为；由于速度为时提前2分钟，说明走完全程的时间比规定时间少小时，故规定到校时间为，再根据规定到校时间相等建立方程即可． 【详解】解：分钟小时， 设小明家到学校距离为， 由题意得， ． 【跟踪专练2】艳艳和君君约定从A地沿相同路线骑行去B地，已知艳艳的速度是君君速度的1.2倍，若君君先骑行2千米，艳艳出发半小时后恰好追上君君，求艳艳每小时骑行多少千米？ 【答案】千米 【分析】设君君每小时骑行千米，根据倍数关系表示出艳艳的速度，根据题意列出方程，进行求解即可. 【详解】解：设君君每小时骑行千米，则艳艳每小时骑行千米， 由题意，得，解得； 则艳艳每小时骑行（千米）； 答：艳艳每小时骑行24千米. 【跟踪专练3】随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店A到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分． 在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离时，问：骑手甲行驶的时间是多少分钟？（列方程或方程组求解） 【答案】骑手甲行驶的时间是4.4分钟 【分析】根据“距离速度时间”列出骑手甲离开商店A的距离和骑手乙离开商店A的距离，根据“骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离”列出方程，求解即可． 【详解】解：设骑手甲行驶的时间为分钟． ∵甲的平均速度为600米/分， ∴骑手甲离开商店A的距离为米， ∵乙的平均速度为400米/分，2分钟后乙出发， ∴骑手乙离开商店A的距离为米． ∵骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离， ∴ 整理得， 则， 解得， 答：骑手甲行驶的时间是4.4分钟． 题型12.比例分配问题 【典例】把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，锯成段需要锯次，锯木料的时间与锯的次数成正比可得比例关系． 【详解】∵锯成段需锯：（次），用时分钟， ∵锯成段需锯（次），用时分钟， 由于每次锯木料的时间是固定的，根据锯木料的时间与锯的次数成正比，可得比例关系： ， 故选：B． 【跟踪专练1】山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【答案】20 【分析】本题考查了比的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设桃子总数为T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根据猴老大比猴老三多29个桃子，列方程求解T，再计算猴老二所拿桃子数． 【详解】解：设桃子总数为T，则猴老大取走，剩余； 则猴老二取走较多部分，猴老三得到； 由题意得，， ， ， 解得， 所以猴老二取走个桃子， 故答案为20． 【跟踪专练2】七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 【答案】3条船，36人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该班租了x条船，根据“每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该班租了x条船， 根据题意得：， 解得：， ∴该班一共有教师和学生:人， 答：该班租了3条船，该班一共有教师和学生36人． 【跟踪专练3】为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【答案】(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人 (2)租用7辆70座客车合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算． 【详解】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人； （2）解：租用45座客车所需费用为（元）， 租用70座客车所需费用为（元）． ∵， ∴租用7辆70座客车合算． 题型13.日历问题 【典例】如图1是2025年元月的日历，用图2中的“工”字形图案盖住图1中的7个数，若“工”字形图案盖住的7个数的和为154，则“工”字图中最大的数为______． 【答案】30 【分析】设“工”字形图中最大的数为x，根据日历的特点用含x的式子表示出其他6个数，再根据这7个数的和为154建立方程求解即可． 【详解】设“工”字形图中最大的数为x， 则其它6个数分别为，，，，，， 由题意得， 解得， ∴“工”字图中最大的数为30． 【跟踪专练1】如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（     ） A．63 B．84 C．98 D．106 【答案】D 【分析】设中间数为，则七个数分别为、，、、、，，其和为，即和一定是的倍数，并结合中间数的位置解答． 【详解】解：设“H字框”中间的数为，则框出的七个数分别为、，、、、，， ∴七个数的和为， 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(日历中的数必须是整数，不合理)； 所以，只有对应的方程解不符合实际，因此和不可能是． 【跟踪专练2】下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能，理由如下： 设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 解得， 则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130． 【分析】（1）设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，根据“五个数的和为115”建立方程求解，即可画图； （2）同（1）列方程求解即可． 【详解】（1）解：设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 画图如下见答案； （2）略 【跟踪专练3】如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍 (2)成立；理由如下： 假设中间数为，则上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是， (3)不能 【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案； （2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是，然后再计算这五个数的和即可； （3）根据题意用未知数表示出框出个数，根据这个数的和为列出方程解答即可． 【详解】（1）解：     答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍． （2）略 （3）解：设中间数为． 答：在该月历上，是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数． 题型14.古代问题（难点） 【典例】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设木长尺，则绳子长为尺，再根据绳子对折后量长木，长木还剩余尺列方程即可. 【详解】解：设木长尺，则 绳子长为尺，根据题意得 . 【跟踪专练1】据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第根上的一个绳结表示个，第根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题中的等量关系列方程，设在第个绳子上打结的数是，根据题意得，解得即为第根绳子上的打结数． 【详解】解：图中第2根上的一个绳结表示个，第3根上的一个绳结表示个， 设在第个绳子上打结的数是，根据题意得， 解得，即在第2根绳子上打结的数是． 【跟踪专练2】列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【答案】8个 【详解】解：设有x个牧童， 依题意得：， 解得． 经检验，符合题意． 答：共有8个牧童． 【跟踪专练3】我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 【答案】(1)， (2)5，37 【分析】（1）甲：每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为，根据竹竿总数相等列方程即可；乙：每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为，根据人数相等列方程即可； （2）解（1）中所列方程即可求解． 【详解】（1）解：甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程； （2）解：解，得， 解，得． 所以牧童有5人，竹竿有37竿． 题型15.其他实际问题 【典例】“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，若山上的温度为，设山上距离地面的垂直高度为，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据温度变化的等量关系列一元一次方程，思路是：山上温度等于地面温度减去升高千米下降的总温度，据此列出方程即可． 【详解】解：∵山上距离地面的垂直高度为，每升高千米温度下降， ∴温度一共下降， ∵地面温度为，山上温度为， ∴根据等量关系可列方程：． 【跟踪专练1】在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表；若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 14.5 15 【答案】12 【分析】先根据表格数据得到弹簧长度与所挂物体质量的变化规律，再列出方程解答即可． 【详解】解：由表格数据可知，物体质量每增加，弹簧长度增加， 设所挂物体的质量为， 则：， 解得， ∴若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是． 【跟踪专练2】天骄超市和金帝超市以同样的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，两家超市都实行会员卡制度，在天骄超市累计购买元商品后，发给天骄会员卡，再购买的商品按原价收费；在金帝超市累计购买元的商品后，发给金帝会员卡，再购买的商品按原价收费，讨论顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？ 【答案】当购物款时，顾客在两家超市购物都一样；当购物款时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠；当购物款时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠；当购物款时，顾客在两家超市购物都一样；当购物款时，顾客在天骄超市购物能得更大优惠． 【分析】设顾客按原价购买需元，表示出两家超市实际花费，然后比较两者大小，即可得出结论． 【详解】解：设顾客按原价购买需元． 当时，顾客在两家超市购物价格一样； 当时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠； ③当时，天骄超市实际付款是：元，金帝超市实际付款元． 令，解得：； 可知当时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠， 当时，顾客在两家超市购物都一样， 当时，顾客在天骄超市购物能得更大优惠； 综上所述，当购物款时，顾客在两家超市购物都一样；当购物款时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠；当购物款时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠；当购物款时，顾客在两家超市购物都一样；当购物款时，顾客在天骄超市购物能得更大优惠． 【跟踪专练3】用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面： (1)观察图形，填写表格： 图形 ① ② ③ … 黑色瓷砖的块数 4 7 _____ … 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 _____ … (2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为_____，黑白两种瓷砖的总块数为_____（用含n的代数式表示）； (3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2023块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 【答案】(1)填表如下： 图形 （1） （2） （3） … 黑色瓷砖的块数 4 7 10 … 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 35 … (2)，； (3)能，理由如下： 假设白色瓷砖的块数比黑色瓷砖的块数多2023块，则可得：， 即， ∴， 因为2020能被4整除，所以假设成立，故能，是第505个图形． 【分析】（1）第一个图形有黑色瓷砖4块，黑白两种瓷砖的总块数为15；第二个图形有黑色瓷砖7块，黑白两种瓷砖的总块数为25；第三个图形有黑色瓷砖10块，黑白两种瓷砖的总块数为35；由此填表即可； （2）由（1）可知每一个图形的黑色瓷砖块数比前一个图形多3，总块数多10，由此求得答案即可； （3）利用（2）的规律根据“白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2023块”联立方程，求得整数解就能，否则不能． 【详解】（1）略 （2）解：第n个图形中黑色瓷砖的块数为；黑白两种瓷砖的总块数为． （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一元一次方程的应用暑假预习讲义 1. 掌握解题步骤：熟记列方程解应用题完整流程：审题意→找等量关系→设未知数→列一元一次方程→解方程→检验（方程解+实际意义）→作答。 2. 吃透高频题型等量关系：梳理课本核心题型公式逻辑，包含工程、配套调配、销售盈亏、行程、分段计费、积分、和差倍分问题，精准抓取各类题型内在等量关系。 3. 熟练设元技巧：会灵活选用直接设未知数、间接设未知数两种方式，简化方程列式难度。 4. 规范方程求解：结合上节课解方程知识，准确完成去分母、去括号、移项等运算，保证计算正确率。 5. 落实双重检验：解出方程后，既要检验数值是否为方程的解，还要结合现实场景舍去负数、不符合题意的解。 6. 方案决策能力：针对话费、出行、购物多方案题型，通过列方程求出临界点，对比选出最优方案。 7. 规避典型易错点：等量关系梳理错误、单位不统一、忘记检验实际意义、答句书写不完整。 8. 建立建模思想：把生活文字信息抽象为数学方程，完成算术思维向方程建模思维过渡，夯实初中应用题解题核心能力。 预习必备 知识梳理 1.解决实际问题的步骤 2.两种设元方法对比 3.分析问题中的等量关系 4.常见问题中的等量关系 5.检验的两大要求 6.寻找等量关系的4种方法 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.配套问题（常） 2.工程问题（重） 3.销售盈亏问题（常） 4.比赛积分问题（重） 5.方案问题（难） 6.数字问题 7.几何问题（难） 8.动点问题（难点） 9.和差倍分问题（常+重） 10.电费和水费问题（常考） 11.行程问题（重） 12.比例分配问题（难点） 13.日历问题 14.古代问题（难点） 15.其他实际问题 知识点 01 列一元一次方程解应用题通用标准流程 一、六大固定解题步骤（考试规范书写，缺一不可） 审：仔细读题，提取已知量、未知量，找准题目核心等量关系； 设：设未知数，分两种方式 直接设：问什么设什么（最常用）； 间接设：直接设不好列式时，设中间变量简化计算； ✨规范书写：设未知数必须带单位； 列：用含未知数的代数式表示所有相关量，根据等量关系列出一元一次方程； 解：按照去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1 五步解方程； 验：双重检验（两步都要写） 1 检验解是否满足所列方程； ② 检验解是否符合实际生活意义（人数、物品、速度、钱数不能为负数、小数，部分场景必须取整数）； 答：完整写出答句，对应题目问题，带上单位。 二、解题核心关键：找等量关系技巧 关键词法：看到 “一共、总和、比… 多、比… 少、倍数、剩余、相等、配套” 直接锁定等式； 公式法：行程、工程、利润、浓度固定公式直接作为等量关系； 图表法：列表格梳理数量，清晰直观，避免等量关系找错。 知识点 02 两种设元方法对比 设元类型 定义 适用场景 直接设元 题目求什么，就设什么为x 和差倍分、简单销售、基础行程 间接设元 设中间关联量为x，求出后再计算最终答案 比例、复杂数字、多步行程、配套问题 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 1.配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量 b=B种配件总数量a 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。 解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 5. 球赛积分问题 相等关系： （1） 比赛总场数=胜场数+平场数+负场数； （2） 比赛总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总得分。 6. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 7.利息问题 （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数）。 （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数)。 8.年龄问题 “年龄问题” 的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住 “年龄差” 是解答年龄问题的关键。 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点 07 高频易错汇总 易错板块 典型错误 标准正确做法 设未知数 设元不带单位，答题遗漏单位 设x标注单位，答案写完整单位 和差关系列式 甲比乙多 3，错写甲+3=乙 理清大小，甲 = 乙 + 3 流水航行 顺水逆水速度加减颠倒 顺水加水流速度，逆水减水流速度 工程总量 无具体总量不设单位 1 无总量统一设工作总量为 1 打折计算 直接标价 × 折扣数字 打n折 = 标价 × 数字表示 两位数直接写a+b 十位数字 ×10 再加个位数字 答题步骤 只解方程，不检验实际意义 计算完成必须检验是否符合生活逻辑 题型1.配套问题 【典例】在准备学校文化艺术节的社团展示时，数学社团的李老师组织社团学生做数学元素的帽子．社团共有学生45人，每名学生一节课能做帽身10个或装饰物30个．若每个帽身需要匹配2个装饰物，为了使本节课做的帽身和装饰物刚好配套，假设分配x名学生做帽身，可列方程为：________． 【跟踪专练1】某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 【跟踪专练2】某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【跟踪专练3】小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答） (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2），小敏和小强分别设计了自己的解决方案． 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 题型2.工程问题 【典例】某地为了打造沿河景观带，将一段长为的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时天，已知甲工程队每天整治，乙工程队每天整治．设甲队整治了天，则可列方程为____________． 【跟踪专练1】甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【跟踪专练2】智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 【跟踪专练3】一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 题型3.销售盈亏问题 【典例】暑假期间，渭宾眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告内容如下，请你为广告牌填上原价． 原价：_________元 暑假八折优惠，现价：100元 【跟踪专练1】某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”大好春光里，放风筝已成为孩子们的最爱.星星青少年活动中心为孩子们购买了8个大风筝和12个小风筝，共花费了272元．已知大风筝的单价比小风筝的单价高9元，求大风筝的单价． 【跟踪专练3】某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 题型4.比赛积分问题 【典例】第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护  共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 【跟踪专练1】某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 【跟踪专练2】长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 【跟踪专练3】2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 题型5.方案问题 【典例】根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________． 【跟踪专练1】某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 【跟踪专练2】我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 【跟踪专练3】某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 题型6.数字问题 【典例】为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 【跟踪专练1】在数学小组探究活动中，小月请同学想一个数，然后将这个数按以下步骤操作．小月就能说出同学最初想的那个数，如果小红想了一个数，并告诉小月操作后的结果是3，那么小红所想的数是_______． 【跟踪专练2】小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 【跟踪专练3】阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 题型7.几何问题 【典例】一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长为，则这个正方形纸板的边长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练1】如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形拼成的图形．线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为____． 【跟踪专练2】某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． (1)求正方形纸片的边长； (2)求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． 【跟踪专练3】如图，已知为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为． (1)求线段的中点对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点处相遇，求点对应的数； (3)若电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度时，求点对应的数． 题型8.动点问题 【典例】如图，正方形的边长为5，点E，F分别从点A，B出发，同时分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度逆时针移动．当点E，F首次重合时，运动时间________秒． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【跟踪专练2】如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是16，点在点，之间，且到点的距离与到点的距离相等． (1)点B表示的数是_____；点C表示的数是_____． (2)若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点相遇？ (3)在（2）的条件下，是否存在符合条件的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】对于数轴上的三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点所表示的数分别为1，3，4，此时点是点的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别为，，，其中是点，的“联盟点”的是_____； (2)点表示数，点表示的数30，为数轴上一个动点，若点在点的左侧，且点是点的“联盟点”直接写出此时点表示的数为__________． 题型9.和差倍分问题 【典例】实验小学六年级（1）班分成两个活动小组，第一小组30人，第二小组36人．现将第一小组人数调整为第二小组人数的一半，则应从第一小组调________人到第二小组． 【跟踪专练1】数量关系不能用表达的是（    ）． A．公园里有一条长方形的甬道，长x米，宽米．如果宽增加到米，面积则增加20平方米． B．三个同学跳绳，小明跳了x个，小强跳的个数是小明的，小亮跳的个数是小明的，小亮比小强少跳了20个． C．商店售卖x件服装，第一周卖了全部的，第二周卖了余下的，第一周比第二周多卖了20件． D．从A地到B地，有甲、乙、丙三条路，甲路长x千米，乙是甲的，丙是甲的，乙比丙长20千米． 【跟踪专练2】（找等量关系）在读书节期间某校六年级（1）班购买了一箱《童年》，第一组拿走了一半多1本，第二组拿走了剩下的一半多2本，箱子里还剩10本．这箱《童年》共有多少本？ 【跟踪专练3】2026年，安徽省深入推进全民义务植树行动，创新开展“互联网＋全民义务植树”线上线下融合活动．植树节期间，某校组织学生参加植树活动．如果每个小组植树12棵，还剩下20棵树苗没有种植；如果大家提高效率，每个小组植树17棵，则树苗数量不足，还缺10棵．求该植树活动一共分成了多少个小组？ 题型10.电费和水费问题 【典例】某市自来水公司为了限制单位用水，每月只给某单位计划内用水，计划内用水每吨收费元，超过计划部分每吨按元收费．若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水________吨． 【跟踪专练1】收费标准如下：每月用水不超过，按0.8元/收费，如果超过，超过部分按1.2元/收费．已知某用户某月的水费平均0.88元/，那么这个用户这个月应交水费为（     ）． A．6.6元 B．7.5元 C．7.8元 D．7.2元 【跟踪专练2】某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量； (1)当时，水费为________元； 当时，水费为________元；（用含x的式子表示） (2) 月份 10月 11月 12月 用水量 15 22 a 小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？ 【跟踪专练3】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 题型11.行程问题 【典例】跑步是学校常见的体育锻炼方式，有利于提高学生的身体素质．小悦每秒跑2.4米，小秦每秒跑2.6米，两人绕操场跑道同时同地反向而行，第一次相遇时小秦比小悦多跑16米，第一次相遇他们用了________秒． 【跟踪专练1】小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】艳艳和君君约定从A地沿相同路线骑行去B地，已知艳艳的速度是君君速度的1.2倍，若君君先骑行2千米，艳艳出发半小时后恰好追上君君，求艳艳每小时骑行多少千米？ 【跟踪专练3】随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店A到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分． 在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离时，问：骑手甲行驶的时间是多少分钟？（列方程或方程组求解） 题型12.比例分配问题 【典例】把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【跟踪专练2】七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 【跟踪专练3】为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 题型13.日历问题 【典例】如图1是2025年元月的日历，用图2中的“工”字形图案盖住图1中的7个数，若“工”字形图案盖住的7个数的和为154，则“工”字图中最大的数为______． 【跟踪专练1】如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（     ） A．63 B．84 C．98 D．106 【跟踪专练2】下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 【跟踪专练3】如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 题型14.古代问题（难点） 【典例】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第根上的一个绳结表示个，第根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是________． 【跟踪专练2】列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【跟踪专练3】我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 题型15.其他实际问题 【典例】“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，若山上的温度为，设山上距离地面的垂直高度为，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表；若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 14.5 15 【跟踪专练2】天骄超市和金帝超市以同样的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，两家超市都实行会员卡制度，在天骄超市累计购买元商品后，发给天骄会员卡，再购买的商品按原价收费；在金帝超市累计购买元的商品后，发给金帝会员卡，再购买的商品按原价收费，讨论顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？ 【跟踪专练3】用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面： (1)观察图形，填写表格： 图形 ① ② ③ … 黑色瓷砖的块数 4 7 _____ … 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 _____ … (2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为_____，黑白两种瓷砖的总块数为_____（用含n的代数式表示）； (3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2023块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 图形 （1） （2） （3） … 黑色瓷砖的块数 4 7 10 … 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 35 … 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $