第二十七讲： 整数指数幂（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十七讲： 整数指数幂 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：整数指数幂 1. 负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，a－n＝ (a ≠ 0). 这就是说，a－n(a ≠ 0)是an的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质 (1)am·an＝am＋n(m，n是整数)； (2)(am)n＝amn(m，n是整数)； (3)(ab)n＝anbn(n是整数)； (4)am÷an＝am－n(m，n是整数)； (5)()n= (n 是整数). 知识点02：科学记数法 1. 用科学记数法表示小于1的正数：一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10－n的形式，其中1 ≤ a<10，n是正整数. 2. 用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤 (1)确定a：a是大于或等于1且小于10的数. (2)确定n：确定n的方法有两种，①n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)；②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几. (3)将原数用科学记数法表示为a×10－n的形式(其中1 ≤a＜10，n是正整数). 考点1：负整数指数幂 【典型例题】 用分数表示的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 计算的结果是（　　） A．0 B．1 C． D．3 【变式训练2】 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 考点2：整数指数幂的运算 【典型例题】 下列计算中，正确的是（　） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列各式正确的是（　　） A． B． C． D．（，n为正整数） 【变式训练2】 计算 等于（   ） A． B． C． D． 考点3：用科学计数法表示绝对值小于1的数 【典型例题】 一种集成芯片上某个电子元件的直径约为，此数据可用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练1】 微米是长度单位，1微米米．已知人正常的红细胞的平均直径约为7.2微米，7.2微米用科学记数法表示为米则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 “平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句． 水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 考点4：还原用科学计数法表示的小数 【典型例题】 人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知用科学记数法表示为，则用小数表示为（    ） A．B． C． D． 【变式训练2】 科学记数法表示的数是（   ） A． B． C． D．52000 一、单选题 1．下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如果，那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 7．某种植物一粒花粉的质量约为毫克，对于下列说法正确的是（    ） A．小于0 B．在0和1之间，接近0 C．在0和1之间，接近1 D．大于1 8．计算的结果是（    ） A． B． C．3 D． 二、填空题 9．计算： ． 10． ． 11．中国科学院自主研发的一款机器人可将宽度小于的柔性微电极植入实验动物的大脑皮层，，用科学记数法表示是 ． 12．氢原子的半径约为，用科学记数法表示为，则的值为 ． 13．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，它每两个相邻碳原子间的键长为．将用科学记数法表示为 ． 14．若，则 ． 15．计算： ． 16．已知，则的值是 ． 三、解答题 17．用科学记数法表示： (1)0.00003； (2)； (3)0.0000314． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十七讲： 整数指数幂 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：整数指数幂 1. 负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，a－n＝ (a ≠ 0). 这就是说，a－n(a ≠ 0)是an的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质 (1)am·an＝am＋n(m，n是整数)； (2)(am)n＝amn(m，n是整数)； (3)(ab)n＝anbn(n是整数)； (4)am÷an＝am－n(m，n是整数)； (5)()n= (n 是整数). 知识点02：科学记数法 1. 用科学记数法表示小于1的正数：一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10－n的形式，其中1 ≤ a<10，n是正整数. 2. 用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤 (1)确定a：a是大于或等于1且小于10的数. (2)确定n：确定n的方法有两种，①n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)；②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几. (3)将原数用科学记数法表示为a×10－n的形式(其中1 ≤a＜10，n是正整数). 考点1：负整数指数幂 【典型例题】 用分数表示的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的运算法则：（其中），计算即可，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选： D． 【变式训练1】 计算的结果是（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的运算法则，对于任意非零数，有，据此进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式训练2】 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：． 考点2：整数指数幂的运算 【典型例题】 下列计算中，正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据整数指数幂的相关运算法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，写法正确，符合题意， 故选：D． 【变式训练1】 下列各式正确的是（　　） A． B． C． D．（，n为正整数） 【答案】D 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，熟记是解题的关键；根据，再计算即可； 【详解】解：，故原选项计算错误，不合题意； B、，故原选项计算错误，不合题意； C、，故原选项计算错误，不合题意； D、（，，n为正整数），故原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练2】 计算 等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘，根据幂的乘方和同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】原式． 故选：A． 考点3：用科学计数法表示绝对值小于1的数 【典型例题】 一种集成芯片上某个电子元件的直径约为，此数据可用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：D． 【变式训练1】 微米是长度单位，1微米米．已知人正常的红细胞的平均直径约为7.2微米，7.2微米用科学记数法表示为米则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 将7.2微米转换为米时，需利用1微米米的关系，再结合科学记数法的规则进行判断即可． 【详解】解：7.2微米米米， ，． 故选：C． 【变式训练2】 “平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句． 水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：C． 考点4：还原用科学计数法表示的小数 【典型例题】 人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【变式训练1】 中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知用科学记数法表示为，则用小数表示为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，把写成原数，则需把的小数点向左移动位即可，解题的关键是理解科学记数法的表示形式中，原数等于把小数点向作移动位所得的数． 【详解】解：， 故选：． 【变式训练2】 科学记数法表示的数是（   ） A． B． C． D．52000 【答案】B 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了还原用科学记数法表示的小数，以及用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴科学记数法表示的数是， 故选：B 一、单选题 1．下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，负整数指数幂以及积的乘方，根据幂的运算性质和负指数幂的定义，逐一分析各选项的正误． 【分析】解：A．，错误； B． ，错误； C．，错误； D． ，正确． 故选：D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，零指数幂，负整数指数幂，同底数幂乘法计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法即可判断A；先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算乘除法即可判断B；先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可判断C；直接合并同类项即可判断D． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3．人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：C． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于m，n的方程，求出的值，代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 5．如果，那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方，零指数幂和负整数指数幂的意义，有理数的大小比较，分别计算a、b、c的值，再比较大小． 【详解】解：∵ ∴． 故选B． 6．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂的运算．根据负整数指数幂的定义，（），将转化为分数形式即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 7．某种植物一粒花粉的质量约为毫克，对于下列说法正确的是（    ） A．小于0 B．在0和1之间，接近0 C．在0和1之间，接近1 D．大于1 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值，将数据变形成小数的形式，分析即可得解． 【详解】解：，是介于和之间的正数，非常接近， 故选：B． 8．计算的结果是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则求解． 【详解】， 故选：B． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂运算，熟记负整数指数幂定义及运算公式求解是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10． ． 【答案】3 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂， 先化简零次幂，负整数指数幂，再运算加法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3． 11．中国科学院自主研发的一款机器人可将宽度小于的柔性微电极植入实验动物的大脑皮层，，用科学记数法表示是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．先将单位换算成，再根据科学记数法表示出来即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．氢原子的半径约为，用科学记数法表示为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解： ， 故的值为． 故答案为：． 13．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，它每两个相邻碳原子间的键长为．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．根据科学记数法定义处理：把一个绝对值小于1的数表示成，其中，n等于原数第一个不为零的数字前零的个数． 【详解】解：． 故答案为：． 14．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数幂以及非零数的零次幂，掌握其运算法则是解本题的关键． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： 解得：． 故答案为：． 15．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方． 先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，再计算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂相除，同底数幂相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则化简原式，将已知条件整体代入，计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 三、解答题 17．用科学记数法表示： (1)0.00003； (2)； (3)0.0000314． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． （1）中，将小数点向右移动5位，到3后面，得出结果； （2）中，将小数点向右移动6位，到6后面，得出结果； （3）中，将小数点向右移动5位，到3后面，得出结果； 【详解】（1） （2） （3） 18．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，实数的运算， （1）利用同底数幂的乘法，幂的乘方将原式化简，然后再合并好可； （2）利用多项式除以单项式的运算法则进行运算即可； （3）利用零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加减乘除混合运算的运算法则是解答的关键．先计算括号内的分式减法，在将除法转化为乘法，进而化简原式，再求解a值，然后代值求解即可． 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 20．对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的有理数运算、幂得乘方、同底数幂的乘除法运算． （1）先得到新定义运算的式子，再计算即可； （2）先根据幂的乘方得到，，再逆用幂的乘、除法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴，， ∴， ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$