第18讲 分式的乘法和除法（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第18讲 分式的乘法与除法 （2大考点5大题型） 学习目标 1.掌握分式的乘法法则。 2.熟练运用乘法法则进行计算。 3.理解并灵活中心对称的定义、性质，结合坐标系等几何问题进行相关求解.(重点） 考点整理 一、分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 二、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 题型归纳 【题型1 分式乘法】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)． 3．按要求完成下列各题： (1)因式分解：． (2)计算：． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 分式除法】 5．计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 6．计算： 7．老师在黑板上写了一道练习题，却被值日生不小心擦掉了一部分，保留的部分如下：化简（擦掉部分用X表示） (1)若，请求出化简结果； (2)若化简后的结果为，求X． 8．化简：． 【题型3 分式乘除混合运算】 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算：． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 12．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 分式乘方】 13．计算 (1)； (2)． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 16．计算：． 【题型5 含分式乘方的乘除混合运算】 17．计算： 18．计算： 19．计算 (1) (2)． 20．计算：． 21．计算：． 22．化简计算： (1) (2) 23．计算： (1) (2) 24．计算： (1)； (2)． 25．计算：． 26．计算 (1) (2) 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．计算： (1)． (2)． (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 分式的乘法与除法 （2大考点5大题型） 学习目标 1.掌握分式的乘法法则。 2.熟练运用乘法法则进行计算。 3.理解并灵活中心对称的定义、性质，结合坐标系等几何问题进行相关求解.(重点） 考点整理 一、分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 二、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 题型归纳 【题型1 分式乘法】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先对多项式因式分解，将除法转化为乘法，再约去公因式即可得到最简结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 3．按要求完成下列各题： (1)因式分解：． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把能够分解因式的分子或分母分解因式，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型2 分式除法】 5．计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1)2026 (2)x 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： 【答案】 【详解】解：原式. 7．老师在黑板上写了一道练习题，却被值日生不小心擦掉了一部分，保留的部分如下：化简（擦掉部分用X表示） (1)若，请求出化简结果； (2)若化简后的结果为，求X． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入所给式子，利用完全平方公式、平方差公式及分式除法运算法则进行求解即可； （2）根据题意求出的表达式，利用完全平方公式和分式除法运算法则进行化简其表达式，进而求出的值． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：根据题意得：， ， ． 8．化简：． 【答案】 【分析】本题先对原式的分子分母分别因式分解．再将分式除法转化为乘法．约分后即可得到化简结果．用到平方差公式和分式的运算法则． 【详解】解：原式 ． 【题型3 分式乘除混合运算】 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的乘法运算求解即可； （2）根据分式的除法运算求解即可； （3）先因式分解再约分，再利用分式的乘除法运算求解即可； （4）分子分母分别进行乘方运算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解：． 10．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据单项式除单项式的运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可求解； （3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先因式分解，再将除法运算为乘法运算，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型4 分式乘方】 13．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方运算，分式的乘法运算，幂的运算法则，掌握各类运算法则是解题关键． 分别对两个分式进行乘方运算，再将结果相乘并化简，最终得到化简后的结果． 【详解】解：原式 ． 【题型5 含分式乘方的乘除混合运算】 17．计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 18．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、零次幂的性质、有理数的除法及加减运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键．先分别计算乘方、零次幂和除法，再按照从左到右的顺序进行加减运算，得出最终结果． 【详解】解： ． 19．计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查乘方，零的指数幂以及分式的运算，熟练掌握其运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先计算乘方，零的指数幂，再算乘除，最后算加减即可； （2）先计算乘方，再算乘除即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 21．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算，掌握先算乘方，再算乘除，除法变乘法后约分计算是解题的关键． 先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分完成计算． 【详解】解：原式 ． 22．化简计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，整式的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算多项式除以单项式，平方差公式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由积的乘方运算、幂的乘方运算及同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算计算，再合并同类项即可得到答案； （2）先计算乘方运算，再计算分式乘法运算，然后将除法转化为乘法，最后由分式乘法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查整式混合运算、分式乘除混合运算等知识，涉及积的乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算、合并同类项、分式乘方运算、分式乘法运算、分式除法运算、约分等知识，熟记整式相关运算法则、分式相关运算法则是解决问题的关键． 25．计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键． 根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 26．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）先计算乘方，再算乘除法即可； （2）根据平方差公式、完全平方公式和分式的除法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算和平方差公式，解题的关键是熟练掌握分式乘除运算法则． （1）先去括号，再根据分式乘除运算法则进行计算即可； （2）先去括号，再根据分式乘除运算法则和平方差公式进行计算即可； （3）先去括号，再根据分式乘除运算法则进行计算即可； （4）先去括号，再根据分式乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 28．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （3）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： 学科网（北京）股份有限公司 $