2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念理解到综合应用，通过基础辨析、中档交汇到情境化拔高，适配新授课知识巩固，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直线与圆位置关系判断、弦长计算、圆的方程|选择题1-3题，聚焦单一概念应用，如第3题直接考查相切圆方程| |中档|多知识点交汇（如直线过定点与弦长范围）、几何性质综合|填空题6-9题，结合倾斜角、中点弦等，如第8题最长最短弦面积计算| |提升|情境化问题解决、最值探究|解答题10-11题，如第11题结合切线与面积最大值，培养数学建模与运算能力|

2.5.1 直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.已知a∈R，“｜a｜≥3”是“直线l：x－2y＝0与圆C：x2＋（y－）2＝5相离”的（ 　） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于（ 　） A.12 B.2 C.3 D.4 3．圆心为(3，0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为（ 　） A．(x－)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3 C．(x－)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9 4.（多选）已知直线l：ax－y＋2－2a＝0与圆C：（x－4）2＋（y－1）2＝r2（r＞0）总有两个不同的交点M，N，O为坐标原点，则（ 　） A.直线l过定点（2，2） B.r∈（2，＋∞） C.当r＝3时，｜MN｜∈[4，6] D.当r＝5时，的最小值为－25 5.（多选）已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于 A，B两点，且｜＋｜＝｜－｜（其中O为坐标原点），则实数a的值可以是（ 　） A.2 B.－2 C. D.－ 二、填空题 6.倾斜角是，且过点（1，4）的直线l交圆C：x2＋y2－2y－3＝0于A，B两点，则直线l的一般式方程为 ，｜AB｜＝ . 7.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于A，B两点，若弦AB的中点为C（－2，3），则直线l的方程为 . 8.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 . 9.若圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋a的距离为1，则实数a的值为 . 三、解答题 10.如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且｜AB｜＝2. （1）求圆C的标准方程； （2）求圆C在点B处的切线在x轴上的截距. 11.已知圆C：x2＋y2＋10x－14y＋70＝0，设直线l：12x＋5y＋12＝0与圆C相交于A，B两点，点Q为圆C上异于A，B的动点，求△ABQ的面积的最大值. 解析版 一、选择题 1.已知a∈R，“｜a｜≥3”是“直线l：x－2y＝0与圆C：x2＋（y－）2＝5相离”的（　A　） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由题意知，若直线l与圆C相离，则圆心C（0，）到直线l的距离d＝＞，解得｜a｜＞5，可知“｜a｜≥3”是“｜a｜＞5”的必要不充分条件.故选A. 2.直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于（　B　） A.12 B.2 C.3 D.4 解析：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0，即（x＋2）2＋（y－2）2＝2， ∴圆心（－2，2）到x－y＋4＝0的距离d＝0，即圆心在直线上， ∴直线被圆截得的弦长等于直径2.故选B. 3．圆心为(3，0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为（　B　） A．(x－)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3 C．(x－)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9 解析：由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B. 4.（多选）已知直线l：ax－y＋2－2a＝0与圆C：（x－4）2＋（y－1）2＝r2（r＞0）总有两个不同的交点M，N，O为坐标原点，则（　ACD　） A.直线l过定点（2，2） B.r∈（2，＋∞） C.当r＝3时，｜MN｜∈[4，6] D.当r＝5时，的最小值为－25 解析：对于A，直线方程ax－y＋2－2a＝0可化为a（x－2）＋（－y＋2）＝0，则直线l过定点P（2，2），故A正确；对于B，因为直线l与圆C总有两个不同的交点，可得点P（2，2）在圆C内部，所以（2－4）2＋（2－1）2＜r2，解得r＞，故B错误；对于C，当r＝3时，圆C的方程为（x－4）2＋（y－1）2＝9，所以圆心C（4，1），又P（2，2），则｜CP｜＝，可得｜MN｜的最小值为2＝4，最大值即为2r＝6，故C正确；对于D，当r＝5时，圆C的方程为（x－4）2＋（y－1）2＝25，则＝｜｜｜｜·cos∠MCN＝25cos∠MCN，易知当直线l过圆心C（4，1）时，cos∠MCN＝－1，所以cos∠MCN的最小值为－1，即的最小值为－25，故D正确. 5.（多选）已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于 A，B两点，且｜＋｜＝｜－｜（其中O为坐标原点），则实数a的值可以是（　AB　） A.2 B.－2 C. D.－ 解析：因为｜＋｜＝｜－｜，故＋＋2＝＋－2，所以＝0，所以OA⊥OB，故由题意可得圆心到直线的距离d＝＝，解得a＝±2. 二、填空题 6.倾斜角是，且过点（1，4）的直线l交圆C：x2＋y2－2y－3＝0于A，B两点，则直线l的一般式方程为　x－y＋3＝0　，｜AB｜＝　2　. 解析：因为直线l的斜率k＝tan＝1，又直线l过点（1，4），所以直线l的方程为y－4＝x－1，化为一般式方程，即x－y＋3＝0. 圆C：x2＋y2－2y－3＝0化为标准方程为x2＋（y－1）2＝4， 则圆心坐标为C（0，1），半径r＝2. 又圆心C（0，1）到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝，所以｜AB｜＝2＝2×＝2. 7.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于A，B两点，若弦AB的中点为C（－2，3），则直线l的方程为　x－y＋5＝0　. 8.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　10　. 解析：圆的方程化为标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝10， 易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦｜AC｜＝2r＝2， 最短弦BD恰以E（0，1）为中点，且与AC垂直， 设点F（1，3）为已知圆的圆心. 故｜EF｜＝， 所以｜BD｜＝2×＝2， 则S四边形ABCD＝｜AC｜·｜BD｜＝10. 9.若圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋a的距离为1，则实数a的值为　±　. 解析：由圆x2＋y2＝4可知，圆心为（0，0），半径为2， 要使圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋a的距离为1， 则圆心（0，0）到直线l：y＝x＋a的距离为1， 所以＝1，解得a＝±. 三、解答题 10.如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且｜AB｜＝2. （1）求圆C的标准方程； （2）求圆C在点B处的切线在x轴上的截距. 解：（1）过点C作CD⊥AB于D，连接AD（图略），则｜CD｜＝｜OT｜＝1，｜AM｜＝｜AB｜＝1，所以圆C的半径r＝｜AC｜＝＝，从而圆心C（1，）， 所以圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－）2＝2. （2）由（1）知圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－）2＝2， 令x＝0，可得y＝±1，则B（0，＋1），设圆C在点B处的切线方程为y－（＋1）＝kx，即kx－y＋＋1＝0， 则圆心C（1，）到其距离为d＝＝，解得k＝1. 即圆C在点B处的切线方程为y＝x＋＋1，令y＝0，得x＝－－1，则此直线在x轴上的截距为－－1. 11.已知圆C：x2＋y2＋10x－14y＋70＝0，设直线l：12x＋5y＋12＝0与圆C相交于A，B两点，点Q为圆C上异于A，B的动点，求△ABQ的面积的最大值. 解：由题意知圆心C的坐标为C（－5，7）， 半径r＝2，则圆心C到直线l的距离d＝＝1， 所以｜AB｜＝2＝2. 因为Q为圆C上异于A，B的动点， 所以点Q到直线l的距离h≤r＋d＝3， 所以△ABQ的面积S＝×｜AB｜×h≤×｜AB｜×（r＋d）＝×2×3＝3， 当且仅当CQ⊥l且Q，l在圆心C的两侧时，等号成立，所在△ABQ的面积的最大值为3. 页 学科网（北京）股份有限公司 $