2.5 练习2 直线与圆位置关系的实际应用 课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕“直线与圆位置关系的实际应用”，分层设计基础巩固、情境应用、综合创新三阶训练，强化数学建模与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一概念应用（面积计算、位置关系判定）|如第1题图像面积、第10题OP·OQ计算，直接应用公式，夯实概念理解| |情境应用|实际问题建模（隧道、拱桥、台风）|如第2题卡车过隧道、第11题台风危险区时间，结合生活场景，培养模型观念| |综合创新|动态与跨知识综合（运动圆相切、证明定点）|如第8题圆运动相切、第16题道路规划，含动态过程与开放探究，发展推理能力与创新意识|

2.5 练习2　直线与圆位置关系的实际应用 1. y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是 ( 　) A. B. C. D. π 2. 一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过( 　) A. 1.4米 B. 3.0米 C. 3.6米 D. 4.5米 3. 已知点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路径是( 　) A. 62 B. 8 C. 4 D. 10 4. 设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，过公园外两点A(－2，0)，B(0，2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值是( 　) A. 3 B. 3 C. 3 D. 5. (2025·海南高二期中)据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如图所示，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度AB＝40 m，拱高OP＝10 m，与OP相距a m的支柱A1P1＝5 m，则a等于( 　) A. 5 B. 5 C. 15 D. 10 6. 如图所示，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为( 　) A. 2米 B. 20米 C. 4米 D. 12米 7. (2024·广东东莞高二期中)如图所示，图中的曲线为圆或半圆，已知P(x，y)是阴影部分(包括边界)内的动点，则的最小值是( 　) A. B. C. D. 8. (多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，其圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为( 　) A. 6秒 B. 8秒 C. 10秒 D. 16秒 9. (多选)(2025·河北高二阶段练习)某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内的一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台O的正南方向200 m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则( 　) A. 观测点A，B之间的距离是280 m B. 圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0 C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x＋200 D. 小汽车会进入安全预警区 10. 圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝4与直线y＝kx的交点为P，Q，原点为O，则|OP|·|OQ|＝ .  11. 台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为 h.  12. (2024·南京中学检测)如图所示，公路MN和PQ在P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝160 m，假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间为 s.  13. 如图所示，AB为圆的定直径，CD为直径，过点D作AB的垂线DE，延长ED到点P，使|PD|＝|AB|，证明：直线CP必过一定点. 14. 有一种商品，A，B两地均有出售且价格相同，某居住地的居民从两地往回运时，每千米的运费A地是B地的3倍.已知A，B两地相距10 km，问：这个居住地的居民如何选择A地或B地购买此种商品最合算(仅从运费的多少来考虑)？ 15. (2024·天津五校高二联考)若圆x2＋y2＝5上有两个动点A，B，满足|AB|＝，点M在直线2x＋y－5＝0上运动，则||的最小值是( 　) A. B. C. D. 16. 如图所示，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上所有的点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米). (1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； (2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？请判断并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 练习2　直线与圆位置关系的实际应用 1. y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是 (　D　) A. B. C. D. π 【解析】 如图所示，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的. 2. 一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过(　C　) A. 1.4米 B. 3.0米 C. 3.6米 D. 4.5米 【解析】 可画出示意图如下图所示，通过勾股定理解得OD＝＝3.6(米). 3. 已知点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路径是(　B　) A. 62 B. 8 C. 4 D. 10 【解析】 点A关于x轴的对称点A'(－1，－1)，A'与圆心(5，7)的距离为＝10，∴所求最短路程为10－2＝8. 4. 设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，过公园外两点A(－2，0)，B(0，2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值是(　A　) A. 3 B. 3 C. 3 D. 【解析】 lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离d＝，∴AB边上的高的最小值是1，∴Smin＝×2＝3. 5. (2025·海南高二期中)据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如图所示，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度AB＝40 m，拱高OP＝10 m，与OP相距a m的支柱A1P1＝5 m，则a等于(　C　) A. 5 B. 5 C. 15 D. 10 【解析】 设桥拱所在圆心为O1，连接OO1，O1B，O1P1，作P1P2⊥OP于点P2，如图所示， 设圆的半径为r，在△OBO1中利用勾股定理可得(r－OP)2＋OB2＝O1B2，即(r－10)2＋202＝r2，解得r＝25；易知P1P2＝OA1＝a，OP2＝A1P1，在△P1P2O1中，易知P2a2＝r2，即(15＋5)2＋a2＝252，解得a＝15. 6. 如图所示，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为(　C　) A. 2米 B. 20米 C. 4米 D. 12米 【解析】 以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则圆拱所在圆的圆心位于y轴负半轴上，设该圆的圆心为(0，－a)，a＞0，则该圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，记水面下降前与圆的两交点为A，B，水面下降1米后与圆的两交点为C，D.由题意可得，A(－10，－4)，则(－10)2＋(－4＋a)2＝a2，解得a＝，∴圆的方程为x2，水面位下降1米后，可知C点纵坐标为y＝－5，∴x2，解得x2＝120，则此时的桥在水面的跨度为CD＝2|x|＝2＝4(米). 7. (2024·广东东莞高二期中)如图所示，图中的曲线为圆或半圆，已知P(x，y)是阴影部分(包括边界)内的动点，则的最小值是(　C　) A. B. C. D. 【解析】 如图所示，记A(2，0)，则k＝为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2＋(y－1)2＝1，x＞0相切时，斜率k最小.设lAP：y＝k(x－2)，则＝1，解得k＝，或k＝0(舍去)，即的最小值是. 8. (多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，其圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为(　AD　) A. 6秒 B. 8秒 C. 10秒 D. 16秒 【解析】 设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为，得m＝，或m＝，∴该圆运动的时间为＝6(秒)，或＝16(秒). 9. (多选)(2025·河北高二阶段练习)某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内的一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台O的正南方向200 m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则(　BD　) A. 观测点A，B之间的距离是280 m B. 圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0 C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x＋200 D. 小汽车会进入安全预警区 【解析】 由题意，得A(40，40)，B(－240，0)，∴|AB|＝＝200，即观测点A，B之间的距离是200 m，A错误；设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵圆C经过O，A，B三点，∴解得∴圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0，B正确；小汽车行驶路线所在直线的斜率为－1，又点P的坐标是(0，－200)，∴小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x－200，C错误；圆C化成标准方程为(x＋120)2＋(y－160)2＝40 000，圆心为C(－120，160)，半径r＝200，圆心C到直线y＝－x－200的距离d＝＝120＜r，∴直线y＝－x－200与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区，D正确. 10. 圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝4与直线y＝kx的交点为P，Q，原点为O，则|OP|·|OQ|＝　28　.  【解析】 如图所示，过原点O作☉C的切线OA，连接AC，OC，在Rt△OAC中，|OA|2＝|OC|2－r2＝32－4＝28， 由平面几何知识可知，|OP|·|OQ|＝|OA|2＝28. 11. 台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为　1　h.  【解析】 如图所示，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内，即危险区为MN，可求得|MN|＝20，∴时间为1 h. 12. (2024·南京中学检测)如图所示，公路MN和PQ在P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝160 m，假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间为　24　s.  【解析】 如图所示，过点A作AB⊥MN，交MN于点B， 由于∠QPN＝30°，|AP|＝160 m，∴|AB|＝80 m，以A为圆心，半径为100 m作圆A，交MN于C，D两点，∴|CD|＝2|CB|＝2×＝2×60＝120(m)，又拖拉机的速度为18 km/h＝5 m/s，∴学校受影响的时间为＝24(s). 13. 如图所示，AB为圆的定直径，CD为直径，过点D作AB的垂线DE，延长ED到点P，使|PD|＝|AB|，证明：直线CP必过一定点. 证明： 以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图所示， 设圆的方程为x2＋y2＝r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，∴P(－x0，－y0－2r). ∴直线CP的方程为y－y0＝(x－x0)，即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0，∴直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点. 14. 有一种商品，A，B两地均有出售且价格相同，某居住地的居民从两地往回运时，每千米的运费A地是B地的3倍.已知A，B两地相距10 km，问：这个居住地的居民如何选择A地或B地购买此种商品最合算(仅从运费的多少来考虑)？ 解： 以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系. |AB|＝10，∴A(－5，0)，B(5，0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，连接PA，PB. 设从B地运往P地每千米的运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则从A地运往P地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a＝3a·|PA|，即3，整理得y2＝ ①.∴在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买. 15. (2024·天津五校高二联考)若圆x2＋y2＝5上有两个动点A，B，满足|AB|＝，点M在直线2x＋y－5＝0上运动，则||的最小值是(　B　) A. B. C. D. 【解析】 圆x2＋y2＝5的圆心为O(0，0)，半径r＝，设线段AB的中点为N，连接ON，则ON⊥AB，∵|AB|＝，|ON|2＝r2＝5，可得|ON|＝，故N是以(0，0)为圆心，为半径的圆上的一点，圆心 (0，0) 到直线2x＋y－5＝0 的距离为.∵点M在直线 2x＋y－5＝0 上运动，∴|MN|min＝，又∵ ||＝|2|＝2||，∴ ||min＝. 16. 如图所示，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上所有的点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米). (1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； (2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？请判断并说明理由. 解： 设BD与圆O交于点M，连接AM，由AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系(图略)， 则A(0，－6)，B(－8，－12)，D(－8，0). (1)设点P(x1，0)，由PB⊥AB，则kBP·kAB＝－1，即·＝－1，解得x1＝－17， ∴P(－17，0)，|PB|＝＝15，故道路PB长为15百米. (2)当QA⊥AB时，QA上所有的点到圆心O的距离不小于圆的半径，设此时Q(x2，0)，则kQA·kAB＝－1， 即·＝－1，解得x2＝，∴Q.由－17＜－8＜，知在此范围内，不能满足PB，QA上所有的点到O的距离不小于圆的半径，∴P，Q中不能有点选在D处. 学科网（北京）股份有限公司 $