精品解析：2022年湖州市长兴县吕山乡中学九年级中考考前数学练习 (4)

九年级中考考前数学练习 一、选择题 1. 的相反数是（ ） A. B. 2022 C. D. 2. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 对我县中学生观看电影《我和我的祖国》情况的调查 B. 对某批次手机的防水功能的调查 C. 了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量 D. 旅客上飞机前的安检 3. 下列各式中，与是同类项的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 三棱柱 D. 四棱柱 5. 数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 2 6. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关 7. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　） A. 1 B. C. D. 8. 已知现有的12瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这12瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且满足，．当时，该函数的最大值H与m满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 分解因式：_____． 11. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，），则点B的坐标为_____． 12. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 13. 如图，在中，，，点是的中点，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，线段与线段相交于点，将绕点逆时针转动，点从线段上转到与点重合的过程中，线段的长度的取值范围是______． 14. 在中，点D、E分别为、上一点，已知．连结，分别取，上一点M、N，连结、，始终满足，设． （1）如图1，当时，连结、，过点N作于G，则线段的长为__________； （2）如图2，当时，则线段的长为__________． 三、解答题 15. 计算： 16. 小明解答“先化简，再求值：，其中”的过程如下： 解： ① ② ③ 当时，原式 ④ ⑤ 请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 17. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD． （1）求证：∠CAD=∠ABC； （2）若AD=6，求的长． 18. 某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件． （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产? （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 19. 如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接． （1）求该二次函数的表达式及点M的坐标； （2）若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围； （3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图1，正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接； （1）则与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________； （2）点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）当点P在对角线的延长线上时，连接，若，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中考考前数学练习 一、选择题 1. 的相反数是（ ） A. B. 2022 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 对我县中学生观看电影《我和我的祖国》情况的调查 B. 对某批次手机的防水功能的调查 C. 了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量 D. 旅客上飞机前的安检 【答案】D 【解析】 【分析】根据调查的特点逐项判断，即可解答． 【详解】解：A. 对我县中学生观看电影《我和我的祖国》情况的调查，费时费力，适合抽样调查，不合题意； B. 对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，不合题意； C. 了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量，调查费时费力，适合抽样调查，不合题意； D. 旅客上飞机前的安检，调查要求全面准确，适合全面调查，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查，一般来说，如果调查费事费力，对调查的数据的准确性不是很高，或调查具有破坏性，一般适合抽样调查，如果调查要求全面，详实，准确，一般适合全面调查． 3. 下列各式中，与是同类项的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可． 【详解】解：A.与不是同类项，故本选项错误； B.3x3y2与不是同类项，故本选项错误； C.与是同类项，故本选项正确； D.与不是同类项，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义． 4. 如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 三棱柱 D. 四棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】上下底面是三角形，侧面是长方形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱． 5. 数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的数据，可以求得这组数据的平均数，本题得以解决． 【详解】解：＝＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法． 6. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接DD＇，延长交AD于E，由菱形，可得,进一步说明,得到菱形AE=AD；又由正方形ABCD，得到AB=AD,即菱形的高为AB的一半，然后分别求出菱形和正方形ABCD的面积，最后求比即可． 【详解】解：如图：延长交AD于E ∵菱形 ∴ ∵ ∴ ∴AE=AD 又∵正方形ABCD ∴AB=AD,即菱形的高为AB的一半 ∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2． ∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是． 故答案为B． 【点睛】本题主要考出了正方形的性质、菱形的性质以及含30°直角三角形的性质，其中表示出菱形ABC′D′的面积是解答本题的关键． 8. 已知现有的12瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这12瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解． 【详解】∵12瓶饮料中有2瓶已过了保质期， ∴从这12瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是. 故选D. 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数 9. 已知二次函数的图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且满足，．当时，该函数的最大值H与m满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且，确定函数图象的对称轴的位置，从而确定当1≤x≤3时，时取最大值，即可得出H与m的关系． 【详解】解：∵二次函数图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且， ∴二次函数图象的对称轴， ∵二次函数， 距离对称轴越远的点，函数值越大， ∵当对称轴为直线时，横坐标为1和3的点到对称轴的距离最远，且此时这两个点到对称轴的距离相等， 此时当或，函数值最大， ∵当对称轴不是直线，当1≤x≤3时，横坐标为的点距离对称轴最远， 当时，函数有最大值， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据确定二次函数对称轴的位置是解题的关键． 二、填空题 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案． 【详解】， 故答案为：a（a+2）． 【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用． 11. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，），则点B的坐标为_____． 【答案】（2， ） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到点A与点B关于直线x=1对称，由于点A的坐标为（0，），所以B点坐标为（2， ）. 【详解】∵AB与x轴平行， 而点A，B均在抛物线上， ∴点A与点B关于直线x=1对称， ∵点A的坐标为（0，）， ∴B点坐标为（2， ）， 故答案为（2， ）. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的轴对称性是解题的关键. 12. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，点是的中点，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，线段与线段相交于点，将绕点逆时针转动，点从线段上转到与点重合的过程中，线段的长度的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，，点在线段上运动，当点与点重合时，有最大值为3，当时，有最小值，利用等腰直角三角形性质即可求解最小值． 【详解】解：，点是的中点 将绕点逆时针转动，点从线段上转到与点重合 是以点为直角顶点的等腰直角三角形 ， 线段与线段相交于点 点在线段上运动 当点与点重合时，有最大值，最大值为 当时，有最小值 是等腰直角三角形， 线段的长度的取值范围是． 14. 在中，点D、E分别为、上一点，已知．连结，分别取，上一点M、N，连结、，始终满足，设． （1）如图1，当时，连结、，过点N作于G，则线段的长为__________； （2）如图2，当时，则线段的长为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）建立以C为坐标原点，CB和CA分别为x轴和y轴的平面直角坐标系，设E（x，0），则M ，根据两点间距离公式求出CM和MN，由CM=MN，建立方程求解即可；、 （2）设E（y，0），则M ，根据两点间距离公式求出CM和MN，由CM=MN，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）如图，建立以C为坐标原点，CB和CA分别为x轴和y轴的平面直角坐标系， 当m=1时，M、N分别为DE、AB的中点， 则D（0，3），A（0，7），N（） 设E（x，0），则M ， ∴ ∵CM=MN， ∴ ∴ 解得x=4， ∴CE=4 ∵ ∴CG= ∴EG=EC-CG=， 故答案为：． （2）当m=2时，M、N分别为DE、AB的三等分点 设E（y，0），则M ∴ ∵CM=MN ∴ 解得y= ∴CE=． 故答案为： 【点睛】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理、解一元一次方程方程，解题的关键是建立直角坐标系，利用坐标构建方程． 三、解答题 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则、特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解： = = = 【点睛】本题考查了二次根式的性质和运算法则、特殊角的三角函数值，解题的关键是正确掌握相关运算法则． 16. 小明解答“先化简，再求值：，其中”的过程如下： 解： ① ② ③ 当时，原式 ④ ⑤ 请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【答案】第①步，正确步骤见解析． 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可发现①错误． 【详解】解：第①步 原式 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简与分式的基本性质，掌握分式的基本性质和等式的基本性质的区别是解答本题的关键． 17. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD． （1）求证：∠CAD=∠ABC； （2）若AD=6，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）π． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理即可证明； （2）可证得=，则的长为圆周长的． 【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD， ∴∠DBC=∠ABC， ∵∠CAD=∠DBC， ∴∠CAD=∠ABC； （2）解：∵∠CAD=∠ABC， ∴=， ∵AD是⊙O的直径，且AD=6， ∴的长=×π×6=π． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及圆周角定理，证得=是解(2)题的关键． 18. 某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件． （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产? （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 【答案】（1）甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；（2）①乙车间需临时招聘5名工人；②选择方案一能更节省开支． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个列方程组，解方程组即可解决问题； （2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程求解即可； ②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较即可解答． 【详解】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得： ， 解得． ∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产； （2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得： =， 解得m=5． 经检验，m=5是原方程的解，且符合题意， ∴乙车间需临时招聘5名工人； ②企业完成生产任务所需的时间为： =18（天）． ∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700（元）． 选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）． ∵17700＜18000， ∴选择方案一能更节省开支． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 19. 如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接． （1）求该二次函数的表达式及点M的坐标； （2）若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围； （3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数解析式为，点M的坐标为（1，-5） （2） （3）当点Q的横坐标为时，四边形CEQP为顶点的四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，进而求得该二次函数的表达式，通过配方法得到点M的坐标； （2）点M是沿着对称轴直线向上平移的，可先求出直线AC的解析式，将代入求出点M在向上平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围； （3）由题意分析可得，设点坐标，根据菱形的性质，列方程求解，即可求出点Q坐标． 【小问1详解】 解：把点A（3，-1），点C（0，-4）代入二次函数得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∴点M的坐标为（1，-5）； 【小问2详解】 解：设直线AC解析式为， 把点A（3，-1），点C（0，-4）代入得：， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 如图所示，对称轴直线与△ABC两边分别交于点E、点F， 把代入直线AC解析式，得：， ∴点E坐标为（1，-3），点F坐标为（1，-1）， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：存在点Q使以C、E、P、Q为顶点的四边形为菱形，理由如下： 如图，由题意可知，且 ，过点P作轴于点H，直线AB与y轴交于点D 设点P坐标为（m，m-4）则点Q坐标为（m， ） ∴AD=CD=3 ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴CH=PH=m 根据勾股定理可知 ∵ ∴ 解得（舍） ∴点Q的横坐标为 ∴当点Q的横坐标为时，四边形CEQP为顶点的四边形为菱形 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、菱形的判定及其性质，掌握以上知识点是解题的关键． 20. 如图1，正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接； （1）则与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________； （2）点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）当点P在对角线的延长线上时，连接，若，求四边形的面积． 【答案】（1）AP=CE；90°； （2） 解：， 理由：∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形， ∴AD=CD，DP=DE，∠ADC=∠PDE = 90° ∴∠ADC+∠CDP =∠CDP +∠PDE ∠ADP=∠CDE 在ΔADP和ΔCDE中 ∴ΔADP≌ΔCDE（SAS） ∴AP= CE ∵ΔADC是等腰直角三角形 ∴AC=CD ∴EC= AP=AC+CP=CD+CP； （3）12 【解析】 【分析】（1）证明ΔADP≌ΔCDE，可得AP=CE，∠DAP=∠DCE，从而得到AP与CE的夹角的度数是90°； （2）按照（1）的思路进行解答即可； （3）连接BD，CE，利用正方形及等腰三角形性质可得OD=2，再由勾股定理求CE及CP 的长，最后求出四边形DCPE的面积即可． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形 ∴AD = CD，DP = DE，∠ADC =∠PDE = 90°， ∴∠ADP+∠PDC =∠PDC +∠CDE= 90°， ∴∠ADP= ∠CDE， 在ΔADP和ΔCDE中 ∴ΔADP≌ΔCDE（SAS） ∴AP=CE，∠DAP=∠DCE ∴∠PCE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠DAP = 90°， ∴AP与CE的夹角的度数是90°， 故答案为：AP=CE；90°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接BD，CE， ∵四边形ABCD是正方形 ∴CD = AB = 2，AC⊥BD， ∵AB = 2，ΔACB是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可知∠ACE = 90°， ∴， 由（2）可知，CE= CD + CP， ， ， 在RtΔCPE中，PE2 = CP2 + CE2 = 22 + 62 = 40， ∵ΔDPE是等腰直角三角形， ， ， ， 【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及到直角三角形的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $