精品解析：湖北省随州市高新区 2021-2022 学年下学期九年级中考模拟数学试题

随州市高新区2021-2022学年度下学期九年级6月中考模拟 数学试题 一．选择题（共10小题） 1. “国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 8 7 9 14 12 则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ） A. 4.9和4.8 B. 4.8和4.9 C. 4.8和4.8 D. 4.9和4.9 4. 如图，为等边三角形，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 6. 如图是一个正方形纸板，阴影部分是由4段以正方形边长的一半为半径的弧所围成的，这些弧所在圆的圆心分别是正方形的顶点或中心，这样的图形被称为斯坦因豪斯图形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为4的菱形中，．点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边分别平行于x轴、y轴，若函数（）的图象与有交点，则k的最大值是（ ） A. 5 B. C. D. 9. 观察下列两行数： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，… 1，4，7，10，13，16，19，22，25，… 探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（　　） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 10. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点的限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 截止到2021年6月10日，全国累计新冠疫苗接种超840000000剂次，用科学记数法表示840000000，应记作____． 12. 计算：_____________． 13. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________． 14. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）． 15. 抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为____． 16. 如图，在中，，，，是上方一动点，且，交于点．当点运动到时，的值为________；随着点的运动，的最大值为________． 三．解答题（共8小题） 17. 先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值． 18. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且．连接，，，． （1）证明：． （2）若，，求四边形的周长． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 20. 学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：；B：；C：；D：），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为___________； （2）将条形统计图补充完整； （3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时? （4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF∠BOE． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长． 22. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 23. 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为_____________，的度数为_____________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），，交于点D，连结，．当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，．若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 24. 已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)． （1）求抛物线的表达式； （2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 随州市高新区2021-2022学年度下学期九年级6月中考模拟 数学试题 一．选择题（共10小题） 1. “国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意； B选项中的汉字是轴对称图形，符合题意； C选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意； D选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解答的关键． 2. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：该几何体的主视图是． 3. “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 8 7 9 14 12 则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ） A. 4.9和4.8 B. 4.8和4.9 C. 4.8和4.8 D. 4.9和4.9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数与中位数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数，将数据从小到大排序后，数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，根据概念求解即可． 【详解】解：∵总共有50个数据，其中视力为4．9的人数最多，为14人， ∴众数是4.9． 将数据按从小到大排序，累加前3组人数得：，因此第25个和第26个数据都是4.9， ∴中位数为． 因此众数和中位数分别是4.9和4.9， 4. 如图，为等边三角形，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 5. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解：BF=EC， A. 添加一个条件AB=DE， 又 故A不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D 又 故B不符合题意； C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意； D. 添加一个条件AC∥FD 又 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 如图是一个正方形纸板，阴影部分是由4段以正方形边长的一半为半径的弧所围成的，这些弧所在圆的圆心分别是正方形的顶点或中心，这样的图形被称为斯坦因豪斯图形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用割补法可得阴影部分的面积等于正方形面积的一半，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对边重点得到四个相同的小正方形， 观察图形，把①和③、②和④的位置互换，得到两个阴影部分面积相等的小正方形，所以阴影部分的面积是正方形的面积的一半， 所以将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积在正方形中的占比，难度不大． 7. 如图，在边长为4的菱形中，．点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当点P在上运动时，过点P作上的高记作，可得，再根据三角形面积公式列出面积表达式即可判断；当点P运动到B点时，过点B作于点E，由题意易得，当点P在线段上时，的面积保持不变，当点P在上时，过点P作上的高记作，可得，再根据三角形面积公式列出面积表达式即可判断． 【详解】解：当点P在上运动时，即时，过点P作上的高记作， 则， 所以，图象是上升的一段线段； 当点P在上运动时，过点B作于点E，即时，如图所示： ∵边长为4的菱形中，， ∴， ∴， 点P与点B重合时，的面积最大，最大为； 当点P在线段上时，的面积保持不变，图象是水平的一段线段； 当点P在上时，即时，过点P作上的高记作， 即， 所以，图象是下降的一段线段 ； ∴综上可得只有A选项符合题意． 8. 如图，位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边分别平行于x轴、y轴，若函数（）的图象与有交点，则k的最大值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，A点的坐标为，C点的坐标为，B点的坐标为，可得直线解析式，联立反比例函数解析式转化为，利用一元二次方程根的判别式求出k的最大值即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用判别式求出最值是关键． 【详解】解：由题意可知，由题意可知，A点的坐标为，C点的坐标为，B点的坐标为 设直线的解析式为， 则：， 解得， 直线BC的解析式为：， 根据题意得，， 整理得：， 图象有交点，得方程有实数根， 故， 解得， 故k的最大值为， 故选：C． 9. 观察下列两行数： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，… 1，4，7，10，13，16，19，22，25，… 探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（　　） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，，第个相同的数是，进而可得的值． 【详解】解：第1个相同的数是， 第2个相同的数是， 第3个相同的数是， 第4个相同的数是， ， 第个相同的数是， 所以， 解得． 答：第个相同的数是103，则等于18． 故选：． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键． 10. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点的限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的增减性，最值计算，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意，得，根据抛物线的增减性，分类解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大，右侧，y随x的增大而减小， 当时，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大， 故时,n取最大值，且， 故时,n取最小值，且， 故，根据新定义，得； 当时，对称轴直线在其范围内， 故n的最大值为6； 故时,n取最小值，且， 故，根据新定义，， 故； 综上所述， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11. 截止到2021年6月10日，全国累计新冠疫苗接种超840000000剂次，用科学记数法表示840000000，应记作____． 【答案】8.4×108 【解析】 【分析】根据绝对值大于10的数科学记数法的表示为的形式即可求解，其中，n为整数位数减1． 【详解】解：840000000=8.4×108． 故答案为：8.4×108 【点睛】本题考查绝对值大于10的数的科学记数法的表示，绝对值大于10的数科学记数法一般可以写成的形式，其中，n为整数位数减1，准确确定a、n的值是解题关键． 12. 计算：_____________． 【答案】5 【解析】 【详解】解： ． 13. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到． 【详解】解： 的垂直平分线交于点F， （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∴ ∵，是角平分线 ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键． 14. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C， 在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°， ∴海里，海里， 在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°， ∴PC=BC=海里， ∴海里， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线． 15. 抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为____． 【答案】1或4 【解析】 【分析】寻找一元二次方程与抛物线表达式的联系：发现一元二次方程可化为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，表示该方程的解是抛物线向右平移2个单位长度后，y=3时，平移后抛物线上对应的点的横坐标；根据平移前抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），向右平移2个单位长度后经过点A（1，3），B（4，3），即可得到结果 【详解】a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c 变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0 把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位 得到y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c 设y′′＝3 当y′＝y′′时 即a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3 即a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c 即一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解转化为y′＝y′′的交点 而平移前函数交点的横坐标为﹣1或2，向右平移2个单位后交点的横坐标为1或4 故答案为：1或4 【点睛】本题考查抛物线的几何变换和一元二次函数与一元二次方程的关系，突破点在于找到一元二次方程与一元二次函数的关系 16. 如图，在中，，，，是上方一动点，且，交于点．当点运动到时，的值为________；随着点的运动，的最大值为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】①由题意可求出，又可证明是等边三角形．得出结论，从而可求出，进而求出，最后根据等边三角形“三线合一”即可证明，即； ②如图，作BC的垂线交BD的延长线于点F，作于点Q．由圆周角定理可判断B、C、F、P四点共圆，且BF为⊙O直径．又易证，得出结论，即．故求PQ最大即可．结合图形可知当Q点和O点重合时PQ最大，且最大值为⊙O半径，即根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理求出半径即可求出的最大值． 【详解】①∵AB=3，BC=6，， ∴， ∴． 又∵PB=PC， ∴是等边三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴； ②如图，作BC的垂线交BD的延长线于点F，作于点Q． ∵， ∴， ∴B、C、F、P四点共圆． 根据所作辅助线可知， ∴BF为⊙O直径． ∵，， ∴， ∴，即． ∴求的最大值，即PQ最大即可． 根据题意结合图形可知当Q点和O点重合时PQ最大，即最大值为⊙O半径． ∵， ∴， ∴PQ最大值为， ∴． 故答案为：1，． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键，其中②判断出当Q点和O点重合时PQ最大也是重中之重． 三．解答题（共8小题） 17. 先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式化简求值的步骤和方法进行即可 【详解】解：原式= 根据分式有意义的条件可知， ∴当x取范围内的整数时，只有x=0． ∴当x=0时，原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取x的值是解题的关键． 18. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且．连接，，，． （1）证明：． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析（2）四边形的周长= 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，再根据SAS证明两三角形全等即可 （2）先根据正方形的性质得出∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，AC⊥BD，再根据勾股定理计算出BE，再证明四边形DEBF是菱形，即可得出四边形的周长 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45° 在△ADE和△CBF中 ∴(SAS) （2）∵四边形是正方形 ∴∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，AC⊥BD ∴在Rt△AOB中，∠OAB=45°又 ∴OA=OB=sin∠OABAB= ∵ ∴OE=2 在Rt△EOB中， ∵四边形是正方形 ∴AO=CO，DO=BO 又∵ ∴EO=FO，又DO=BO ∴四边形DEBF是平行四边形 又∵AC⊥BD，即BD⊥EF ∴四边形DEBF是菱形 ∴BE=DE=DF=BF= ∴四边形的周长=4×= 【点睛】本题考查全等三角形的证明、正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理、特殊锐角三角函数值、熟练掌握特殊平行四边形的性质及判定是解题的关键 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）设该方程的两个根为、， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴，， ∴， ∴m的值为1或2， 当时，方程两个根为、； 当时，方程两个根与不是整数； ∴m的值为1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键． 20. 学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：；B：；C：；D：），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为___________； （2）将条形统计图补充完整； （3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时? （4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40，18°； （2）补全条形统计图如下： （3）140名； （4）． 【解析】 【分析】（1）用B组的人数除以所占百分比即可求出调查的人数，求出D组人数所占百分比再乘以360°即可得到D组的扇形圆心角的度数； （2）求出C组人数即可补全条形统计图； （3）用1400乘以不足8小时所占百分比即可得到结果； （4）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）22÷55%=40（名） 所以，小明一共抽样调查了40名同学； D组的扇形圆心角的度数为： 故答案为：40，18°； （2）C组人数为：40-4-22-2=12（名） 补全条形统计图如下： （3）（名） 所以，该校最近一周大约有140名学生睡眠时长不足8小时； （4）用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种， 所以抽到1名男生和1名女生的概率是：． 【点睛】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 21. 如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF∠BOE． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长． 【答案】（1）见解析；（2）， 【解析】 【分析】（1）连结，，根据“圆周角定理”及“直径所对的圆周角等于”得到，即，即可判定是的切线； （2）过点作于点，连结，解直角三角形得出，，，由判定，得出，即可求出，，再根据勾股定理求出，，最后根据特殊角的三角函数即可得解． 【详解】解：（1）证明：连结，， ，， ， 为的直径， ， ， ， 即， ， 是的切线； （2）解：过点作于点，连结， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 为的直径， ， 又， ， 即， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，熟记切线的判定与性质、圆周角定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 22. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm 【解析】 【分析】（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可； （2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为cm，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)， ∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400， ∴当h=10时，s2有最大值400， ∴当h=10时，s有最大值20cm． ∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm； 故答案为：最大射程是20cm. (2) ∵s2=4h(20-h)， 设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20-a)=4b(20-b)， ∴20a-a2=20b-b2， ∴a2-b2=20a-20b， ∴(a+b)(a-b)=20(a-b)， ∴(a-b)(a+b-20)=0， ∴a-b=0或a+b-20=0， ∴a=b或a+b=20. 故答案为：a=b或a+b=20. (3)设垫高的高度为cm，则 ∴当时， ∴时，此时 ∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm． 故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm. 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 23. 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为_____________，的度数为_____________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），，交于点D，连结，．当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，．若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 【答案】（1）2； （2）证明：如图2中， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是直角三角形， ∴是智慧三角形； ∴是的智慧线 （3）16或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （2）证明，结合定义可得结论； （3）如图3中，过点作于点．有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵是智慧三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图中，过点A作于点H． 有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的面积为16或． 24. 已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)． （1）求抛物线的表达式； （2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）或或或 【解析】 【分析】（1）将、、代入即可求解析式； （2）过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，由，可得，则求的最大值即可； （3）分三种情况讨论：当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，可证明，求出；当时，过点作轴交于点，可证明，求出；当时，线段的中点，设，由，可求或． 【详解】解：（1）将点、、代入， 得， 解得， ； （2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， ； （3），点在上， 如图2，当时， 过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点， ，， ， ， ，即， ， ； 如图3，当时， 过点作轴交于点， ，， ， ， ，即， ， ； 如图4，当时， 线段的中点，， 设， ， ， 或， 或； 综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $