第一章特殊平行四边形复习回顾 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“特殊平行四边形”单元内容，涵盖矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定及面积计算，构建了从“基础概念”到“性质判定”再到“综合应用”的递进式学习支架。 清单通过“定义-性质-判定-面积”分类呈现知识，用表格归纳中点四边形与原四边形对角线的关系，培养学生几何直观与推理意识。设计“性质判定对比表”和“综合证明题”，如“对角线互相垂直且相等的四边形中点四边形是正方形”的证明，助力学生系统掌握，教师可据此设计分层教学，提升复习效率。

第一章特殊平行四边形 复习回顾 考点1: 矩形 1. 矩形的性质与判定 (1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 (2)矩形的性质 边：对边平行且相等 角：四个角都是直角 对角线：矩形的对角线互相平分且相等 对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有2条对称轴，对称中心为两条对角线的交点 (3)矩形的判定 角：①有一个角是90°(或直角)的平行四边形是矩形 ②有三个角是90°(或直角)的四边形是矩形 对角线：对角线相等的平行四边形是矩形 2. 矩形面积：面积计算公式：S＝ab(a，b表示边长). 考点2: 菱形 1. 菱形的性质与判定 (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (2)菱形的性质 边：对边平行，四条边相等 角：对角相等 对角线：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有2条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点 (3)菱形的判定 边：①有一组邻边的平行四边形是菱形(定义) ②四边相等的四边形是菱形 对角线：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 2. 菱形面积 面积计算公式：S＝ah＝(a表示一条边长，h表示此边上的高，m，n表示对角线的长). 考点3: 正方形 1. 正方形的性质与判定 (1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (2)正方形的性质： 边：四条边都相等，对边平行 角：四个角都是直角 对角线：对角线相等且互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角 对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条对角线的交点 (3)正方形的判定 边：有一组邻边相等，并且有一个角是直角(90°)的平行四边形是正方形(定义)；有一组邻边相等的矩形是正方形 角：有一个角是直角(90°)的菱形是正方形 对角线：①对角线互相垂直的矩形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形； ③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 2. 正方形面积：面积计算公式：S＝a2＝l2(a表示边长，l表示对角线长) 3. 平行四边形与四边形、特殊四边形之间的关系 4. 中点四边形 概念：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形 原四 边形 四边形 菱形 矩形 平行四边形 正方形 原四边形 对角线 对角线不垂直，不相等 对角线不垂直， 不相等 对角线相等 对角线垂直 对角线相等且垂直 中点四边形 平行四边形 矩形 菱形 平行四边形. 正方形 以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与四边形的对角线有关，新四边形的边平行且等于对角线的一半. 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 · 连接任意四边形各边中点得到的四边形面积是原图形面积的一半 复习题 [知识技能] 1. 一个菱形的两条对角线的长分别为4cm和8cm，求它的边长. 2. 如图，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点О，且OA＝OB＝OC＝OD＝AB，则四边形ABCD是正方形吗？ 3. 如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？ 4. 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD＝10cm.求： (1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积. 5. 证明：如果四边形的两条对角线互相垂直且相等，那么以它四边的中点为顶点可画出一个正方形. 6. 如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上 的一点，且EC＝AC，求∠DAE的度数. 7. (1)如果一个菱形绕它的对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形吗？为什么？ (2)如果一个四边形绕它的对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形吗？为什么？ 8. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别 作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点 F. 求证：四边形AEDF是菱形. 9. 已知：△ABC的两条高分别为BE，CF，点M为BC的中点.求证：ME＝MF. 10. 已知正方形的对角线的长为l，求这个正方形的周长和面积. 11. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.求证：四边形CODP是菱形. 12. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，P，N，Q分别在AO，BO，CO，DO上， 且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形. 13. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CEDF是正方形. 14. 如图，在矩形ABCD 中，AB＝20cm.动点P从点A开始沿AB方向以4cm/s的速度运动，动点Q同时从点C 出发沿CD方向以1cm/s的速度运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为t s，则当t为多少时，四边形APQD是矩形？ [数学理解] 15. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形？试说明理由. 16. 如图，把两个大小、形状完全相同的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC的度数. 17. 小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，她非常想买，又感觉纱巾不太方。商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验(如图).小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验。小颖发现，两次对折后两组对角都能分别对齐，终于下决心买下这块纱巾.你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形的吗？用什么方法可以检验纱巾是不是正方形的？ 18. 已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H 。求证：四边形 EFGH 是矩形. [问题解决] 19. (1)如图(1)，将矩形纸ABCD沿BE折叠，顶点A落在纸片ABCD内的点A′.展开纸片得到四边形ABA′E，这个四边形有哪些性质？ (2)如图(2)，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在BC边上的点A′.展开纸片，得到四边形ABA′E，这个四边形是正方形吗？为什么？ (3)如图(3)，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，顶点A落在BC边上的点A′，顶点B落在纸片外的点B′.展开纸片，得到四边形AFA′E，试判断这个四边形的形状，并证明你的结论. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章特殊平行四边形 复习回顾 考点1: 矩形 1. 矩形的性质与判定 (1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 (2)矩形的性质 边：对边平行且相等 角：四个角都是直角 对角线：矩形的对角线互相平分且相等 对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有2条对称轴，对称中心为两条对角线的交点 (3)矩形的判定 角：①有一个角是90°(或直角)的平行四边形是矩形 ②有三个角是90°(或直角)的四边形是矩形 对角线：对角线相等的平行四边形是矩形 2. 矩形面积：面积计算公式：S＝ab(a，b表示边长). 考点2: 菱形 1. 菱形的性质与判定 (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (2)菱形的性质 边：对边平行，四条边相等 角：对角相等 对角线：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有2条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点 (3)菱形的判定 边：①有一组邻边的平行四边形是菱形(定义) ②四边相等的四边形是菱形 对角线：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 2. 菱形面积 面积计算公式：S＝ah＝(a表示一条边长，h表示此边上的高，m，n表示对角线的长). 考点3: 正方形 1. 正方形的性质与判定 (1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (2)正方形的性质： 边：四条边都相等，对边平行 角：四个角都是直角 对角线：对角线相等且互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角 对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条对角线的交点 (3)正方形的判定 边：有一组邻边相等，并且有一个角是直角(90°)的平行四边形是正方形(定义)；有一组邻边相等的矩形是正方形 角：有一个角是直角(90°)的菱形是正方形 对角线：①对角线互相垂直的矩形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形； ③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 2. 正方形面积：面积计算公式：S＝a2＝l2(a表示边长，l表示对角线长) 3. 平行四边形与四边形、特殊四边形之间的关系 4. 中点四边形 概念：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形 原四 边形 四边形 菱形 矩形 平行四边形 正方形 原四边形 对角线 对角线不垂直，不相等 对角线不垂直， 不相等 对角线相等 对角线垂直 对角线相等且垂直 中点四边形 平行四边形 矩形 菱形 平行四边形. 正方形 以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与四边形的对角线有关，新四边形的边平行且等于对角线的一半. 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 · 连接任意四边形各边中点得到的四边形面积是原图形面积的一半 复习题 [知识技能] 1. 一个菱形的两条对角线的长分别为4cm和8cm，求它的边长. 解：AB＝2cm. 2. 如图，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点О，且OA＝OB＝OC＝OD＝AB，则四边形ABCD是正方形吗？ 解：四边形ABCD是正方形 3. 如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？ 解：不一定，因为筝形也符合条件． 4. 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD＝10cm.求： (1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积. 解：(1)AC＝24cm；(2)S菱形ABCD＝120cm2． 5. 证明：如果四边形的两条对角线互相垂直且相等，那么以它四边的中点为顶点可画出一个正方形. 证明：如图， 四边形ABCD中，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD ，AD 中点， BD ，AC 交于点 O， 则 HE平行且等于BD平行且等于FG，HG平行且等于AC平行且等于EF． 又∵∠COB＝∠1＝90°＝∠HEF，∴四边形EFGH为正方形． 6. 如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上 的一点，且EC＝AC，求∠DAE的度数. 解：∠DAE＝22.5°. 7. (1)如果一个菱形绕它的对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形吗？为什么？ (2)如果一个四边形绕它的对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形吗？为什么？ 解：(1)是正方形。因为绕对角线交点旋转90°，所得图形与原图形重合，说明菱形两条对角线相等，所以这个菱形是正方形. (2)是正方形.因为绕对角线交点旋转90°，所得图形与原图形重合，说明四个角相等，均为90°，且四条边相等，所以这个四边形是正方形. 8. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别 作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点 F. 求证：四边形AEDF是菱形. 证明：∵AD 为∠BAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAB. 又∵DF∥AB，DE∥AC，∴四边形AEDF为平行四边形， ∠DAC＝∠EDA ，∠FDA＝∠EAD ， ∴∠FDA＝∠DAF＝∠EAD ＝∠EDA，即AF＝FD ，AE＝ED. 又∵四边形AEDF为平行四边形，∴四边形AEDF是菱形. 9. 已知：△ABC的两条高分别为BE，CF，点M为BC的中点.求证：ME＝MF. 证明：如图，∵△FBC 为直角三角形，△EBC为直角三角形，M点为BC中点， ∴MF＝BC＝EM. 10. 已知正方形的对角线的长为l，求这个正方形的周长和面积. 解：正方形的周长＝2l，正方形的面积＝ 11. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.求证：四边形CODP是菱形. 证明：∵DP∥AC，PC∥BD ， ∴四边形OCPD为平行四边形，OC＝PD ，PC＝OD. 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD ， 则OC＝PD＝AC＝BD＝OD＝ PC. ∴四边形CODP是菱形 12. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，P，N，Q分别在AO，BO，CO，DO上， 且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形. 证明：在矩形ABCD中，AM＝BP＝CN＝DQ. ∴OM＝OQ＝ON＝OP.易证△MOQ≌△PON. ∴MQ＝PN ，∠MQP＝∠NPQ，∴MQ∥PN ， ∴四边形MQNP为矩形. 13. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CEDF是正方形. 证明：由题意，知∠FCE＝90°＝∠CED＝∠CFD＝∠FDE. ∴四边形CEDF为矩形. 又∵CD是△ACB的角平分线，∴∠DCE＝∠FCD＝45°＝∠EDC，即DE＝EC， ∴四边形CEDF是正方形 14. 如图，在矩形ABCD 中，AB＝20cm.动点P从点A开始沿AB方向以4cm/s的速度运动，动点Q同时从点C 出发沿CD方向以1cm/s的速度运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为t s，则当t为多少时，四边形APQD是矩形？ 解：当t为4s时，四边形APQD是矩形 [数学理解] 15. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形？试说明理由. 解：重合部分是等腰三角形 16. 如图，把两个大小、形状完全相同的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC的度数. 解：∠ACF＝90°；∠AFC＝45° 17. 小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，她非常想买，又感觉纱巾不太方。商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验(如图).小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验。小颖发现，两次对折后两组对角都能分别对齐，终于下决心买下这块纱巾.你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形的吗？用什么方法可以检验纱巾是不是正方形的？ 解：小颖买的这块纱巾不一定是正方形. 18. 已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H 。求证：四边形 EFGH 是矩形. 证明：延长AH ，交CD于点M ，延长BH，交CD于点N. 由题意，知∠BAM＝∠DAB＝∠DMA＝∠DCF， ∴EH∥FG.同理，可证HG∥EF，即四边形EFGH为平行四边形. 又∵∠DAB＋∠ABC＝180°，∴∠HAB＋∠ABH＝×180°＝90°， 即∠AHB＝90°，∴四边形 EFGH 为矩形. [问题解决] 19. (1)如图(1)，将矩形纸ABCD沿BE折叠，顶点A落在纸片ABCD内的点A′.展开纸片得到四边形ABA′E，这个四边形有哪些性质？ (2)如图(2)，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在BC边上的点A′.展开纸片，得到四边形ABA′E，这个四边形是正方形吗？为什么？ (3)如图(3)，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，顶点A落在BC边上的点A′，顶点B落在纸片外的点B′.展开纸片，得到四边形AFA′E，试判断这个四边形的形状，并证明你的结论. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $