2027届高考数学一轮复习----专题2-4 指数与指数函数（5重难点题型+高考真题）

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为主线，系统整合指数运算、函数图像性质及综合应用，通过高考真题与模拟题实现方法迁移与能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数运算与方程不等式|6题（含2026模拟）|定义性质应用、参数转化|根式定义→指数幂运算→方程不等式求解| |指数函数图像与性质|6题（含图像辨析）|图像对比、性质分析|图像特征→定义域值域→单调性应用| |指数式大小比较|7题（多参数比较）|单调性法、中间量法|指数函数单调性→不同底数指数式比较| |指数方程不等式求解|7题（含实际应用）|转化思想、分类讨论|指数函数性质→方程求解→不等式解集| |指数函数性质综合应用|6题（含奇偶性）|奇偶性判断、恒成立问题|函数性质综合→实际问题建模→参数范围确定|

专题2-4 指数与指数函数 1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______； 重难点题型1 指数运算、指数方程与指数不等式 指数及指数运算： (1)、根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)、根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)、指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)、有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)、有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 6．（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 重难点题型2 指数函数的图像与性质 指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 1．（2026·辽宁·模拟预测）已知指数函数，其反函数为，下列关于两个函数说法正确的是（   ） A．常数的取值范围为且，函数的定义域为实数集 B．当时，与的图像只有一个交点 C．若两函数图象存在交点，则该交点不一定位于直线上 D．设与两函数图象交点为，，则，等号成立 2．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东揭阳·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 重难点题型3 比较指数式的大小 1．（2026·北京大兴·三模）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·广东揭阳·二模）已知a，b，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山西太原·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型4 解简单的指数方程或不等式 1．（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广西贵港·阶段检测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 5．（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 7．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是___________________． 重难点题型5 指数函数性质的综合应用 1．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 2．（多选题）下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的值域是 C．若，则 D．函数的图像必过定点 3．（2025·陕西汉中·一模）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是___________． 4．（2025·湖北十堰·三模）已知函数，若存在实数、b、，满足且，则_____． 5．（2024·四川内江·一模）已知函数（，且）的图象无限接近直线但又不与该直线相交，且在上单调递增，请写出一个满足条件的的解析式______． 6．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.若的定义域为，则的定义域为：__________；若，的值域为，则的取值范围是：__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-4 指数与指数函数 1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【详解】由，则. 2．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性、充分条件、必要条件 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______； 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 重难点题型1 指数运算、指数方程与指数不等式 指数及指数运算： (1)、根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)、根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)、指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)、有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)、有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 2．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.79 【知识点】指数幂的运算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 3．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【详解】已知，则， 所以，所以. 因为，所以. 4．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、求函数值、对数的运算 【详解】法1：由，得，所以，所以， 所以，即，所以． 法2：， 所以． 5．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 6．（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 【答案】/ 【难度】0.82 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 重难点题型2 指数函数的图像与性质 指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 1．（2026·辽宁·模拟预测）已知指数函数，其反函数为，下列关于两个函数说法正确的是（   ） A．常数的取值范围为且，函数的定义域为实数集 B．当时，与的图像只有一个交点 C．若两函数图象存在交点，则该交点不一定位于直线上 D．设与两函数图象交点为，，则，等号成立 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求反函数、根据函数是指数函数求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对于选项A，求出，从而得到结论；对于选项B，判断出函数的图象在直线上方，再根据反函数图象性质，从而得到结论；对于选项C，举例即可说明；对于选项D，与的交点为，，与的交点为，，则，，由是的反函数，得到在上，从而得到，则，利用基本不等式求解即可得到结论. 【详解】对于选项A，是指数函数，其反函数为，定义域为，故选项A错误； 对于选项B，当时，，则，当时， 易知，所以，所以函数的图象在直线上方， 而的图象与的图象关于直线对称，所以的图象在直线下方， 当时，与的图象没有交点，故选项B错误； 对于选项C，若两函数图象存在交点，则这两个交点不一定在直线上， 比如：函数，，两函数图象有一个交点， 其不在直线上，故选项C正确； 对于选项D，与的交点为，， 与的交点为，， 则，， 是的反函数，在上， ，，，， ，， ，当且仅当，即时，此时， 但是，故等号不成立，，故选项D错误. 故选：C. 2．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据指数型函数图象判断参数的范围 【详解】函数有两个零点，则方程有两个实根， 即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点. 结合函数的图象，可得， 所以的取值范围是. 3．（25-26高三上·广东揭阳·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据题意，求得所以为奇函数，且，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称， 当时，，且，所以， 故选：B. 4．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数函数图像应用 【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求得即可. 【详解】由函数的图象无限接近于直线，但不与该直线相交可得， 又因函数的图象过原点，则，故. 故选：C. 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、余弦函数图象的应用、根据函数图象选择解析式、判断指数型函数的图象形状 【分析】利用排除法，根据函数定义域以及奇偶性分析判断即可. 【详解】对于AB：由解析式知均不可能为0， 即，的定义域不为， 由图知函数的定义域为，故AB错误； 对于C：因为函数的定义域为， 且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 但题中图象关于原点对称，故C错误； 故选：D. 重难点题型3 比较指数式的大小 1．（2026·北京大兴·三模）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】比较指数幂的大小、比较正切值的大小 【分析】利用正切函数、指数函数和幂函数的单调性判断. 【详解】，因为在上递增， 且，所以，即，， 1，因为在上递增，且， 所以，即，所以 故选：D 2．（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】比较指数幂的大小、作商法比较代数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 4．（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.68 【知识点】比较指数幂的大小、判断命题的充分不必要条件、由幂函数的单调性比较大小 【详解】由且在上单调递增，， 若，则， 由且在上单调递减，， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 5．（2026·广东揭阳·二模）已知a，b，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于A，当时，满足，而，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递增，且，则，故D正确. 6．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化、比较对数式的大小 【分析】由题意可得，，找出中间值，借助对数运算可得，合理放缩计算可得，则可得，即有，综上即可得解. 【详解】由，，则，， 由，则，即， 由，则，即， 故； 由，则， 即，即； 综上可得：. 7．（2026·山西太原·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、利用导数证明不等式、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数的单调性，利用不等式放缩进行分析求解即可. 【详解】在上为增函数，，，即. ，. 令，， ，， 当时，，所以在上单调递增. 又因为，所以当时，， 当时，. ， ，即. 重难点题型4 解简单的指数方程或不等式 1．（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式 【详解】∵ 当时，为单调递增函数，当时，，所以此时. 当时，为单调递增函数，也为单调递增函数， ∴ 在上单调递增，且. ∴ 函数是定义域为的单调递增函数. 令，当时，有. 设（），则，整理得. 解得或，∵ ，∴ 不符合题意，舍去. ∴ ，即. ∵ 在上单调递增， ∴ 等价于，解得. ∴ 实数的取值范围为，故选A. 2．（24-25高三上·广西贵港·阶段检测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可. 【详解】由题意可知的定义域为，且，所以为偶函数． 当时，，则函数在上单调递减，且． 所以不等式成立，需， 解得或，又， 所以，即正实数的取值范围是． 故选：A． 3．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域、由对数（型）的单调性求参数 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 4．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 5．（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【详解】由偶函数可知，即， 化简得，即，即. 6．（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可. 【详解】已知函数，则， 是奇函数， 是增函数，是增函数， 是增函数， 因为 ， ，即， 是单调递增函数， ，解得． 所以的取值范围是. 7．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是___________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求分段函数解析式或求函数的值、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】当时，，，； 当时，，，；当时，， 因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递减，则， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 重难点题型5 指数函数性质的综合应用 1．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、对数型复合函数的单调性 【分析】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解. 【详解】的定义域为， 因为，所以，即为偶函数， 当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增， 所以在上单调递增. 2．（多选题）下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的值域是 C．若，则 D．函数的图像必过定点 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】比较指数幂的大小、指数函数的判定与求值、指数型函数图象过定点问题 【解析】对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案. 【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确. 选项B. 当时，，故B正确. 选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确. 选项D. 由，可得的图象恒过点，故D正确. 故选：BD 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数的定义、单调性以及图象过定点的应用，属于基础题. 3．（2025·陕西汉中·一模）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】令，利用换元法将函数转化为，再利用分离参数法求出的取值范围. 【详解】因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 当时，，令，则 所以当时，可转化为， 因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 又，当且仅当，即时，取得最小值， 所以. 故答案为： 4．（2025·湖北十堰·三模）已知函数，若存在实数、b、，满足且，则_____． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的性质及应用、根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】作出函数的图象，当时，方程的解分别为、、、，根据题意可知，、、对应的数为、、或、、，不妨取、、为对应的、、，可得出，进而得出，令，则，构造函数，结合函数的单调性求出的值，可得出、的值，即可得解. 【详解】函数， 函数的图象是保留函数在上的图象，并去除函数在上的图象， 再将函数在上的图象关于轴翻折，可得到函数的图象， 作出函数的图象如下图所示： 当时，方程的解分别为、、、， 由，得、、为、、、中的三个数， 而，且，则、、对应的数为、、或、、， 根据对称性，不妨取、、为对应的、、， 由，得，又，则， 而，因此，令，则， 函数为减函数，且， 则方程的解为，即，解得，，所以. 故答案为： 5．（2024·四川内江·一模）已知函数（，且）的图象无限接近直线但又不与该直线相交，且在上单调递增，请写出一个满足条件的的解析式______． 【答案】（答案不唯一，满足且均可） 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据指数函数的最值求参数 【分析】根据复合函数单调性结合指数函数单调性分析可知，再结合指数函数值域可得，即可得结果. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 且在上单调递减， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 若在上单调递增，则， 可得， 若函数图象无限接近直线但又不与该直线相交，可知， 综上所述：且. 例如，可得. 故答案为：（答案不唯一，满足且均可）. 6．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.若的定义域为，则的定义域为：__________；若，的值域为，则的取值范围是：__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值、根据指数函数的最值求参数 【分析】根据题意结合抽象函数值域分析求解；分析可得，根据指数函数可得的值域为，结合二次函数运算求解. 【详解】若的定义域为，即，则， 所以的定义域为； 因为， 可得的值域为，则的值域为， 可得，解得：， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $