专题2-1 函数的概念及其表示（4重难点题型+高考真题）训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-表示-应用”为逻辑主线，通过高考真题与模拟题结合，系统提炼定义域、解析式、分段函数的解题方法，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求函数的定义域|6题（含2真题）|7类限制条件（分式、偶次根式等）|从基本概念限制到复合函数定义域转化| |求函数的解析式|7题（含3真题）|待定系数法、配凑法等6种方法|从已知函数类型到抽象函数的解析式求解| |分段函数求值|8题（含2真题）|区间定位与分类讨论|从简单求值到综合性质（切线、方程解）应用| |分段函数与方程、不等式|7题|值域分析、单调性判断|从函数性质到方程不等式的综合转化|

专题2-1 函数的概念及其表示 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求函数值、比较函数值的大小关系 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．（2024·上海·高考真题）已知则______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求分段函数值 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 3．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 4．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 重难点题型1 求函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【详解】由于偶次根号下的被开方数非负，则，即， 因为是增函数，解得； 另外，由分母不为零得，解得. 综上，定义域为 2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 3．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【详解】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得． 5．函数的定义域是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】分别考虑根式和对数函数的定义域要求，然后取它们的交集即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 6．（2024·河南信阳·一模）已知不等式的解集为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意，得到和是方程的两个根，列出方程组，求得的值，得出函数，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式的解集为， 可得和是方程的两个根，且， 则，解得，所以函数， 要使得函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 重难点题型2 求函数的解析式 求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法． （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法． （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． （5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解． （6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 1．（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式 【分析】令，解得，再利用原式求解. 【详解】因为，令，解得， 所以． 故选：C. 2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】通过换元法及常数分离进行求解. 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以． 故选：B 3．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求解析式中的参数值 【分析】令，求出，代入解出. 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 4．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、累加法求数列通项 【分析】令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值. 【详解】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 5．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为_____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 联立可解得，所以， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 故所求的切线方程为. 故答案为：. 6．若函数满足关系式，则______. 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】用方程组法求得，代入求值即可解答. 【详解】因为，所以， 解得，所以. 故选：6 7．（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 【答案】4051 【难度】0.67 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式 【分析】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可. 【详解】令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即， 令可得，则， 因此． 重难点题型3 分段函数求值 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内． 1．（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】求函数值、求分段函数解析式或求函数的值、对数的运算、由函数的周期性求函数值 【分析】先根据递推关系推导函数周期为6，再计算2026模6的余数，对应周期内的函数值即可求解. 【详解】当时，， 因此，. 当时，递推关系为 ①， 将替换为得 ②， 将①+②可得，即， 因此，故函数在具有周期性，周期为. 因为，所以， 因为， ， ， . 因此. 2．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、根据函数的单调性解不等式、求分段函数值 【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和. 【详解】若，则，因为函数在单调递增， 且，所以方程无解； 若，，则， 得到，即， 整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减， 且，所以方程无解； 综上，，， 所以，. 故选：B. 3．（2025·浙江金华·三模）狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（    ） A．不存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，满足 D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的性质及应用、函数新定义 【分析】根据狄利克雷函数的定义可知当时，恒成立，即可判断选项A；分析可知对于，当时，不成立，即可判断选项B；令，，即可判断选项C；取点，，，利用勾股定理即可即可判断选项D. 【详解】根据狄利克雷函数，可知： 当时，若，则，，所以； 若，则，，所以， 故时，恒成立，故选项A错误； ，当时，； ，当时，， 所以对于，当时，不成立，故选项B错误； 令，，则，此时，，不成立，故选项C错误； 取函数图象上点，，，此时，，， 所以，所以是直角三角形，故选项D正确. 故选：D. 4．（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据分段函数结合导数求出，再根据点斜式求出直线方程. 【详解】当时，， 当时，，则， 所以，， 则所求切线方程为，即. 故选：A 5．（2024·陕西西安·三模）已知函数则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用 【分析】根据分段函数的定义域、对数、指数的运算可得答案. 【详解】因为，则， 所以． 故选：D. 6．已知函数，则___________；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数图象的应用 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可得第一空；根据题意求的解析式并作出图象，分析可知函数与有两个不同交点，结合图象即可得结果. 【详解】因为， 则，所以‘ 当时，单调递减，且； 当时，单调递减，且，则； 则，作出函数的图象如下： 若方程有两个不同解，等价于函数与有两个不同交点， 结合图象可得，所以实数k的取值范围是. 故答案为：； 7．定义在上的函数满足，则________，________. 【答案】 1 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数函数的概念判断与求值、由函数的周期性求函数值 【分析】由分段函数的性质知，从而得到函数的周期为6，再计算相关值即可. 【详解】因为， 所以， 则，故， 即函数的周期， 则， . 故答案为：1；. 8．已知函数则______；若，则______. 【答案】 16 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、求指数函数在区间内的值域 【分析】根据函数的解析式，先求出，再将该值代入对应的函数式，求得；因为当时，，则由函数值为可知， ，故，则，再解方程得出的值. 【详解】由该分段函数的解析式可得： 则； 由函数解析式可知，当时，， 则由知， 且， 所以， 则，解得. 故答案为：；. 重难点题型4 分段函数与方程、不等式问题 1．（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 2．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据指数函数和二次函数值域的求法可求得在每一段上的值域，根据有最小值可构造不等式求得结果. 【详解】当时，， 当时，， 所以如果存在最小值， 则，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 4．（2025·甘肃白银·三模）若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】由题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题知，，解得：. 故答案为：. 5．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可. 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 6．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为_______；若有最小值，则的取值范围是_____． 【答案】 0（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、求含cosx的函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】先判断是上的单调递减函数，结合分界点的函数值的大小关系可得a的取值范围；根据函数的单调性，分别求解每一段上的值域，即可分类讨论求解. 【详解】因为在递减，在上递减， 若是上的单调函数，则是上的单调递减函数， 只需， 则的一个取值为0（任取即可）； 当时，单调递减，所以， 当时，， 若，则当时，单调递增，所以，则此时函数无最小值； 若，则当时，，时，，函数有最小值为满足题意； 若，则当时，单调递减，，时，，要使函数有最小值，则且，解得； 综上，的取值范围是， 故答案为：0（答案不唯一）；. 7．已知函数若的值域为R，则a的一个取值为____________；若是R上的增函数，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 0（）； 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】①的值域为R等价于的值域包含，即，由导数法，对分别讨论、、下的最大值即可； ②是R上的增函数，则等价于单调递增且，单调递增等价于在恒大于等于0，分别讨论、即可 【详解】①值域为R等价于的值域包含，即，由， 当时，，单调递增，即有，故有，解得或； 当时，由得，由得， 故当，，单调递增，即有，故有，解得； 当，时，，单调递增，，，单调递减，即有，故有恒成立，故； 综上，的值域为R时， ②若是R上的增函数，等价于单调递增且，解得或， 由单调递增即在恒大于等于0得， 当，，得或； 当， 综上，或. 故答案为：0（）； 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-1 函数的概念及其表示 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·高考真题）已知则______． 3．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________． 4．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 重难点题型1 求函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 5．函数的定义域是__________. 6．（2024·河南信阳·一模）已知不等式的解集为，则函数的定义域为__________. 重难点题型2 求函数的解析式 求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法． （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法． （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． （5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解． （6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 1．（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 4．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为_____________. 6．若函数满足关系式，则______. 7．（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 重难点题型3 分段函数求值 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内． 1．（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2025·浙江金华·三模）狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（    ） A．不存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，满足 D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形 4．（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·三模）已知函数则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 6．已知函数，则___________；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是___________. 7．定义在上的函数满足，则________，________. 8．已知函数则______；若，则______. 重难点题型4 分段函数与方程、不等式问题 1．（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃白银·三模）若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________. 5．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________． 6．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为_______；若有最小值，则的取值范围是_____． 7．已知函数若的值域为R，则a的一个取值为____________；若是R上的增函数，则实数a的取值范围是____________． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $