精品解析：湖北十堰市第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

十堰一中2025～2026学年第二学期期末考试试题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的求导公式、复合函数的求导法则，逐一判断各选项的求导结果是否正确. 【详解】对于选项A，是常数，所以，故选项A错误； 对于选项B，根据复合函数的求导法则，，故选项B错误； 对于选项C，根据对数函数的求导公式，，故选项C正确； 对于选项D，，故选项D错误. 2. 观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象和相关系数的意义可得且，且，依次判断即可. 【详解】①分析图1的相关系数观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内； 随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义， 两个变量呈负相关，故； ②分析图2的相关系数观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内； 随着的增大，总体呈增大趋势； 根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故； 此外，观察图2中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近， 说明图2的线性相关性更强，即 选项，已知且，且，故 成立； 选项，因为且，所以，故选项B错误； 选项，因为且，则，选项C错误； 选项，因为且，则，显然不可能大于1，故选项D错误. 3. 已知的展开式中的的系数是280，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为，， 令得，∴展开式中的系数为，解得， 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以. 5. 某班级一天上午有5节课，下午有2节课，现在要安排语文，数学，英语，物理，化学，政治，体育7门课各一节的课程表，要求数学，物理都在上午且不相邻，体育课在下午，则不同的排课方法数有（ ） A. 576种 B. 288种 C. 192种 D. 144种 【答案】A 【解析】 【详解】因为数学，物理都在上午且不相邻，体育课在下午，先安排上午剩余3节课， 有种排法，然后将数学及物理插空，有种排法，剩下2门安排在下午， 有种排法， 故不同的排课方法数有种. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性、单调性将原不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】函数的定义域为，，故为上的奇函数. ，根据基本不等式，得，当且仅当时取等号. 又，因此，且等号不能同时取到， 因此恒成立，所以在上单调递增. 不等式等价变形为，由单调性得， 即，解得. 所以不等式的解集为. 7. 甲、乙两人独立解一道数学题，甲独立解出的概率为，乙独立解出的概率为，则在这道题被解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由独立事件同时发生的概率乘法公式和条件概率公式，计算可得所求值． 【详解】这道题被解出的概率为, 甲、乙同时解出这道题的概率为， 则在这道题被解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为． 8. 已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式恒成立，转化为两个函数和有2个相同的零点，将式子转化为，再构造函数求最值. 【详解】设，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 当时，的最小值， 所以函数有2个零点， 则函数也有2个零点，由不等式恒成立， 可知两个函数和有2个相同的零点和， 所以，且，两式相乘得， 即，， 所以，设，， ，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当，取得最大值， 综上可知，的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的极小值为1 D. 在上的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出导函数得出判断A，进而得出函数单调性及极值判断B，C，最后得出最值判断D. 【详解】函数，，令，则，，故A错误； 函数，则，所以函数的单调递减区间为，故B正确； 函数，则或，所以函数的单调递增区间为或， 所以函数的极小值为，故C正确； 由上分析，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增， 所以函数的极大值为，又， 故在上的最大值为3，故D正确. 10. 已知，的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. C. 是10的倍数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：根据二项式系数的性质得到的展开式共有9项，即可求解的值；B选项：利用展开式的通项公式得到为展开式中各项的系数，再利用赋值法令和，即可求解；C选项先利用赋值法表示出，再由二项式定理展开即可得到是10的倍数；D选项：对求导，再结合赋值法可求出的值． 【详解】对于A，因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大， 所以的展开式共有9项，即，解得． 则选项A正确； 对于B，由A选项知， 则，， 的展开式通项为， 因此，对应的展开式系数． 令，可得， 其中，因此． 则选项B错误； 对于C，因为，所以， 由二项式定理展开， 因此， 所以是10的倍数． 则选项C正确； 对于D，对两边求导， 可得， 令，则． 则选项D正确． 11. 在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则与互斥 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据A与B相互独立，则,再由可判断A选项；由条件概率的运算 可判断B选项；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故可判断C选项；通过计算得，得B与C互斥即可判断D. 【详解】对于A，A与B相互独立，则, ，故A错误； 对于B，因为与互斥，所以，所以， 所以，， 所以,故B正确； 对于C，因为与互斥，所以，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，显然，即， 由，得， 解得，所以与互斥，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】X服从超几何分布，. 13. 下表是某地3月1日至3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码x 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格y（十万元/吨） 4.1 3.9 3.8 3.8 3.9 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，则样本点处的残差为__________． 【答案】 【解析】 【详解】日期代码的平均值为， 价格的平均值为， 因为经验回归直线过样本点中心， 所以将，代入中， 可得，解得， 则经验回归方程为． 当时，预测值， 根据残差定义，样本点处的残差为． 14. 已知数列共有10项，其中，，，，则满足条件的不同数列有________个． 【答案】414 【解析】 【分析】设这 9 个 中，有个0，个1，个2，列出约束条件，求解出三种不同情况对应的排列数，再将三种情况的排列数相加. 【详解】数列共有 10 项，，，且 ，， 对递推式累加可得：，所以 设这 9 个 中，有个0，个1，个2，则满足： 由第二个方程得，代入第一个方程： 由 为非负整数，得 ， 因此 的可能取值为 ，对应三组解： 当，，排列数是, 当，，排列数是, 当，，排列数是, 将三种情况的排列数相加： 因此，满足条件的不同数列有414个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第6项为常数项． （1）求n的值及展开式的二项式系数之和； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1），二项式系数之和为. （2）有理项为，，. 【解析】 【分析】（1）先写出二项展开式的通项公式，根据“第6项为常数项”，即，令该项中的指数为0，解得；再利用二项式系数之和为，计算二项式系数之和. （2）根据第（1）问求出的，写出完整的通项公式；令通项中的指数为整数，结合的取值范围（），筛选出符合条件的值，再代入通项公式求出对应的有理项. 【小问1详解】 展开式的通项为， 因为展开式的第6项为常数项，所以，解得， 展开式的二项式系数之和为. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 因为展开式中的有理项是指的指数为整数的项，所以令且， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时， 所以，展开式的有理项为，，. 16. 某体育博主为调查大学生对大运会的了解情况，在某大学随机抽取了200名大学生（其中男生和女生各100名）提问他们有关大运会的问题，完全答对的被认为了解大运会，否则认为不了解大运会，得到如下列联表： 男生 女生 合计 了解大运会 80 40 120 不了解大运会 20 60 80 合计 100 100 200 （1）根据列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为大学生是否了解大运会与性别有关？ （2）将频率视为概率，用样本估计总体，若从该校大学生中随机抽取3人调查他们对大运会的了解情况，记抽取的3人中了解大运会的人数为X，求X的分布列和数学期望．附： ，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，能认为大学生是否了解大运会与性别有关. （2）的分布列 0 1 2 3 . 【解析】 【小问1详解】 根据列联表数据，计算卡方统计量： . 查临界值表，当时，临界值， 故能认为大学生是否了解大运会与性别有关. 【小问2详解】 由样本估计总体，单个学生了解大运会的概率为：. 则，, ，. 抽取3人，，其分布列为： 0 1 2 3 . 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在 和上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）将函数求导，根据导函数的表达式，将参数分成，，和四种情况，分别讨论函数的单调性即得； （2）根据（1）的结论，依题意可推得或，分两种情况将题设条件转化成在对应区间上的恒成立问题，通过设，利用导数分析其单调性，验证即得参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当，即时，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，则， 由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增； 若，，即函数在上单调递增； 若，则， 由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，要使既有极大值又有极小值，需使或. 当时，的极大值为，的极小值为， 依题意，，因，可得（*）， 设，则， 即函数在上单调递减，故，即，这与（*）矛盾，舍去； 当时，的极小值为，的极大值为， 依题意，，因，可得（**）， 由上分析，易得函数在上单调递减， 故，即，符合（**）. 综上可得，的取值范围为. 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，，且． ①求的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出函数在切点处的函数值与导数值（切线斜率），借助点斜式写出切线方程，再对方程进行整理，即可得到切线方程. （2）①将函数存在两个零点的条件转化为函数与函数有两个不同的交点的问题，对求导分析单调性、极值与极限趋势，画出的草图，结合图像即可确定的取值范围，②利用零点满足的方程对原不等式做等价变形，将恒成立条件转化为恒成立，再令，构造函数，通过求导研究的单调性与最值，把恒成立问题转化为函数最值问题求解，最终得到的取值范围. 【小问1详解】 根据题意，当时，，则， 所以，， 所以切线方程为，整理得. 【小问2详解】 ①根据题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点即方程在有两个不同的根， 即可等价于函数与函数的图象在上有两个不同的交点. 而，则当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 又有且只有一个零点是，且在时，； 在时，，所以的草图如下： 因此想要函数与函数的图象在上有两个不同的交点， 只需要，故的取值范围为. ②由已知，分别为方程的两个根，即，， 所以原不等式等价于. 因为，且，所以原不等式等价于. 又由，作差，得，即， 所以原不等式等价于. 因为，原不等式恒成立，即. 令，，则不等式在上恒成立. 令，则， 当时，显然时，，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立，满足题意； 当时，显然时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在上存在，不满足恒成立，应舍去. 综上，若不等式恒成立，只须，又，所以. 19. 某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立． （1）求甲在完成1次作答后所得分数X的分布列与数学期望； （2）在比赛过程中，记甲累积分数达到分的概率为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 【答案】（1）的分布列如下表， 0 1 2 . （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）首先列出随机变量的取值，再根据随机变量的意义，求概率，列分布列和期望； （2）（ⅰ）根据题意列出数列的递推关系式，即可求解；（ⅱ）根据递推关系式，利用构造法求通项公式. 【小问1详解】 ， ，，， 的分布列如下表， 0 1 2 . 【小问2详解】 （ⅰ）由条件可知，，， ， （ⅱ），， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ，两边同时乘以， ， 设，则， ， 当时，，成立， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰一中2025～2026学年第二学期期末考试试题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 已知的展开式中的的系数是280，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 5. 某班级一天上午有5节课，下午有2节课，现在要安排语文，数学，英语，物理，化学，政治，体育7门课各一节的课程表，要求数学，物理都在上午且不相邻，体育课在下午，则不同的排课方法数有（ ） A. 576种 B. 288种 C. 192种 D. 144种 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人独立解一道数学题，甲独立解出的概率为，乙独立解出的概率为，则在这道题被解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的极小值为1 D. 在上的最大值为3 10. 已知，的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. C. 是10的倍数 D. 11. 在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则与互斥 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则__________． 13. 下表是某地3月1日至3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码x 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格y（十万元/吨） 4.1 3.9 3.8 3.8 3.9 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，则样本点处的残差为__________． 14. 已知数列共有10项，其中，，，，则满足条件的不同数列有________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第6项为常数项． （1）求n的值及展开式的二项式系数之和； （2）求展开式中所有的有理项． 16. 某体育博主为调查大学生对大运会的了解情况，在某大学随机抽取了200名大学生（其中男生和女生各100名）提问他们有关大运会的问题，完全答对的被认为了解大运会，否则认为不了解大运会，得到如下列联表： 男生 女生 合计 了解大运会 80 40 120 不了解大运会 20 60 80 合计 100 100 200 （1）根据列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为大学生是否了解大运会与性别有关？ （2）将频率视为概率，用样本估计总体，若从该校大学生中随机抽取3人调查他们对大运会的了解情况，记抽取的3人中了解大运会的人数为X，求X的分布列和数学期望．附： ，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，，且． ①求的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 19. 某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立． （1）求甲在完成1次作答后所得分数X的分布列与数学期望； （2）在比赛过程中，记甲累积分数达到分的概率为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $