精品解析：湖北十堰市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

十堰一中2025-2026学年第二学期期中考试试卷 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分命题人：郑佳香 审题人：李蕊 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 45 B. 20 C. 135 D. 120 2. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若二项展开式中的各项的二项式系数只有第5项最大，则n的值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 5. 有4名护士到某医院实习，该医院将这4名护士分到心内科､心外科､骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（ ） A. 40 B. 36 C. 24 D. 48 6. 甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为且满足，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（ ） A. 事件，是互斥事件 B. 事件，是对立事件 C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 若有两个极值点，则实数的取值范围为 C. 当时，的值域为 D. 若存在，使得成立，则实数的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 13. 的展开式中的系数为___________. 14. 已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的展开式中的系数； （2）设的展开式中前三项的二项式系数之和为，的展开式中各项系数之和为，若，求实数的值． 16. 从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； 17. 某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． （1）若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； （2）若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）设，求函数的极大值 （3）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：当时，； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰一中2025-2026学年第二学期期中考试试卷 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分命题人：郑佳香 审题人：李蕊 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 45 B. 20 C. 135 D. 120 【答案】D 【解析】 【详解】若，则或， 当时，（舍去）； 当时，. 所以. 所以. 2. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为， ，所以. 所以， 所以. 3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式求直线方程即可. 【详解】由得 所以 又，∴切点为 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D. 4. 若二项展开式中的各项的二项式系数只有第5项最大，则n的值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】由二项式系数性质可知，当二项式系数存在唯一最大值时，该项为中间项， 已知展开式中二项式系数只有第5项最大，说明第5项为唯一中间项， 则，解得． 5. 有4名护士到某医院实习，该医院将这4名护士分到心内科､心外科､骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（ ） A. 40 B. 36 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，先将4名护士分成三组，有种方法； 再分配到三个科室，有种方法. 所以共有种分配方案. 6. 甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设事件表示“从甲盒中取出的是红球”，事件表示“从甲盒中取出的是白球”，事件表示“从乙盒中取出的两球都是白球”. 由全概率公式得，由题意可知，， 当发生时，乙盒中有3个红球，3个白球， 则从乙盒取两球均为白球的概率为， 当发生时，乙盒中有2个红球，4个白球，则从乙盒取两球均为白球的概率为， 代入全概率公式计算可得. 故取出的两球都是白球的概率为. 7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题， 再通过分离参数，最后构造函数求解问题. 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题. 8. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为且满足，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，对求导判断其单调性，再由单调性解不等式即可求得结果. 【详解】令，则； 由以及可得， 因此在上单调递增， 不等式 可知且, 即，所以可知, 解得， 因此该不等式的解集为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（ ） A. 事件，是互斥事件 B. 事件，是对立事件 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件和条件概率的计算公式依次判断各选项即可得出结果. 【详解】从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数，取出的数要么是奇数要么是偶数， 不可能既是奇数又是偶数，也不可能既不是奇数也不是偶数，所以事件，是互斥事件，A正确. 当取出的数字为3时，事件与事件，同时发生，事件，不是对立事件，B错误． ，，D错误. ，C正确． 故选：AC 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理和赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，令，则， 即，所以A正确； 对于B，令，则， 即，所以B错误； 对于C，令，则， 即①， 令，则， 即②， ①-②得， 所以，所以C正确； 对于D，将原等式变形得， 令，则，由A项可知， 所以，所以D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 若有两个极值点，则实数的取值范围为 C. 当时，的值域为 D. 若存在，使得成立，则实数的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求导后求单调区间，进而求最小值即可； B选项，将问题转化成有两个不同的解，构造新的函数，使和有两个交点即可； C选项，直接利用导数分析的值域即可； D选项，令，设出的根，保证即可. 【详解】 ，求导得 A选项，当时，，， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则， 即的最小值为，所以A选项错误； B选项，有两个极值点，等价于有两个不同的实数根，即有两个不同的解， 令，则，在上单调递减，在上单调递增，则， 且当时，；当时，；且时，，， 所以当时，有两个不同的解，即有两个极值点，所以B选项正确； C选项，若，则， ，所以在定义域内单调递增， 当时，；当时，；则的值域为，所以C选项正确； D选项，存在，使得，即存在，使得， 令，则 ，由B选项解析可知，当时，若，则， 不妨设为的根，即 ， 当，单调递减，当，单调递增， 则在处取得最小值， ， 需要满足存在，使得成立， 令，则，其中， 令，解得，所以在上单调递减，在单调递增， 则，此时 满足题意，所以，所以D选项正确. 【点睛】本题需要构造不同的函数，利用新函数的导数去研究原函数的单调性和取值范围，构造函数的时候需要注意自变量的取值范围. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由分布列的性质可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 13. 的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【解析】 【分析】利用二项式定理写出的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数. 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 14. 已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 【答案】4 【解析】 【详解】当时，由，得， 即存在使不等式成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即， 当时，，即； 当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，于是， 所以的最小整数解为4. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的展开式中的系数； （2）设的展开式中前三项的二项式系数之和为，的展开式中各项系数之和为，若，求实数的值． 【答案】（1）80 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求的系数； （2）根据二项式系数的定义可求，再利用赋值法可求的值. 【小问1详解】 设的展开式通项为，那么 , 令，得 ，， 所以，的展开式中的系数为. 【小问2详解】 由题意可知，, 所以，, 在中，令，得，， 所以，或. 16. 从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； 【答案】（1）60 （2）180 （3）180 【解析】 【分析】（1）先优先考虑甲乙再考虑排列剩余的6人在其他位置的排法 （2）捆绑法，先选后排 （3）插空法，除了甲乙两人外，其他先排，然后插空 【小问1详解】 甲乙两人在中间两棒，则有种排法， 从剩下6人选出2人排列到两边，有种排法， 则共有种排法. 【小问2详解】 将甲乙绑定到一起，内部有2种排法， 从剩下6人选出2人，有种选法， 全排列3个元素有种排法， 所以共有种排法. 【小问3详解】 先从剩下6人选出2人先排列，有种排法， 将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法，所以共有种排法. 17. 某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． （1）若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； （2）若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可； （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算即可求解. 【小问1详解】 设事件M为恰有2个芯片正常运行，事件N为C的运行不正常． 由题可知， ． 所以， 即在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行不正常的概率为． 【小问2详解】 该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行， 所以该设备正常工作的 ． 由，得， 所以p的取值范围为． 18. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）设，求函数的极大值 （3）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，并令，可得函数的单调增区间； （2）利用导数分析函数的单调性，进而得到函数的极大值； （3）通过分离参数，将“函数在上有且仅有2个零点”转化为“直线与函数的图象在上有两个不同的交点”，利用导数分析函数的单调性及取值情况，可得的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为. 当时，. 可得. 因为，所以令，可得. 又当时，， 所以的单调增区间为. 【小问2详解】 由题意得的定义域为，. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，极大值为. 【小问3详解】 由函数在上有且仅有2个零点，得方程在上恰有两个实数根， 即方程在上恰有两个实数根， 即直线与函数的图象在上有两个不同的交点. 设，则. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 又， 故的取值范围是. 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：当时，； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）0 （2）证明：因为， 所以要证明，只需证明， 只需证明， 设，求导得， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 当时，， ， 在上单调递增，故， 又，故， ，原不等式得证． （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及最值； （2）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性证明结论； （3）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知函数，求导得， 令，解得， 当时，，故，函数单调递减； 当时，，故，函数单调递增； 是极小值点，即为最小值点，最小值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，不等式等价于， ， 令， 当时，，故处等号成立； 求导得， ， 令，求导得，，则， 在上单调递增， 当时，，， 存在，使得， 当时，，又， 所以当时，，不满足条件； 当时，， 在上单调递增，故，单调递增， ，满足条件； 实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $