精品解析：湖北随州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式先化简，然后由导数定义可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 2. 若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以在直线上， 所以，解得. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等差数列的性质得出，再代入等差数列前项和公式即可求解. 【详解】因为是等差数列，所以，即， 所以. 4. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在120分以上的考生约有（ ） （参考数据：若～，则有，，） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】A 【解析】 【详解】由正态分布，结合可知，，，因此标准差, 而，则要求， 由参考数据， 可知区间外的总概率为， 再由正态分布的对称性，则， 因为总人数10000人，所以分数在120分以上的考生约有. 5. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，所以. 6. 从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 210 60 270 优秀 50 80 130 合计 260 140 400 某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的（即去掉最后面那个0）后，代入公式，计算得出，则（ ） 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A. 该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 B. 该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 C. 该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 D. 该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 【答案】C 【解析】 【分析】求出实际的值，根据独立性检验的知识逐一判断即可. 【详解】由题意可知该同学在计算时将都缩小了10倍， 又因为， 故计算得出的是实际值的， 即实际中， 所以该同学计算不正确，故A，B错误； 因为， 所以在犯错的概率不超过的前提条件下，认为“数学成绩与语文成绩有关联”,故C正确，D错误. 7. 设A，B是两个随机事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 事件可以拆分为两个互斥事件的和：，则， ， ， 代入上式得到全概率公式：， 代入具体数值得：. 8. 已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点与方程的关系，通过分离参变量构造函数，求导研究单调性和取值规律，最终通过数形结合可得参数范围. 【详解】函数在上有两个不同零点， 等价于方程在有两个不同实根， 设，问题转化为求与的交点个数， 对求导，化简得： ， 因为，所以， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以 在处取最小值： ， ​ 且：时，；时，， 则要使与有两个交点，需满足，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 老师要从篇课文中随机抽篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中篇才能及格，某位同学只能背诵其中的篇，设抽到他能背诵的课文的数量记为随机变量，的期望记为，则（ ） A. X的可能取值为 B. C. D. 该同学能及格的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件，易知的可能取值为，再求出取值对应的概率，即可判断A和B的正误；对C，利用期望的计算公式，直接求出，即可求解；对D，根据条件得，即可求解. 【详解】因为篇课文中，该同学能背诵其中的篇，则的可能取值为， ，，， 所以A错误，B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，该同学能及格的概率为，所以D正确. 10. 设函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当时，关于对称 C. 当时，在上单调递减 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对函数求导，即可判断函数的极值、中心对称、单调区间，再结合指数范围判断函数值的大小即可. 【详解】因为，则 对于A：若有两个极值点，则必须有两个不相等的根，即， 而，即当时，，此时函数没有极值点，故A错误； 对于B：当时，， 因为， 所以关于对称，故B正确； 对于C：因为， 由，得，，当时，， 因为是开口向上的二次函数， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增. 所以当，即时，，所以在上单调递减； 当，即时，在单调递减，在上单调递增； 故C错误； 对于D：当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又因为，所以，故D正确. 11. 在多项式中，可任选至少一组互不重叠的相邻字母，给每组相邻字母添加一对括号，然后进行去括号运算，称此为“JKH操作”，例如： ， ，.则下列说法正确的有（ ） A. 存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式相同 B. 存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式之和为0 C. 不同的“JKH操作”一共有12种 D. 所有的“JKH操作”一共有8种不同的运算结果 【答案】ACD 【解析】 【分析】“JKH操作”本质是添加括号后把后一项负号改成正号，加括号只能选相邻间隙，且变号位置不能相邻，在此基础上对题目进行进一步求解. 【详解】对于A，取操作，去掉括号后结果为，与原多项式相同，故选项A正确. 对于B，所有操作后的系数恒为1，原多项式中的系数也为1，二者相加后的系数为2，不可能为0，故选项B错误. 对于C，原多项式有5个位置可进行“JKH操作”，只进行1次“JKH操作”，共有5种可能；进行2次“JKH操作”，选两个互不相邻位置，有，共6种可能；进行3次“JKH操作”，选三个互不相邻位置，只有这1种可能.所以不同的“JKH操作”共有种可能，故选项C正确. 对于D，根据选项C可知不同的“JKH操作”一共12种，我们通过枚举可知共有以下8种运算结果：不变号；变号；变号；变号；变号；变号；变号；变号；故选项D正确. 【点睛】抓住“JKH操作”这一新定义的本质，在问题求解过程中采取分类讨论思想，有条理地寻找所有不同操作. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】，，， ，即， 解得． 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，直线与抛物线相切即联立方程，判别式为0即可求解. 【详解】对函数求导得， 则曲线在点处的切线的斜率， 已知曲线在点处的切线方程，即； 由题意即直线与曲线相切，即它们只有一个交点， 令，方程只有一解， 则，得，. 14. 在一条线段上标出所有的11等分点，从中任选2个点，将该线段从这2个点处截断，则形成的3条新线段可以构成三角形的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型求解即可. 【详解】一条线段上标出所有的11等分点，即把这条线段11等分，设每一小段长度为1，由题意总的情况有， 能构成三角形的三边长为：1,5,5、2,4,5、3,3,5、3,4,4 其中符合条件的情况有: ， 故所求概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求单调区间即可； （2）参变分离得，令，再利用导数求的最小值即可. 【小问1详解】 当时， ， 当时，；当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由，得，即， 令，依题意m小于的最小值， ，当时，，当时，， 故在上单调减，在上单调递增， 故的最小值为，故. 16. 某生物兴趣小组观察某植物生长规律，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 高度y 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数并加以说明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第9天这株幼苗的高度. 参考数据：. 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1），因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系 （2），5.6cm 【解析】 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可下结论； （2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解. 【小问1详解】 由， ， 所以（或）， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系； 【小问2详解】 ， ， 所以关于的回归直线方程为， 当时，，由此预测第9天这株幼苗的高度为5.6cm. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先令，再令，即可求得答案； （2）先对两边求导，再令，即可求得答案； （3）令，则有，将问题转化为求左边式子展开式中的系数，利用二项式的性质求解即可. 【小问1详解】 在原等式中，令，可得， 再令，可得， 故. 【小问2详解】 对原等式两边分别求导， 可得， 再令，可得； 【小问3详解】 令，则， 即有， 展开式的通项为， 所以. 18. 湖北省城市足球联赛（别称“楚超”联赛）是由湖北省于2026年创办的全省性足球赛事，全省17个市州（直管市、林区）各组建一支代表队参赛，揭幕战于4月12日在黄石举行．某球队的甲、乙、丙三名队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，． （1）传球三次后，球累计在乙脚下的次数记为随机变量X，求X的期望； （2）证明：为等比数列； （3）设第n次传球之前球在乙脚下和丙脚下的概率分别为和，比较的大小． 【答案】（1） （2）第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为， 第次传球之前球不在甲脚下的概率为， 则 ， 从而， 又，故是以为首项，公比为的等比数列． （3），理由如下： 由（2）可知，即， 根据对称性，可得 故，， 故． 【解析】 【分析】（1）求出X的取值和对应的概率，得到数学期望； （2）由题意得到，构造法得到为等比数列； （3）在（2）的基础上，得到，由对称性可知，从而比较出大小 【小问1详解】 依题意可得，X的取值可能为0，1，2， 当时，传球顺序为甲丙甲丙，故， 当时，传球顺序为甲乙甲乙或甲乙丙乙，故， 当时，， 故X的期望为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知. （1）若，，求的值域； （2）若存在实数使得有四个不等实根，，，，设. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1） （2）（i） （ii）因为，且，且，， 由，得， 令，则，所以，得到，所以， 由，得， 令，则，所以，得到，所以， 要证，只需证， 即证，即证， 因为，所以，令， ， 令，，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，即在上单调递减， 又因为，所以， 故，即，即， 故，即. 【解析】 【分析】（1）构造函数，结合条件，求出的单调区间，进而求出的值域，即可求解； （2）（i）求出的单调区间，再求出的最小值，结合条件，即可求解；（ii）利用（i）中结果可得，，从而将问题转化成证明（其中，），再构造函数，，求出的单调区间，即可求解. 【小问1详解】 令，， 当，时，，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 又因为，，所以的值域为， 又因为，， 即有，所以的值域为. 【小问2详解】 （i）令，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以的最小值为， 又当，， 若存在实数使得有四个不等实根，则， 即有，解得. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 4. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在120分以上的考生约有（ ） （参考数据：若～，则有，，） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 5. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 6. 从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 210 60 270 优秀 50 80 130 合计 260 140 400 某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的（即去掉最后面那个0）后，代入公式，计算得出，则（ ） 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A. 该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 B. 该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 C. 该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 D. 该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 7. 设A，B是两个随机事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 老师要从篇课文中随机抽篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中篇才能及格，某位同学只能背诵其中的篇，设抽到他能背诵的课文的数量记为随机变量，的期望记为，则（ ） A. X的可能取值为 B. C. D. 该同学能及格的概率为 10. 设函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当时，关于对称 C. 当时，在上单调递减 D. 当时， 11. 在多项式中，可任选至少一组互不重叠的相邻字母，给每组相邻字母添加一对括号，然后进行去括号运算，称此为“JKH操作”，例如： ， ，.则下列说法正确的有（ ） A. 存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式相同 B. 存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式之和为0 C. 不同的“JKH操作”一共有12种 D. 所有的“JKH操作”一共有8种不同的运算结果 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量，若，则__________． 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________. 14. 在一条线段上标出所有的11等分点，从中任选2个点，将该线段从这2个点处截断，则形成的3条新线段可以构成三角形的概率是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围. 16. 某生物兴趣小组观察某植物生长规律，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 高度y 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数并加以说明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第9天这株幼苗的高度. 参考数据：. 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 湖北省城市足球联赛（别称“楚超”联赛）是由湖北省于2026年创办的全省性足球赛事，全省17个市州（直管市、林区）各组建一支代表队参赛，揭幕战于4月12日在黄石举行．某球队的甲、乙、丙三名队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，． （1）传球三次后，球累计在乙脚下的次数记为随机变量X，求X的期望； （2）证明：为等比数列； （3）设第n次传球之前球在乙脚下和丙脚下的概率分别为和，比较的大小． 19. 已知. （1）若，，求的值域； （2）若存在实数使得有四个不等实根，，，，设. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $